李善兰之“三乘支垛积”说(5)上传书斋名：潇湘馆112XiāoXiāngGuǎn112何世强HoSaiKeung提要：清?
李善兰《十三种》之最基础之级数表乃为〈三角垛表〉，其横列乃为两项式定理之系数。〈三角垛表〉主要表达从右上至左下所形成之级数系列。三
乘支垛者，乃“三角一乘垛”之分支。关键词：三角垛三乘垛三乘支垛第1节李善兰之三乘支垛表本文取自清?李善兰（1810年－1
882年）之《则古昔斋算十三种》﹝简称《十三种》﹞之〈垛积比类?卷一?三角垛第一〉。《十三种》之最基础之级数表乃为〈三角垛表〉。注
意〈三角垛表〉之横列乃为两项式定理﹝Binomialtheorem﹞之系数，即(x+y)n展式之系数，n即〈三角垛表〉
之“层数”。〈三角垛表〉之左斜更改其他数字则可形成不同之支表，本文之三乘支垛表即在此情况下形成。笔者有文名为〈李善兰之“三角垛第
一”说〉谈及三角垛之性质，亦有另文〈李善兰之“一乘支垛积”说(1)〉，本文乃其延续。〈三角垛表〉有左右两斜，右方第三斜列为“三角
三乘垛”，以下为“三角三乘垛”之特色﹝见笔者前文﹞：三乘垛：1,4,10,20,……n(n+1)(n+2)，第
n项和为1+4+10+20+……+n(n+1)(n+2)=f(n)=r(r+1)(r
+2)=(r3+3r2+2r)=n(n+1)(n+2)(n+3)。为配合答案之一般形式，写成：n(n+
1)(n+2)(n+3)。据李善兰所云，“三乘支垛”者，“三角三乘垛”之分支也。“三乘支垛”造表之法先在左方斜上填上1
,4,4,…，在右方斜上填上1，将左右两数相加填在下方之方格内即成。《十三种》曰：第二层右一左四为表根，三层以下如三角垛表
法。“三乘支垛表”可列成以下之表：12345678910111213141516太1方41甲451乙4961一4131571二41
7282281三421455030914256695803910142991161175119491133120252336294
168601237153372588630462228721905259601218109269030085二乘支垛表﹝等腰三角形
表﹞之形成法如下：先列出左斜之1、4、4、4……，第二层右1左4二数是为“表根”，再列出右斜之1，从第二列开始左右两数相
加即得下层之数，步骤重复即可得上表，此即为“倒等腰三角形加法”。上表形成多个级数，主要之级数乃从右上至左下，颜色相同之方格形成一数
列，其余级数可类推。为节省篇幅，“二乘方支垛表”可改列成下表。所有级数垂直排列，A为太垛，B为方垛，C为甲垛，D为乙垛，E
为一垛，F为二垛……N为十垛。见下表。太方甲乙一二三四五六七八九十ABCDEFGHIJKLMN1-------------
--------------------------41------------------------------------4
51---------------------------------4961--------------------------
----4131571---------------------------417282281------------------
------42145503091---------------------42566958039101-------------
-----4299116117511949111---------------43312025233629416860121---
---------43715337258863046222872131---------441190525960121810926
9030085141------445231715148521782310178299038599151---4492769462
20036634488409227721375484114161上表除第一栏之1、4及斜之1外，其余数字以矩形加法而得，例
如5，等于其上列之1及1左方4相加而得，其余可类推。以下为《十三种》之三乘支垛表原图：第2节三角三乘支垛积算法
及公式以下为三乘支垛表所含之级数及其第n项和，此即李善兰所云之“有高求积术”：﹝注意=12+22+32+42
+52+…n2=n(n+1)(2n+1)。及=13+23+33+43+53+…n3
=n2(n+1)2。﹞前数列第n项和乃下数列之第n项。太垛：1,4,4,4,…4很明显，第n项和为
1+4(n–1)=4n–3﹝《十三种》无此积﹞。方垛：1,5,9,13,…4n–3第n项和为1
+5+9+13+…+4n–3=–3)=4–3n=4×n(n+1)–3n=2n2–
n=n(2n–1)。以上之式即《十三种》曰：方垛四倍高减二，以高乘之为实，二为法得积。“高”即“层数”即第n项。“实”即
分子或被除数，“法”即分母或除数。四倍高减二，即(4n–2)，以高乘之为实，即n(4n–2)；二为法得积，即以2为
除数。为配合答案之一般形式，写成：n(4n–2)﹝不约简﹞。甲垛：1,6,15,28,…n(2n–1)第n
项和为1+6+15+28+…+n(2n–1)=(2r–1)=2–=2×n(n+1)(
2n+1)–n(n+1)=n(n+1)(4n+2–3)=n(n+1)(4n–1)。为配合答案
之一般形式，写成：n(n+1)(4n–1)。以上之式即《十三种》曰：甲垛四倍高减一，以高乘之，又以高加一乘之为实，二三相
乘为法，得积。甲垛四倍高减一，即4n–1；以高乘之，即n(4n–1)；又以高加一乘之为实，即n(n+1)(4n
–1)；二三相乘即以3！=6为法，即除以6。即n(n+1)(4n–1)。以下为方垛及甲垛图：上图显示方垛
与甲垛之数目序列。乙垛：1,7,22,50,…n(n+1)(4n–1)第n项和为1+7+22+
50+…n(n+1)(4n–1)=n(n+1)(n+2)(4n–0)。以上之式即《十三种》曰：乙垛四倍高
以高乘之，又以高加一乘之又以高加二乘之为实，二三四连乘为法，得积。乙垛四倍高，即4n；以高乘之，即n4n；又以高加一乘之又以高
加二乘之为实，即n(n+1)(n+2)4n；二三四连乘即以4！=24为法，即除以24。即n(n+1)(n
+2)(4n–0)﹝不约简﹞。第一垛：1,8,30,80,…n(n+1)(n+2)(4n–0)第
n项和为1+8+30+80+…n(n+1)(n+2)(4n–0)=n(n+1)(n+2
)(n+3)(4n+1)。以上之式即《十三种》曰：第一垛四倍高加一，以高乘之，又以高加一高加二高加三迭乘之为实，二三四五连
乘为法，得积。第一垛四倍高加一，即4n+1；以高乘之，即n(4n+1)；又以高加一高加二高加三迭乘之为实，即n(n
+1)(n+2)(n+3)(4n+1)；二三四五连乘即以5！为法，即除以5！=120。即n(n+1)(n
+2)(n+3)(4n+1)。以下为乙垛及第一垛图：上图显示乙垛及第一垛之数目序列。第二垛：1,9,39,119
,…n(n+1)(n+2)(n+3)(4n+1)第n项和为1+9+39+119+…n(
n+1)(n+2)(n+3)(4n+1)=n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(4n+
2)﹝不约简﹞。以上之式即《十三种》曰：第二垛四倍高加二，以高乘之，又以高加一高加二高加三高加四迭乘之为实，二三四五六连乘为法，
得积。第二垛四倍高加二，即4n+2；以高乘之，即n(4n+2)；又以高加一高加二高加三高加四迭乘之为实，即n(n+
1)(n+2)(n+3)(n+4)(4n+2)；二三四五六连乘即以6！=720为法，即除以6！。即n(
n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(4n+2)﹝不约简﹞。三垛：1,10,49,168,…n(
n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(4n+2)第n项和为1+10+49+168+…n
(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(4n+2)=n(n+1)(n+2)(n+3)(n+
4)(n+5)(4n+3)。以上之式即《十三种》曰：第三垛四倍高加三，以高乘之，又以高加一高加二高加三高加四高加五迭乘之为
实，二三四五六七连乘为法，得积。第三垛四倍高加三，即4n+3；以高乘之，即n(4n+3)；又以高加一高加二高加三高加四
高加五迭乘之为实，即n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)(4n+3)；二三四五六七连乘即
以7！=5040为法，即除以7！。即n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)(4n+3)。从以上之规律可知以下为一般情况：今设p垛之第r项为r(r+1)(r+2)(r+3)…(r+p)(r+p+1)(4n+p–1)，其第n项和为r(r+1)(r+2)(r+3)…(r+p)(r+p+1)(4n+p–1)=n(n+1)(n+2)(n+3)…(n+p+2)(4n+p)。以上结论非常重要。以下为《十三种》之原文：-2- |
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