第1讲二次根式的性质
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1．二次根式的概念与被开方数中字母的取值范围；
2．二次根式的双重非负性；
3．开平方与平方两种运算的关系
【板块一】二次根式的概念与基本性质
方法技巧
一般地，我们把形如(a0)的式子叫做二次根式，”称为二次根号．开平方时，被开方数a的取值范围是a0，二次根式有两个非负性，也叫二次根式的双重非负性，即被开方数a的取值范围是a0，算术平方根的结果0．
题型一判断式子是否为二次根式
【例1】下列式子中是二次根式的有()
；；－；；；(x＞1)；
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】形如(a0)的式子叫做二次根式，被开方数a的取值范围是a0；不符合被开方数a的取值范围是a0，是开3次方，为二次根式，故选C．
【解答】C
题型二二次根式有意义的字母的取值范围
【例2】在下列式子：；(x－2)0；中，x不可以取2的是()
A．只有 B．只有 C．和 D．和
【分析】二次根式中被开方数大于等于零，零指数幂的底数不为零，分母的值不为零．，x－20，
则x2；(x－2)0，x－20，则x2；中，x－20，解得x2，故x不可以取2的是和，故选C
【解谷】C
题型三二次根式的双重非负性
【例3】若x，y为实数，y＝，则4y－3x的平方根是．
【分析】，故只有x2－4＝0，即x＝±2，又x－2≠0，x＝－2，y＝＝－，
4y－3x＝－1－(－6)＝5，故4y－3r的平方根是±．
【解答】士．
【例4】已知|7－9m|＋(n－3)2＝9m－7－，求(n－m)2019的值．
【分析】非负数有三种呈现形式：绝对值，平方，算术平方根，几个非负数的和一定是非负数，若几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0．
【解答】＋(n－3)2＝9m－7－，＋(n－3)2＋＝9m－70，
9m－7＋(n－3)2＋＝9m－7，(n－3)2＋＝0，n－3＝0，m－4＝0，
n＝3，m＝4，(n－m)2019＝(－1)2019＝－1．
题型四二次根式中的隐含条件的运用
【例5】若实数x，y，m适合关系式＋＝·，求m的值．
【分析】由(x＋y)－200，20－(x＋y)0，所以x＋y＝20．再利用两个二次根式的和等于0，
即每一个被开方数等于0．
【解答】x＋y－200，20－(x＋y)0，x＋y＝20．＋＝0，
≥0，0，3x＋3y－m＝0，m＝3(x＋y)＝3×20＝60．
针对练习1
1．x取何值时，下列各式有意义
(1)；(2)；－；(4)．
【解答】(1)x＞；(2)x4且x－5；(3)1x≤2；(4)x5且x6．
2．代数式＋＋的最小值是()
A．0 B．1＋ C．1 D．不存在
【解答】B．
3．方程＋＝0的解是．
【解答】，或
4．已知x，y为实数，且满足－(3y－1)＝0，则(xy)2019＝．
【解答】－1
5．如果x，y，z为实数，且满足＋＋z2－z＋＝0，求(y＋z)x2的值．
【解答】|4x－4y＋1|＋＋(z－)2＝0，又≥0，0，(z－)20，
4x－4y＋1＝0，2y＋z＝0，z－＝0，x＝－，y＝－，z＝，
(y＋z)x2＝(－＋)(－)2＝．
6．若m适合关系式：－＝－，求m的值．
【解答】由条件得x＋y－1160，116－(x＋y)0，116≤x＋y116，x＋y＝116，
＝－，≥0，－0，
，＋得5(x＋y)＋18＝2m，2m＝5×116＋18，m＝299．
【板块二】二次根式的两个基本性质的综合运用
方法技巧
二次根式的两个性质()2＝a(a≥0)和＝，可以运用上述两个性质进行有关计算和化简．
题型五＝的运用
【例1】已知0＜a＜1，化简－＝．
【分析】a＝()2，＝，又0＜a＜1，()2＜，即＜．
原式＝－＝－
＝＋－（－）＝2．
【解答】2．
【例2】若化简－的结果为2x－5，则x的取值范围是．
【分析】根据x的取值化简绝对值和二次根式的性质分析．－＝－＝2x－5，则－＝x－1＋x－4，即1－x0，x－40，解得1x≤4．
【解答】1x≤4．
题型六()2＝a(a0)的运用
【例3】已知ABC的三边a，b，c满足关系式a＋b＋c－2－4－6＋4＝0，试求ABC的周长．
【分析】根据式子的结构特点，运用a＝()2配方，然后利用非负性解题．
【解答】a＋b＋c－2－4－6＋4＝0，
(a－5)－2＋1＋(b－4)－4＋4＋(c－1)－6＋9＝0，
(－1)2＋(－2)2＋(－3)2＝0，a－5＝1，b－4＝4，c－1＝9．
a＝6，b＝8，c＝10，ABC的周长为6＋8＋10＝24．
题型七二次根式的规律探究
【例4】观察分析，探求出规律，然后填空：，2，，2，，，…，(第n个数)．
【分析】由题意可知，被开方数是2的倍数，由此即可求解＝，2＝，＝，
2＝，＝，第6个数是＝2，第n个数是．
【解答】2，．
【例5】观察下列各式：
＝2；＝3；＝4；，请你猜想
⑴＝，＝；
(2)计算(请写出推导过程)：；
(3)请你将猜想到的规律用含有自然数n(n≥1)的代数式表达出来．
【分析】先将被开方数化为假分数，再用二次根式的性质化简．
【解答】＝5，＝6；
(2)＝＝＝14；
＝(n＋1)（n1）．
题型八求值
【例6】已知：x＝2－，求代数式x2－4x－6的值．
【分析】由x＝2－得x－2＝－，两边平方可得二次式．
【解答】x＝2－，x－2＝－，(x－2)2＝(－)2，x2－4x＋4＝10，
x2－4x＝6，x2－4x－6＝0．
【例7】已知x＝2－，那么x4－8x3＋16x2－x＋1的值是．
【分析】由x＝2－得出x2－4x－1＝0，用x2－4x－1除x4－8x3＋16x2－x＋1，得出商和余数，利用：被除数＝除数×商十余数，将多项式化简，再代值计算．
【解答】由x＝2－得x－2＝－，两边平方，得x2－4x＋4＝5，x2－4x－1＝0，
x4－8x3＋16x2－x＋1＝(x2－4x－1)(x2－4x＋1)＋(－x＋2)＝2－x＝．
题型九复合二次根式的化简
【例8】先阅读下面的解答过程，然后作答：
形如的化简，只要我们找到两个非负数a，b，使a＋b＝m，ab＝n，这样()2＋()2＝m，
(＝，那么便有＝＝(a＞b)．
例如：化简．
首先把化为，这里m＝7，n＝12；由于4＋3＝7，43＝12，即()2＋()2＝7，(＝，
＝＝＝2＋．
由上述例题的方法化简：(1)；(2)；(3)．
【分析】由例题所给信息知关键是要找到两个合适的非负数．
【解答】(1)＝＝；
(2)＝＝＝－；
(3)＝＝(＝(－1)＝－．
＝＝＝＝1＋．
解决问题：
(1)在括号内填上适当的数：
＝＝＝＝________；
(2)根据上述思路，试将予以化简．
【分析】通过完全平方公式，将被开方数化成平方的形式，再根据二次根式的性质，化去里面的一层根号．
【解答】(1)＝＝＝＝3＋；
(2)＝＝＝＝5－．
针对训练2
1．a，b，＋＋－a－．
a，b在数轴上的位置可得a＜0a＋b＜0－a＞0b－＜0．－a|－|b－|＝－a－a－b＋－a＋b－＝－3a．
2．＝·，－2＋．
＝·3x＋10，2－x0，∴－≤x≤2，x－2＋＝x－2＋3x＋1＝－(x－2)＋(3x＋1)＝2x＋3．＋＋1，试化简代数式：|x－1|－－．
【解答】∵－x≥0，x－≥0，－x＝，y＞0＋0＋1，y＞1y－1＞，＝－＝－1
4．当1＜x＜5时，化简：－．
【解答】原式＝－＝|x－1|－|x－5|，又∵1＜x＜5，
原式＝(x－1)－[－(x－5)]＝2x－6．
5．若x，y为实数，且y＝＋＋，求－的值．
【解答】∵1－4x≥0，4x－1≥0，∴1－4x＝0，∴x＝，∴y＝，＋＝2＋＝．
∴原式＝－＝＝．
6．已知a为偶数，且＝，求－的值．
【解答】∵＝，∴a－1≥0，3－a＞0，∴1≤a＜3，又∵a为偶数，∴a＝2，
又∵－＝－，∵a＝2，a－3＜0，
∴原式＝a－1－＝a－1＋＝2－1＋＝．
7．对于题目“化简求值：＋，其中a＝”甲、乙两人的解答不同．
甲的解答是：＋＝＋＝＋－a＝－a＝；
乙的解笞是：＋＝＋＝＋a－＝a＝，谁的解答是错误的?为什么?
【解答】乙的解答是错误的．∵当a＝时，－a＞0，∴＝－a．
8．化简：(1)；(2)．
【解答】(1)原式＝＝＝；
(2)原式＝＝＝(＋1)＝＋．
9．已知a＋b＋c＝2＋4＋6－14，求a(b＋c)＋b(c＋a)＋c(a＋b)的值．
【解答】依题意得(a＋1)－2＋1＋(b＋1)－4＋4＋(c－2)－6＋9＝0，
∴(－1)2＋(－2)2＋(－3)2＝0，
∴＝1，＝2，＝3，∴a＝0，b＝3，c＝11．
a(b＋c)＋b(c＋a)＋c(a＋b)＝0＋33＋33＝66．
10．利用“≥0”解答下列问题：
(1)若＋＋＝0，求a，b，c的值；
(2)若a＋b＋c＝4＋6＋2，求a，b，c的值．
【解答】(1)∵≥0，≥0，≥0．＋＋＝＝0，＝0＝0，a＝1b＝4，c＝9；
(2a－2＋b－4＋c－6＝0，
[()2－2＋1]＋[()－4＋4]＋[()－6＋9]＝0，
(－1＋(－2)＋(－3)＝0，(－10，(－2)0，(－3)0．－1＝0，－2＝0－3＝0，a＝2，b＝8，c＝18．
11．＋＝a－2017＝__．
a－2018≥0，即a≥2018，则原方程可化为|2017－a＋＝aa－2017＋＝a＝2017a－2018＝201720172＝2018．2018．
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