第二十二章二次函数第5讲二次函数的图象和性质知识导航1.二次函数的概念。2.二次函数的图象与性质。3.图象的平移规律。【板块一】二次函数
的图象和性质方法技巧理解并掌握二次函数的图象的形状(抛物线)、顶点(最高点或最低点)、开口方向(向上或向下)、对称轴等知识，运用数
形结合思想解决问题.题型一开口方向、对称轴、顶点坐标及位置【例1】(1)抛物线y＝2x2＋1的开口方向是向上，对称轴是y
轴，顶点坐标是(0，1)；二次函数y＝－(x＋1)2﹣2的图象的开口方向是向下，对称轴是直线x＝﹣1，顶点坐标
是(﹣1.﹣2).(2)抛物线y＝2x2＋1在x轴的上方；当x＞0时，图象自左向右逐渐上升，它的顶点是最低点；抛物线y
＝－(x＋1)2﹣2，当x为全体实数时，它的图象在x轴的下方，顶点是最高点。【解析】当a＞0时，开口向上；当a＜
0时，开口向下，y＝a(x﹣h)2＋k的顶点坐标为(h，k)，对称轴是直线x＝h；当a＞0时，抛物线的顶点为最低点，当a＜0时，抛
物线的顶点为最高点。题型二抛物线的开口大小【例2】如图，若抛物线y＝ax2与四条直线x＝1，x＝2，y＝1，y＝2围成的正方形A
BCD有公共点，则a的取值范围是()A.≤a≤1B．≤a≤2C.≤a≤1D.≤a≤2【解析】确定a的取值范围，就是探究抛物线的开
口大小，当抛物线经过点D时，开口最小；抛物线经过点B时，开口最大，而这两条抛物线的解析式的a值分别2，，∴≤a≤2.故选Ｄ．【点评
】|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大。【例3】如图，在同一平面直角坐标系中，作出①y＝x2；②y＝－x2，③y＝－2x2的
图象，则三个图象I，Ⅱ，Ⅲ对应的抛物线的解析式依次是②③①.【解析】当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下；当|a|越大，
开口越小，当|a|越小，开口越大。故抛物线I的解析式为y＝－x2，抛物线Ⅱ的解析式为y＝﹣2x2；抛抛物线Ⅲ的解析式为y＝x2.故
填②③①题型三抛物线的对称性【例4】抛物线y＝ax2＋bx＋5经过A(2,5).B(﹣1,2)两点。若点C在该抛物线上，则点C的
坐标可能是()A.(﹣2,0)B.(0.5,6.5)C.(3,2)D.(2,2)【解析】抛物线经过(0，5)，A(2,5)，由对
称性可知对称轴为直线x＝1，由对称性知点B(﹣1，2)关于对称轴的对称点为(3，2)，故选C.针对练习11.已知二次函数y＝－x2
＋1，其图象的开口向下，对称轴为直线x＝0，顶点坐标为(0,1)，该图象的顶点是最高点。2.如图，点A1，A
2，…，An。在抛物线y＝x2上，点B1，B2，.…，Bn。在y轴上，若△A1B0B1，△A2B1B2，…，△AnBn－1Bn。都
为等腰直角三角形(点B0为坐标原点)，则△A2019B2018B2019的腰长等于()A.2018B.2019C.2018D
.2019【答案】选C3.如图，抛物线y＝a(x﹣h)2＋k与x轴的一个交点A在点(－2，0)和(－1，0)之间(包括这两个点)，
顶点C是矩形DEFG区域内(包括边界和内部)的一个动点，则a的取值范围是﹣≤a≤－.【答案】﹣≤a≤－4．抛物线y＝(x﹣
h)2＋k过点A(2，6)，且对称轴与线段BC有交点，B(1，0)，C(4，0)，求k的取值范围.解：∵1≤h≤4，k＝6﹣(2﹣
h)2，∴2≤k≤6.5.已知A(x1，2019)，B(x2，2019)是抛物线y＝ax2＋bx＋2018(a≠0)上的两点，则当
x＝x1＋x2时，二次函数的值是()A.＋5B.﹣＋5C.2019D.2018解：由抛物线的对称性知A，B关于对称轴x＝－对称，
∴.x1＋x2＝－，∴当x＝x1＋x2时，y＝a(－)2＋b(－)＋2018＝2018.故选Ｄ【板块二】二次函数的增减性方法技巧比
较二次函数值的大小的方法：(1)代入比较法：若已知函数的解析式，则将几个点的横坐标分别代入，求出相应的函数值，再比较大小；(2)增
减性比较法：当点在对称轴同侧时，直接根据函数的增减性比较大小；当点不在对称轴的同侧时，利用二次函数图象的对称性，将点转化到对称轴的
同侧，再比较.(3)根据点到对称轴的距离比较大小：当抛物线开口向上时，点到对称轴的距离越大，相应的函数值大，当抛物线开口向下时，点
到对称轴的距离越大，相应的函数值越小。题型一运用二次函数的增减性比较大小【例1】若点A(﹣4，y1)，B(﹣3，y2).C(3，
y3)为二次函数y＝(x＋1)2＋k的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是()A.y1＜y2＜y3B.y2＜y1＜y3
C.y3＜y1＜y2D.y1＜y3＜y2：【解析】对称轴为直线x＝﹣1，点C(3，y1)关于直线x＝﹣1的对称点C’(﹣5，y3)
，∵a＞0，﹣5＜﹣4＜﹣3，y2＜y1＜y3，应选B.【例2】下列关于函数y＝(x﹣3)2＋1的四个命题：①当x＝0时，y有最小
值10；②n为任意实数，x＝3＋n时的函数值大于x＝3﹣n时的函数值；③若n＞3，且n是整数，当n≤r≤n＋1时，y的整数值有(2
n一4)个；④若函数图象过点(a，y0)和(b，y0＋1)，其中a＞0，b＞0，则a＜b，其中真命题的序号是()A.①B.②C.
③D.④【答案】Ｃ题型二运用二次函数的增减性求对称轴的取值范围【例3】二次函数y＝﹣(x﹣h)2＋2的图象上有两点A(1，y1)，
B(2，y2)，若y1≤y2，则h的取值范围为＿＿＿＿＿【解析】∵a＜0，y1≤y2，∴点B距离对称轴较近，.∴h﹣1≥2﹣h，∴
h≥2题型三增减性与顶点的联系【例4】关于x的二次函数y＝(x﹣m)2﹣1，当－1≤x≤3时，函数有最小值－2m＋11，则m的值
为__________【解析】当顶点(m，－1)在区间的左侧，即m≤－1时，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，当x＝﹣1时，有最
小值(﹣1﹣m)2﹣1＝﹣2m＋11，解得m1＝﹣3﹣4，m2＝﹣3＋4(舍)，当－1＜m≤3时，－2m＋11＝﹣1，解得m＝6(
舍)当m＞3时，y随x的增大而减小，当x＝3时，有最小值，(3﹣m)2﹣1＝﹣2m＋11，解得m1＝﹣3(舍)，m2＝5，综上，m
的值为－3﹣4或5.针对练习21.若抛物线y＝ax2(a＜0)经过点A(﹣1，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)，则()A.
y1＞y2＞y3B.y1＜y3＜y2C.y2＜y1＜y3D.y3＜y1＜y2【答案】A2.二次函数y＝(x－h)2＋1(h为常数)
，在自变量x的值满足1≤x≤3时，其函数y的最小值为5，则h的值为()A.1或－5B.﹣1或5C.1或﹣3D.1或3【答案】B3
.已知关于正整数x的二次式y＝2x2＋2bx＋c(b，c为实数)，若当且仅当x＝4时，y有最小值，则实数b的取值范围是______
____.解：对称轴为x＝－，∵x为正整数；∴＜－＜(注；对称轴要靠近x＝4)，∴﹣9＜b＜﹣7.【板块三】抛物线的平移、对称变换
方法技巧题型一抛物线沿水平向平移探究【例1】将二次函数y＝x2的图象向左平移1个单位长度得到y＝____________；将二次
函数y＝－(x－1)2的图象向右平移2个单位长度得到y＝____________【解析】向左平移1个单位长度，自变量x变为(x＋1
)，即y＝(x＋1)2，向右平移2个单位长度，自变量x变为(x﹣2)，即y＝﹣(x﹣3)2.【例2】在平面直角坐标系中，平行于x轴
的直线与抛物线y＝ax2相交于A，B两点(点B在第一象限)，当a＝1，点B的纵坐标为2时，向右平移抛物线使该抛物线经过点B，与AB
的延长线交于点C，求平移后的抛物线的解析式.【解析】y＝x2，当y＝2时，2＝x2，.xA＝，xB＝－，AB＝2，将y＝x2向右平
移2个单位，则平移后的抛物线的解析式为y＝(x－2)2.题型二抛物线沿竖直方向的平移探究【例3】将二次函数y＝(x﹣2)2＋1的
图象沿y轴向上平移得到一个新函数的图象，其中点A(1，m)，B(4，n)平移后的对应点分别为A''，B''.若曲线段AB扫过的面积为9
，则新图象的函数解析式是()A.y＝(x﹣2)2﹣2B.y＝(x﹣2)2＋7C.y＝(x﹣2)2﹣5D.y＝(x﹣2)2＋4【解
析】连接AB，A''B''，则S阴影＝S四边形AA''B''Ｂ，由平移可知，AA''＝BB''.AA''//BB''，∴四边形ABＢ''A''是平行四
边形，分别延长A''A，B''B，交x轴于点M，N.∵A(l，m).B(4，n)，∴MN＝4－1＝3，S平行四边形ABB''A''＝AA''
MN，9＝3AA''，∴AA''＝3，即沿y轴向上平移了3个单位长度，∴平移后的函数的解析式为y＝(x﹣2)2＋4.故选D.题型三抛
物线沿斜倾方向平移探究【例4】将二次函数y＝3(x﹣1)2＋2的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的图象的解
析式是()A.y＝3(x﹣3)2＋5B.y＝3(x＋1)2﹣1C.y＝3(x﹣3)﹣1D.y＝3(x＋1)2＋5【解析】y＝3(
x﹣1)2＋2的顶点坐标为(1，2)，平移后的顶点坐标为(－1，－1)，∴平移后的图象所对应的解析式为y＝3(x＋1)2﹣1，故选
B.【例5】将抛物线y＝﹣(x＋1)2﹣2沿直线y＝x向右上平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式为__________【解析】
沿直线y＝x方向向右上平移2个单位长度，可分解为先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，因此平移后的解析式y＝﹣(x﹣1)2.题型
四抛物线对称变换探究【例6】将抛物线y＝(x＋1)2＋4沿x轴翻折，得到的新抛物线的解析式为_____________【答案】y＝
﹣(x＋1)2﹣4.【例7】将抛物线y＝(x＋1)2＋4绕点(1，2)旋转180°，所得新抛物线的解析为y＝﹣(x﹣3).【解析】
原抛物线的顶点为(－1，4)..点(－1，4)关于(1，2)的对称点为(3，0)，而开口方向相反，所得新抛物线的解析式为y＝﹣(x
﹣3)2.针对练习31.抛物线y＝﹣(x﹣4)2＋3通过怎样平移可得到抛物线y＝﹣x2？解：抛物线y＝－(x－4)2＋3，向左平移
4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到抛物线y＝﹣x2。2.将抛物线y＝2x2向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到
的抛物线的解析式为()A.y＝2(x﹣3)2﹣5B.y＝2(x＋3)2＋5C.y＝2(x﹣3)2＋5D.y＝2(x＋3)2﹣5【
答案】A3.如图，抛物线的顶点为P(－2，2)，与y轴交于点A(0，3)，若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到P''(2，－2)，点
A的对应点为A''，则抛物线上PA段所扫过的区域(阴影部分)的面积为12.【答案】124.已知抛物线C:y＝(x﹣1)2＋2.
(1)将抛物线C向左平移2个单位长度，再沿x轴作轴对称变换，得到抛物线C1，求C1的解析式；(2)将抛物线C沿直线x＝3作轴对称变
换，得到抛物线C2，求C2的解析|解：(1)y＝﹣(x＋1)2﹣2；(2)y＝(x﹣5)2＋2.5.若将抛物线y＝﹣3(x﹣1)2＋2绕点(－1，－2)旅转180°，求所得新抛物线的解析式解：原抛物线的顶点为(1，2)，点(1，2)绕点(﹣1，－2)旋转180°的对应点(﹣3，﹣6)，且开口方向相反，∴所得新抛物线的解析式为y＝3(x＋3)2﹣6.6．将抛物线y＝﹣(x﹣2)2＋1沿直线y＝﹣x＋的方向平移后恰好经过点(5，－)，求平移后的抛物线的解析式。解：∵原抛物线的顶点为(2,1)，∴新抛物线的顶点在直线y＝﹣x＋上，∴新抛物线可设为y＝－(x－t)2－t＋，∴－＝－(5－t)2－t＋，∴t＝5或t＝,∴平移后抛物线的解析式为y＝－(x－4)2－或y＝－(x－)2－。 |
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