第21讲一次函数与等腰直角三角形（或45°角）
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向过等腰直角三角形的直角顶点的直线作垂线，得到全等三角形，如下图
【板块一】由等腰直角三角形构造全等三角形
方法技巧
由等腰三角形或者垂直且相等的线段，可以构造两个全等的直角三角形.
【例1】如图，在等腰Rt△ABC中，BAC=90°，A（a，1），B（0，b），且OA=OC，求直线AB的解析式.
【例2】如图，直线y=-2x+4分别交x轴，y轴于A，B两点，直线y=kx-4k交x轴于点C，交y轴正半轴于点D，交直线AB于点E，点F在直线CD上，若BFBA，且BF=BA，求直线CD的解析式.
针对练习1
1.如图，在平面直角坐标系中，点A（1，1），B为x轴上一点.
（1）如图1，将AB绕点A逆时针旋转90°得AD，则点D在一条定直线上，试求这条直线的解析式；
（2）如图2，B，C两点分别位于两坐标轴负半轴上，BAC=45°，求S△BOC.
2.如图1.直线y=-x+4交x轴于点B，交y轴于点A，直线y=kx交线段AB于点C.
（1）S△BOC=2S△AOC，求直线OC的解析式；
（2）如图2，过点C作y轴的垂线CE，点E为垂足，P是直线CE上一点，PDx轴于点F，交AB于点D，若S矩形PEOF=8，求COD的度数.
【板块二】由45°的角构造全等三角形
方法技巧
由45°角先构造等腰直角三角形，再构造全等三角形，从而求出点的坐标及直线的解析式.
题型一45°角构造等腰直角三角形→作垂线→全等三角形
【例1】如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2x+4交y轴于点A，交x轴于点B.
（1）点P为直线y=x上一点，若PAB=45°，求点P的坐标；
（2）如图，E为x轴正半轴上一点，将直线AE绕点A逆时针旋转45°，得到直线AF，过点E作AE的垂线交AF于点D，若直线AD的解析式为y=-x+4，求直线DE的解析式；
（3）在第一象限内，直线y=x上是否存在一点Q，使AQB=45°，若存在，求点Q坐标，若不存在，请说明理由.
【例2】如图，直线y=-3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C，点B为x轴正半轴上一点，ACB=45°，求点B的坐标（多种方法）.
针对练习2
1.如图，直线AB:y=4x+4交x轴于点A，交y轴于点B，直线BC：y=-x+4交x轴于点C，点P为线段BC上一点，PAB=45°，求点P的坐标.
2.已知一次函数y=-x+5的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线y=mx交直线AB于点P，若点C的坐标是（0，），且满足CPO=45°，求m的值.
3.如图，直线AB的解析式为y=4x+4，点A，C在x轴上，点B在y轴上，OA=OC.
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）如图1，点P在BA的延长线上，且APC=45°，求点P的坐标；
（3）如图2，若点P在线段AB上，且APC=45°，求点P的坐标.
【板块三】隐藏的45°角构造等腰直角三角形→作垂线→全等三角形
【例3】如图，直线y＝x－5与坐标轴交于点A，B，直线y＝x＋2与坐标轴交于点C、D，点E为AB上一点，且AEC＝BDC.
(1)直接写出DCE的度数；
(2)求点E的坐标.
针对练习3
1.如图直线y＝x－4与x轴交于点A，与y轴交于点B，若C(0，2)，BEAC于点E，连接OE
（1）求OEB的度数；
（2）求点E的坐标.
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