第13讲轴对称
【板块一】轴对称与轴对称图形
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1．轴对称与轴对称图形的概念及性质．
2．关于x轴、y轴对称的点的坐标特征．
题型一：识图与画图补成轴对称图形
方法技巧
1．对称点的连线被对称轴垂直平分．
2．沿对称轴折叠后，图形在对称轴两边的部分完全重合．
【例1】下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品的标志，在这四个图形中是轴对称图形的是（）
【例2】以下图形中对称轴的条数小于3的是（）
【例3】如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，四边形ABCD的四个顶点都在小正方形的顶点上，点E在BC边上，且点E在小正方形的顶点上，连接AE．
（1）在图中画出△AEF，使△AEF与△AEB关于直线AE对称，点F使点B的对称点；
（2）请直接写出△AEF与四边形ABCD重叠部分的面积．
题型二：生活中的轴对称
方法技巧
掌握对称性质，熟练并灵活运用对称性质和技巧解题．
【例4】墙上有一面镜子，镜子对面的墙上有一个数字式电子钟．如果在镜子里看到该电子钟的时间显示如图所示，那么它的实际时间是（）
A．21:05B．15:02C．15:20D．21:20
题型三：坐标系中的轴对称
方法技巧
1．关于x轴对称的两点的坐标特征为“横同纵反”；
2．关于y轴对称的两点的坐标特征为“横反纵同”．
【例5】如图，在正方形ABCD中，A（-4,1），B（-4,3），P（a，0），
过点P作垂直于x轴的直线l，作四边形ABCD关于直线l对称的四边形，
若四边形关于y轴对称，则a=
【例6】如图，已知点A（-2,-1），B（1,0），C（0，1）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△，并且直接写出，，的坐标；
（2）已知点D（0,3），E（-1,4），F（2，5），画出△DEF；
（3）△DEF与△是否关于某条直线对称？
若存在，请在图中画出这条对称轴；
（4）写出与△ABC有一条公共边且与△ABC全等的
格点三角形的第三个顶点的坐标．
题型四：轴对称与几何图形的性质
方法技巧
成轴对称的两个图形全等．
【例7】如图，在四边形ABDF中，点C、E分别在AF、DF上，且AB=AC，BD=DE，点M为CE的中点，
DMAM．
（1）求作点A关于直线DM的对称点N；
（2）求证：DAM=∠CAM+∠BAD；
（3）直接写出BDF+∠BAF的度数为
针对练习
1．如图是一辆汽车车牌在水中的倒影，则该车的牌照号码是（）
A．M9017102B．M2017109C．W5017109D．M2017106
2．如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑7个小正方形所形成的图案，再将方格内空白的一个小正方形涂黑，使得到的新图案（大正方形）成为一个轴对称图形的涂法有种．
3．如图，在4×4正方形方网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现任取一个白色小正方形涂黑，使新图形中黑色部分仍然组成一个轴对称图形，则不同的画法有（）
A．3个B．4个C．5个D．6个
4．如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点坐标分别为A（-2，-2），B（-4，-1），C（-4，-4），
（1）画出△ABC向上平移4个单位，再向右平移5个单位得到的△，并直接写出的坐标；
（2）作出点A关于x轴的对称点．若把向右平移a个单位长度后落在△的内部（不包括顶点和边界），请写出满足条件的a的取值范围．
5．如图，已知在△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-2，3），B（-6，0），C（-1，0）．
（1）将△ABC沿y轴翻折，则翻折后点A的对应点的坐标是；
（2）若△DBC与△ABC全等，请画出符合条件的△DBC（D与点A重合除外），并直接写出点D的坐标为；
6．如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中△ABC是一个格点三角形，在图中画出与△ABC成轴对称的格点三角形，这样的格点三角形可以画多少个？请在图1及备用图中一一画出来．
7．如图，在平面直角坐标系中，已知两点A（m，0），B（0，n）（n＞m），点C在第一象限，ABBC，BC=BA，点P在线段OB上，OP=OA，AP的延长线与CB的延长线交于点M，AB与CP交于点N
（1）点C的坐标为（用含m，n的式子表示）；
（2）求证：BM=BN；
（3）设点C关于直线AB的对称点为点D，点C关于直线AP的对称点为点G，
求证：DG两点关于x轴对称．
【板块二】线段垂直平分线的性质
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1．线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线．
2．线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两端点的距离想到．
2．线段垂直平分线的判定：与一条线段两端点距离相等的点，在这条线段垂直平分线上．
题型一：线段垂直平分线的性质
方法技巧
出现线段垂直平分线时，往往在线段垂直平分线上利用已知点（或构造点）与线段两端连线，得到相等线段构成等腰三角形．
【例8】如图，AB=CD，线段AC的垂直平分线与线段BD的垂直平分线相交于点E．
求证：ABE=∠CDE．
题型二：角平分线与线段垂直平分线结合
方法技巧
线段垂直平分线平分对应等腰三角形的顶角．
【例9】如图，在△ABC中，BAC=120°，AB、AC的垂直平分线交于点P，两垂直平分线交△ABC的边于点G、D、E、H，连接AD、AE、AP．
（1）求DAE的度数；
（2）求证：AP平分DAE．
题型三线段垂直平分线的判定
方法技巧
方法一:定义法(中点＋垂直)；方法二：直线上两个点到线段两端点的距离线段（筝型图）.
【例10】如图，在△ABC中，，AD平分，交BC于点D，DEAB，垂足为点E，连接CE.
(1)求证：直线AD是CE的垂直平分线；
(2)若，求证.
题型四线段垂直平分线的判定与性质综合
方法技巧
线段垂直平分线的判定与性质关键在于得等腰或证等腰.
【例11】在△ABC中，，点O为BC的中点，点D为△ABC外一点，，过点O作AD的垂线交DC于点N，交BD的延长线于点M.
(1)如图1，求证：AD为MN的垂直平分线；
(2)如图2，若，，，求△ADC的面积.
针对练习2
1.如图，AD与BC交于点O，，，，求证：OE垂直平分BD.
2.如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线，相交于点O，若等于.求的度数.
3.如图，在△ABC中，，点D是BC的中点，DEBC交AC于点E，的角平分线BF交DE于点P，连接PC.
(1)若，求的度数；
(2)若，，请直接写出m，n满足的关系式______________.
4.已知线段AB垂直平分线段CD于点O，点F在AB的垂直平分线上，BFAC于点E，.
(1)求证：；
(2)AF交CD于点M，，FD交AB于点N，求证：.
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