第17章勾股定理
第4讲勾股定理与线段长
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1.勾股定理及证明,勾股定理的逆定理及其应用;
2.灵活运用勾股定理,勾股定理的逆定理解决几何问题。
【板块一】勾股定理求边长
方法技巧
直角三角形的两直角边长分别为a、b,斜边为c,则有.在直角三角形中,已知任意两边的长,可求第三边的长.
【题型一】勾股定理求边长
【例题1】在直角△ABC中,若斜边AB=2,则AB2+BC2+AC2的值是__________.
【例题2】如图,在四边形ABCD中,CD⊥AD,AD=CD=3,∠BAD=135°,AB=6,求BC的长.
题型二利用勾股定理列方程
【例题3】如图,在△ABC中,∠C=90°,AD、BE是△ABC的两条中线,BE=2,AD=5,求AB的长.
【例题4】如图,在等腰△ABC中,AB=AC,BC边上的高AD=6,腰AB上的高CE=8,求△ABC的周长.
针对练习1
1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,AC=6,AB=10.
(1)求CD的长;
(2)若AE平分∠BAC交BC于点E,求CE的长.
2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB于点D.
(1)已知AC=3,BC=4,求AD、BD的长.
(2)已知AD=,BD=,求BC、BD的长.
(3)已知AD=,BD=,求AC、BC的长.
(4)已知AD=,BC=4,求AC、BD的长.
3.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=9,BCCD=7,点M是AD的垂线交BC于点N,求BN的长.
4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5cm,AC=3cm,动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度运动,设运动的时间为t秒.
(1)当△ABP为直角三角形时,借助图1求t的值;
(2)当△ABP为等腰三角形时,借助图2求t的值.
【板块二】探究线段间的平方关系
方法技巧
线段之间的平方和或平方差的关系,通常是将它们转换到一个直角三角形中求解,或是转换到底共边的直角三角形中求解.
题型三探求线段平方关系
【例题1】在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°.
(1)如图1,若点P是BC边上一点,则与的数量关系是___________;
(2)如图2,若点P是BC延长线上一点,则与的数量关系是___________;从(1)(2)中任选一个结论证明.
【例题2】如图,△ABC是等边三角形,点D在△ABC的外部,且∠ADC=30°,求证:
题型四特殊角与勾股定理
【例题3】如图,在△ABC中,BC=,∠ABC=45°=2∠ECB,BD⊥CD,则的值是___________.
【例题4】如图,在等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,点D、E在AB上,且∠DCE=45°,BE=2,AD=3,将△BCE绕点C逆时针旋转90°,在图中画出旋转后的图象,并求DE的长.
【例题5】如图,在等腰直角△ABC中,AC=15,AB=13,BC边上的高AD=12,则边BC的长是_____________.
题型六数形结合构造直角三角形
【例题6】在平面直角坐标系中,已知点A(0,a),B(b,0)(a>0,b>0),且a、b满足.(1)判断△AOB的形状,并证明你的结论;
(2)点P为第一象限内一点,若OP=4,PB=2,AP=2,求a的值.
针对练习2
1.如图,在△ABC中,∠C=90°,AM=CM,MP⊥AB于点P.求证:
2.如图,AD是△ABC的中线,求证:
3.如图,在等腰Rt△ACB中,∠ACB=90°,点D为ABE、F分别在AC、BC上,DE⊥DF.
(1)求证:DE=DF;
(2)AC=4,AE=3,求DE的长.
4.如图,四边形ABCD中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,CD=5,DA=5,则BD的长为__________.
5.如图,在△ABC中,AB=BC=8,AO=BO,点M是射线CO上的一个动点,∠AOC=60°,则当△ABM为直角三角形时,AM的长为_________________.
6.如图1,在△ACD中,∠ACD=30°,AG⊥AD,且AG=AD=GC.
(1)求∠AGC的度数;
(2)如图2,延长CD到点B,若∠ABC=45°,求的值.
7.在△ACD值,AD=4,CD=3,在△ABC中,AB=AC.
(1)如图1,若∠CAB=60°,∠ADC=30°.
①在△ACD外作等边△ADD′,求证:BD=CD′;
②求BD长
(2)如图2,若∠CAB=90°,∠ADC=45°,求BD的长.
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