第2讲根的判别式与根系关系
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1.一元二次方程根的判别式；
2.一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）．
【板块一】一元二次方程根的判别式
方法技巧
1.不解方程，判断一元二次方程根的情况；
2.确定一元二次方程中字母参数的取值范围；
3.解决一元二次方程的整数根的问题；
4.求代数式的最值；
5.借助判别式，运用一元二次方程有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题；
题型一用于参数方程根的判定
【例1】关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一根大于，求的取值范围．
【解析】
（1）∵，∴方程总有两个实数根；
（2）∵，∴，，
∵，∴．
题型二判别式求参数的取值范围
【例2】若关于的方程有实数根，求的取值范围．
【解析】分两种情况讨论：①，此时，解得且；
②，即，此时方程为一元一次方程，显然有实数根.
综合①②两种情况，得出的取值范围为．
【例3】已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
【解答】，且，且．
解得，且．∴的取值范围是且．
【点评】注意例2与例3的区别与联系．
【例4】若关于的方程只有个不相等的实数根，求的值或取值范围.
【解析】原方程可化为下面两个方程：①，②，
方程①，方程②．因为，
所以只可能，即．故．
题型三判别式用于整数根问题
例5当m是什么整数时，关于x的方程与的根都是整数？
解析：由两个方程都有实数根，得，∵m为整数，∴m＝－1,0,1
m＝0，不合题意，舍去
当m＝1为
方程为，其根为
当m＝－1为其根不是整数；
综上，当m＝1与的根都是整数
题型四判别式法求极值
例6若x，y是实数，且,试确定m的最小值
解析：解法一：将原等式改写为，即，∵x是实数，∴判别式△≥0，即，
配方，得，∴当y＝3m有最小值－22
∴当x－2y－2＝0y－3＝0x＝8y＝3m取得最小值－22
1
1、当k＝x的二次三项式是完全平方式
解：－3或2
2、已知关于x的方程有两个相等的实数根，求k的值
解：∵关于x的方程有两个相等的实数根，∴△＝0k－10
∴，解得k＝1()或k＝2k＝2
3m为何值时，关于x的方程
（1）有两个实根？
（2）只有一个实根？
（3）有实根？
解：（1）由题意得m≠1且△≥0，得，∴当时，方程有两个实数根
（2）由题意，方程为一元一次方程，此时m－1＝0,
m＝12x＋4＝0
（3）①当m＝1时，方程2x＋4＝0，方程有一个实数根；②当m≠1时，由题意得
∴当时，方程有两个实数根。综上所述，时，方程有实数根
4、已知关于x的一元二次方程，其中a,b,c分别为△ABC的三边长
（1）如果x＝－1ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.
解：（1）△ABC是等腰三角形，理由如下：把x＝－1a＋c－2b＋a－c＝0,a＝bABC是等腰三角形
（2）△ABC是直角三角形，理由如下：方程有两个相等的实数根，则，故
（3）如果△ABC是等边三角形，则a＝b＝c，所以方程的解为
5、若关于x的方程有且只有两个不相等的实数根，求m的值或取值范围.
解：当m＝0，显然有两个不相等的实数根；当m＞0时，有或，，，很明显，
因此，故m的取值范围是m＝0
板块二一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
方法技巧
1、求方程中字母系数的值或取值范围
2、求代数式的值
3、结合根的判别式，判断根的符合特征；
利用根与系数的关系解题的基本思路，需要注意的是，应用根与系数的关系的前提条件是一元二次方程有两个实数根，所以，应用根与系数的关系解题时，必须满足：①a≠0,②判别式△≥0
题型一根的定义与根系关系结合求值
（一）对称式求值
例1若的值
解析∵，∴可以看成是关于x的一元二次方程的两根，
∴
（二）非对称式求值
例2设方程的两个根是，求的值
解析由得，由韦达定理得
故
点评利用根的定义，将非对称式转化为对称式，再利用根系关系求值.
题型二求方程中待定系数的值
（一）先用判别式求字母的范围，再用根系关系求字母的值
例3已知关于x的方程
（1）若方程总有两个实数根，求m的取值范围；
（2）若两实数根满足，求m的值
解析：（1）∵方程总有两个实数根，∴
（2）∵为方程的两个实数根，∴
∵∴，
解得∴m＝1
例4已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，使得
成立，求其实数a的可能值
解析∵是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，而
∴
∴∴
当a＝3的△＜0,不合题意舍去，∴
题型三利用根系关系求最值
例5若关于x的方程有两个实数根，求的最小值
解析∵又∵
∴原式＝
∵方程有实数根，∴△∴
∴当
题型四一元二次方程根的分布
例6当m为何值时，关于x的一元二次方程的两根都大于2？
解析方程有两根都大于2的条件是△≥0，，由此得到关于m的不等式
例7已知关于x的一元二次方程的两根都是负数，求k的取值范围
解析：∵原方程有两个实数根，∴k≠0,△≥0,即
解得又∵原方程的两根都是负数，若设方程两实数根为
∴
所以k的取值范围是
针对练习2
1、若实数a,b满足（B）
A. B. C. D.
2、已知a,b是关于x的方程的两个根，则（D）
A.365 B.245 C.210 D.175
3、已知是关于x的方程的两个实数根，且，则k的值为－3
4的两个根为α，β，求的值
解：3
5、已知a,b是方程的两个实数根，求的值
解：∵a,b是方程的两个实数根，∴a＋b＝－1,,
∴
6、已知关于x的方程的两根，给出四个结论中：①；②；③；④若，且a＜b,，则正确结论的序号是（B）
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④
7．已知a2，m2－2m＋2＝0，n2－2an＋2＝0，且mn，则(m－1)2＋(n－1)2的最小值是()
A．6 B．－3 C．3 D．0
答案：A
8．已知关于x的方程x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0有两个实数根x1，x2
(1)求实数k的取值范围；
(2)若x1，x2满足x12＋x22＝16＋x1(x2，求实数k的值．
答案：
(1)方程有两个实数根，＝(2k－1)2－4(k2－1)0，得k；
(2)x1＋x2＝1－2k，x1(x2＝k2－1，x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1(x2＝(1－2k)2－2(k2－1)＝16＋k2－1，
解得k1＝－2，k2＝6(舍去)，k，k＝－2．
9．已知x1，x2是关于x的方程x2－x＋t＝0的两个非负实数根．设y＝x14＋x24的最大值为M，最小值为m，求M－m．
答案：x1＋x2＝1，x1x2＝t，y＝x14＋x24＝[(x1＋x2)2－2x1x2]2－2x12x22＝2t2－4t＋1＝2(t－1)2－1，
根据题意△＝1－4t0，t≤，又x1，x2为非负实数根0，0≤t≤．
当＝0时，y取得最大值M，且M＝1，
当＝时，y取得最小值m、且m＝M－m＝
10．已知关于x的方程(k－1)x2＋2kx＋2＝0．
(1)求证：无论k为何值，方程总有实数根；
(2)设x1，x2是方程(k－1)x2＋2kx＋2＝0的两个根，记S＝＋＋x1＋x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值．若不能，请说明理由．
答案：
(1)当k－1＝0即k＝1时，方程为一元一次方程2x＝－2、x＝－1有一个解；
当k－10即k1时，方程为一元二次方程，
△＝(2k)2－4×2(k－1)＝4k2－8k＋8＝4(k－1)2＋4＞0，方程有两不等根．
综合得：无论k为何值，方程总有实数根；
(2)由一元二次方程根与系教的关系得：x1＋x2＝，x1x2＝t＝，
又S＝＋＋x1＋x2＝k－，当S＝2时，2k－2＝2，解得k＝2．
S的值能为2，此时k的值为2．
11．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的两个实数根．
(1)若(x1－1)(x2－1)＝19，求m的值；
(2)已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．
答案：
(1)x1，x2是一元二次方程的两个实数根，x1＋x2＝2(m＋1)，x1(x2＝m2＋5，
(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝m2＋5－2(m＋1)＋1＝19，解得m1＝5，m2＝－3；
△＝4(m＋1)2－4(m2＋5)0，m2，m＝5；
(2)当x1＝7时，代人方程得72－2(m＋1)7＋m2＋5＝0．解得m1＝4．m2＝10．
当m＝4时，x2＝3；
当m＝10时，x2＝15，此时7＋7＜15，不能组成三角形．
当x1＝x2时，方程有两个相等的实数根，
＝8m－16＝0，m＝2，
x1＋x2＝6，x1＝x2＝3，此时3＋3＜7，不能组成三角形．
这个三角形的周长＝7＋7＋3＝17．
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