第21讲因式分解
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把一个多项式在一个范围内（如有理数范围内分解，即所有项均为有理数）化为几个最简的整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫作分解因式.
基本方法有：①提公因式，②公式法，③分组分解法，④十字相乘.
常见的分解技巧有：①主元法，②换元法，③拆添法，④双十字相乘法.
【板块一】因式分解的基本方法
题型一提公因式法
【例1】分解因式
；
；
；
；
；
.
题型二公式法
（一）平方公式法
【例2】分解因式：
；；
；.
（二）完全平方公式：；
【例3】分解因式：
；.
（三）立方公式
立方和、差公式：；
完全立方公式：；；
.
【例4】分解因式：
；.
题型三分组分解法
（一）分组后可提公式
方法技巧：①将原式适当分组；②每组有公因式可提.
一位高明的棋手，在下棋时绝不会只看第一步，同样，在进行分组分解的时候，不仅要看到第二步，而且要看到第三步.
【例5】分解因式：
；.
（二）分组后可用公因式子
技巧：分组后可用公式法
【例6】分解因式：
；.
题型四十字相乘法
十字相乘法：先看一个乘法公式.利用这个乘法公式我们可以得到分解形如的二次三项式的方法：如果我们可以找到两个数，使得常数项为两者的积，同时一次项为两者的和，也即，如下图：
，，,
第一列的积为1×11为二次系数项；第二列的积为为常数项；列间的交叉成乘积为一次项系数.
那么我们就完成了对的因式分解：.
对于二次项系数不为1，则.
【例7】分解因式：
；；.
【例8】因式分解：
；.
【例9】因式分解：
；.
题型五双十字相乘
【例10】分解因式：
(2).
题型六拆添项
【例11】因式分解：
；.
针对练习1
1.分解因式：
(2)
(3)；(4)
2.因式分解
(2)
(3)(4)
(5)(6)
3.分解因式：
(2)
4.分解因式：
(2)
5.分解因式：
；
(3).
6.分解因式：
；
7.分解因式：
(2)
8.
9.分解因式：
；
；
.
10.
(1)；；
(3)(4)
板块二因式分解应用
题型一求值
【例12】若xy满足，求的值.
【练12】已知，，求代数式的值.
题型二巧算
【例13】计算：
【练13】计算：
(2).
题型三证明
【例14】证明：四个连续整数的乘积加1是整数的平方.
【练14】若是自然数，则是质数还是合数？给出你的证明.
题型四判定三角形的形状
【例15】已知ab,c是一个三角形的三边，判定的符号.
【练15】若ab,c为△ABC的三边长，且，则△ABC按边分类，应是什么三角形？
题型五整除性问题
【例16】求证：当为整数时，多项式一定能被8整除.
【练16】如果能被整除，则的值可能是（）
A.20B.30C.35D.40
针对练习2
1.已知，则=.
2.已知，，，求代数式的值.
3.已知三个数满足方程，求的值.
c＋bd＋ad＋bc＝1997．求a＋b＋c＋d的值．
5．已知x＋y＝3，x2＋y2－xy＝4，求x4＋y4＋x3y＋xy3的值．
6．已知正数a，b，c满足ab＋a＋b＝bc＋b＋c＝ac＋a＋c＝3，求（a＋1）（b＋1）（c＋1）的值．
7．若x，y是整数，求证：（x＋y）（x＋2y）（x＋3y）（x＋4y）＋y4是完全平方数．
8．已知n为正整数，且n4－16n2＋100是质数，求n的值．
9．（1）已知a，b，c是△ABC的三边且满足a2－b2＋ac－bc＝0，请判断△ABC的形状；
（2）已知在△ABC中，三边长a，b，c满足等式a2－16b2－c2＋6ab＋10bc＝0．求证：a＋c＝2b；
（3）已知在△ABC中，三边长a，b，c满足a2＋b2＋c2－ab－bc－ca＝0．试探索△ABC的形状，并说明理由．
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