(参考L.P552第四节,一.)运行时,点击按钮“性质7”,可显示性质7.第五章积分学不定积分定积分定积分
第一节一、定积分问题举例二、定积分的定义三、定积分的性质机动目录上页下页返回结束定积
分的概念及性质第五章一、定积分问题引例1).曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成,求其面
积A.机动目录上页下页返回结束矩形面积梯形面积解决步骤:1)“分”.在区间[
a,b]中任意插入n–1个分点用直线将曲边梯形分成n个小曲边梯形;2)“匀”.在第i个窄曲边梯形上任取
作以为底,为高的小矩形,并以此小梯形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得机动目录上页下页返回
结束3)“和”.4)“精”.令则曲边梯形面积机动目录上页下页返回结束2）.
变速直线运动的路程设某物体作直线运动,且求在运动时间内物体所经过的路程s.2)“匀”.得已知速度机动目录
上页下页返回结束解决步骤:1)“分”.将它分成在每个小段上物体经n个小段过的路程为3)
“和”.4)“精”.上述两个问题的共性:解决问题的方法步骤相同:“分、匀、和、精”所求量极限结构式相同:
特殊乘积和式的极限机动目录上页下页返回结束二.定积分定义任一种分法任取总趋于确定的极
限I,则称此极限I为函数在区间上的定积分,即此时称f(x)在[a,b]上可积.记作
机动目录上页下页返回结束积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和变量用什么
字母表示无关,定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分即机动目录上页下页返回结束定
积分的几何意义:曲边梯形面积各部分面积的代数和曲边梯形面积的负值机动目录上页下页返回结束
定理1.可积的充分条件:例1.利用定义计算定积分解:将[0,1]n等分,分点为取机动目录上页
下页返回结束定理2.且只有有限个间断点注注目录上页下页返回结束[注]
利用得两端分别相加,得即例2.用定积分表示下列极限:解:机动目录上页下页返回结束
说明:机动目录上页下页返回结束根据定积分定义可得如下近似计算方法:将[a,b]分
成n等份:(左矩形公式)(右矩形公式)(梯形公式)为了提高精度,还可建立更好的求积公式,例如辛普森机动
目录上页下页返回结束公式,复化求积公式等,并有现成的数学软件可供调用.三、定积分的性质(设所
列定积分都存在)(k为常数)机动目录上页下页返回结束证:当时,因在上可积,
所以在分割区间时,可以永远取c为分点,于是机动目录上页下页返回结束当a,b
,c的相对位置任意时,例如则有机动目录上页下页返回结束6.若在[a,b]上
则证:推论1.若在[a,b]上则机动目录上页下页返回结束推论2.证:即
7.(估值性质)设则机动目录上页下页返回结束例3.试证:证:设则在上,
有即故即机动目录上页下页返回结束p428.积分中值定理则至少存在一点使证:则
由性质7可得根据闭区间上连续函数介值定理,使因此定理成立.性质7目录上页下页返回结束说明
:故它是有限个数的平均值概念的推广.机动目录上页下页返回结束积分中值定理对可把因
例4.计算从0秒到T秒这段时间内自由落体的平均速度.解:已知自由落体速度为故所求平均速度机动目录上页下页返回结束(参考L.P552第四节,一.)运行时,点击按钮“性质7”,可显示性质7. |
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