第1讲
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1．最值问题解题依据有：三角形两边之和大于第三边或两边之差小于第三边；点到直线上各点的连线中，垂线段最短；函数式在特定自变量取值范围内存在最值；
2．动态点的问题探究时，常先分析起点、终点、中间某一个特殊点，再由特殊到一般的方法求解；
3．存在性问题，根据已知条件，结合图形，得出相关结论，列方程求解．
【板块一】问题
方法技巧：一动点．
题型一
【例1】如图正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE最小，则这个最小值为（）
A．B．2C．2D．
【例2】如图，在正方形ABCD中，点E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，则PB＋PE的最小值是．
遇直角三角形求最值，找直角三角形斜边中点，连斜边中线，该中线长等于斜边一半，为定值．
题型连斜边中线求最值
【例3】如图，∠ACB＝90°，BC＝8，AC＝6，点P为AC上一动点，连接BP，CM⊥BP于点M，求AM的最小值．
方法技巧
通过构造全等三角形，将动线段转化到特定位置，这一位置上能求出最值．
题型构造全等求最值
【例4】如图，△ABC是等边三角形，AB＝4，E是AC的中点，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，当点D运动时，求AF的最小值．
方法技巧
求四边形周长的最值，或者求三条线段和的最值，两动点间距离一定，另两点为定点，将两动点进行平移，再做一定点的对称点，将问题转化成两线段和问题，然后求解．
题型平移线段求最值
【例5】如图，正方形ABCD的边长为4，E在CD上，DE＝1，点M，点N在BC上，且MN＝2，求四边形AMNE的周长的最小值．
1．如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，求PK＋QK的最小值．
2．如图，等边△ABC的边长为6，P为BC上的一动点，点P关于AC，AB的对称点分别为点N，M，连接MN，求MN的最小值．
3．如图，正方形ABCD中，点E为边BC上的一动点，作AF⊥DE分别交DE，DC与点P，F，连接PC．
（1）若点E为BC的中点，求证：F点为CD的中点；
（2）若点E为BC的中点，PE＝6，PC＝4，求PF的长；
（3）若正方形边长为4，直接写出PC的最小值为．
4．矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E为直线BC上一点．
（1）如图1，当E在线段BC上，且DE＝AD时，求BE的长；
（2）如图2，点E为BC边延长线上一点，且BD＝BE时，连接DE，M为DE的中点，连接AM，CM，求证：AM⊥CM；
（3）如图3，在（2）的条件下，点P，Q为AD边上的两个动点，且PQ＝2.5，连接PB，MQ，则四边形PBMQ周长的最小值为．
（图1）（图）（图）
【板块】问题
【例1】如图，在平面直角坐标系中，点C（8，0），P为线段OC上一动点，以OP，PC为边在x轴同侧作正方形OPEF和正方形PCAD，若线段OA的中点为M，求当点P从点O运动到点C时点M运动的路径长．
【例2】如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCO的顶点C，A分别在x，y轴上，A（06），点Q为对角线BO上一动点，D为边OA上一点，DQ⊥CQ，点Q从点B出发，沿BO方向移动，若移动的路径长为3，直接写出CD的中点M移动的路径长为．
针对练习2
1．如图，A（04），B（20），C为AB的中点，动点P沿A→O从点A运动到点O，CP＝CD，且∠PCD＝90°（点P，C，D逆时针排列），则点D的运动路径长为．
2．如图，正方形ABCD的边长为4，点E从点A出发，沿AB运动到点B停止．
（1）如图1，当点E是AB的中点，点F时AD上的一点，且AF＝AD，求证：CE平分∠BCF；
（2）如图2，若点Q时AD的中点，连接EQ并延长交射线CD于点G，过Q作EG的垂线交射线BC于点P，连接PE，PG．
①设AE＝x，△PEG的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
②若点M时PQ的中点，直接写出点M的运动的路线的长．
（图1）（图）
【板块】问题
【例1】如图，在平面直角坐标系中，AB∥OC，A（012），，，并且，满足．一动点从点出发，在线段上以每秒2个单位长度的速度向点运动；动点从点出发在线段上以每秒1个单位长度的速度向点运动，点、分别从点、同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动．设运动时间为（秒
（1）求、两点的坐标；
（2）当为何值时，四边形是平行四边形？并求出此时、两点的坐标；
（3）当为何值时，是以为腰的等腰三角形？并求出、两点的坐标．
【例2】如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点P是线段上一动点（不与点重合），的延长线交于点．
（1）求证：四边形为平行四边形．
（2）若，，从点出发．以秒的速度向点匀速运动．设点运动时间为秒，问四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，说明理由．
1．如图1，矩形ABCD的顶点A，C分别在y轴，x轴正半轴上，其中点B的坐标为（a，b），且满足．
（1）则，；
（2）如图2，交的平分线于点，求的长；
（3）如图3，为的中点，过点作的垂线分别交、轴于点、，为射线上的一点，在平面直角坐标系内是否存在一点，使以为边，、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（图1）（图）（图）
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