第9讲三角形的中位线
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1.连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线；
2.三角形的中位线性质：三角形的中位线平行且等于第三边的一半；
3.一个三角形有三条中位线.
【板块一】运用中位线的性质计算与证明
方法技巧
三角形的中位线平行且等于第三边的一半，给出了中位线与第三边的位置关系和数量关系，为证明两线平行，探求两线段的数量关系提供了依据.
题型一利用中位线的性质计算与证明
【例1】如图，△ABC中，，，AD，AE分别是△ABC的角平分线和中线，过点C作CGAD于点F，交AB于点G，连接EF，则线段EF的长为_______.
【例2】如图，点E为□ABCD中DC边的延长线上一点，且，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于点O，连接OF.
(1)求证：△ABFECF；
(2)求证：.
针对练习1
1.如图，□ABCD的周长为8，对角线AC，BD交于点M，延长AB到点E，使，BNEC于点N，连接MN，求MN的长.
2.如图，O为△ABC两条中线BF与CD的交点，求证：，.
【板块二】构造中位线的方法与技巧
方法技巧
构造中位线的方法与技巧有：连中点构造中位线，取中点构造中位线，角平分线与垂线组合构造中位线，倍长线段构造中位线，连接第三边构造中位线.
题型二连中点构造中位线
【例1】如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，，点D，C，B在同一条直线上，点F，G，M分别为AD，BE，AB的中点.
(1)求的度数；
(2)求的值.
题型三取中点构造中位线
方法技巧
三角形的一条边上有中点，可以取另一边的中点，然后连接这两个中点，构造三角形的中位线.
【例2】如图1，在△ACB中，，，点E在AC上，EFAC交AB于点F，连接BE，D为AF的中点，M为BE的中点.
(1)判断CM与CD之间的数量关系，并加以证明；
(2)将△AEF绕点A旋转任意一锐角，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请加以证明.
题型四角平分线＋垂线→构造中位线
方法技巧
角平分线＋垂线，通过延长直角边，可以补全成等腰三角形，形成一边上有中点的情形，与另外的边的中点连线可得到中位线.
【例3】(2017徐州改)如图，在△ABC中，点D，点E分别为AB，AC的中点，点F在DE上，且AFBF.
(1)求证：；
(2)若，，求EF的长.
【例4】如图，BD,CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AFBD于点F，AGCE于点G，连接FG.
求证：(1)FGBC；
(2).
【例5】已知点M为△ABC的边BC的中点，，，BDAD于点D，连接
DM.
(1)如图1，若AD为△ABC的角平分线，延长BD交AC于点E.求证：；求MD的长；
(2)如图2，若AD为△ABC的外角平分线，则.
【例6】如图，在△ABC中，，AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线AM，BN分别交于P，Q两点，PM，QN的中点分别为E，F.求证：EFAB.
【例7】如图，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，，点E在AC
上，M为BE的中点.求证：.
题型五倍长线段构造中位线
【例8】如图，点P为△ABC的边BC的中点，分别以AB,AC为斜边作Rt△ABD和Rt△ACE，且.求证：.
题型六连接第三边构造中位线
方法技巧
若图形中存在共顶点的两边上都有中点，可以连接第三边，构造中位线.
【例9】如图，在□ABCD中，，，，点H，G分别是边CD，BC上的动点，连接AH，HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF.则EF的最大值与最小值的差为（）
A．1B.C.D.
【例10】如图，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形.
【例11】如图，点B为线段AC上一点，分别以AB，BC为边AC的同侧作等边△ABD和等边△BCE，点P，M，N分别为AC，AD，CE的中点.
(1)求证：；
(2)求的度数.
针对练习2
1.(课本62页第16题改编)如图，在△ABC中，M为BC的中点，AD为的平分线，BDAD于点D.
(1)求证：；
(2)若，，，求AC的长.
2.如图，在△ABC中，BE，CF分别平分，，AGBE，AHCF，G，H为垂
足，求证：GHBC.
3.如图，点E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：EG与HF互相平分.
4.如图，BF是△ABC的角平分线，AMBF于点M，CE平分△ABC的外角，ANCE于点N.
(1)求证：MNBC；
(2)若，，，求MN的长.
【板块三】中位线与动态探究
题型七中位线与路径问题
方法技巧
中位线的动态图求值，先分别选取运动点的起点，中间某一特殊点，终止点这些特殊位置对应的点，然后由特殊到一般猜想估计运动点的情形，最后验证.
【例1】如图，在△ABC中，，，，若点E为BC上一动点，以AE为边在AE右侧作等边△AEF，连接CF，点G为线段CF的中点，若点E从点B出发，沿着BC方向运动到点C，则在此过程中，点G运动的路径长为_________.
【例2】如图，，，点P在线段OA上运动，BPPM，，C为x
轴负半轴上一定点，连接CM，N为CM的中点，当点P从点O运动至点A时，点N运动的路径长为________.
针对练习3 .
1.如图，已知AB=10，P是线段AB上的动点，分别以AP,PB为边在线段AB的同侧作等边△ACP和等边△PDB，连接CD,设CD的中点为G,当点P从点A运动到点B时,求点G移动的路径长。
2.已知△ACB,△AED都为等腰直角三角形,AED=∠ACB=90°,连接CE,BD,M,N分别为BD,CE的中点。
(1)如图1,点D在AB上，求证:MN=CE,MNEC;
(2)如图2,将△ADE绕点A逆时针旋转一个锐角,(1)中的结论是否仍成立？请证明。
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