第8讲二次函数与实际问题知识导航1．建立数学模型，确定二次函数的解析式；2．利用二次函数的性质，解决实际生活中的最值问题；3．分段函数关系
式的确定.【板块一】球类运动问题方法技巧由几个特征点，确定函数关系式；求字母系数的取值问题，可构造不等式求解.【例】如图，排球运
动员站在点O处练习发球,将球从点O正上方2m的A处发出,把球看成点，其运行的高度y(m）与运行的水平距离x(m）満足关系式y＝a（
x－6）2＋h，已知球网与点O的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距点O的水平距离为18m．（1）当h＝2.6时,求y与
x的函数关系式（不要求写出自变x的取值范围）；（2）当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；（3）若球一定能越过
球网又不出边界，则h的取值范围是多少?【解析】（1）当h＝2.6时,y=(a－6）2＋2.6过点（0，2），36a=-0．6,a=
，此时y＝（x－6）2＋2.6；（2）当x=9时，y=9＋2.6＝2.45＞2.43,所以球能过网；当y＝0时（x-6）2＋2.
6＝0,x1=6+＞18，x2=6-(舍去)，故球会出界；（3）y=a(x-6)2+h过（0,2）,得2=36a＋h时,当x=9时
,y=9a+h＞2.43,解得h＞．又当x=18时，y≤0,得h≥．∴h的取值范围是h≥.针对练习11．小明为了检测自己实心球的训
练情况，在一次投掷的测试中，实心球经过的抛物线如图所示，其中出手点A的坐标为（0，），球在最高点B的坐标为（3,.(1)求抛物线的
解析式;(2)已知某市男子实心球的得分标准如表;得分16151413121110987654321掷远（米8.68.387.77.
36.96.56.15.85.55.24.84.443.53.0求小明在实球训练中的得分;（3）在小明练习实心球的正前方离投掷点7
米处有一个身高1.2米的小友在玩耍，问该小朋友是有危险如果实心球在小孩头顶上方飞出为安全，否则视为危险），请说明理由？解：（1）抛
物线的解析式是y＝；（2）将y＝0代入y＝；求得x1=-2(舍去)，x2=8，小朋友掷出的距离是8米，得分是14分；（3）小朋友有
危险，理由如下，将x＝7代入y＝=1<1.2,∴身高1.2米的小朋友有危险.【板块二】桥梁、隧道问题方法技巧建立数学模型，将实际问
题转化为数学问题，并结合函数图象进行分析.题型一水位变化问题【例1】如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓由抛物线的一部分A
CB和矩形的三边AE，ED．DB组成，已知河底ED是水平的，ED＝16米，AE=8米，抛物线的顶点C到ED的距离是11米，以FD所
在的直线为x轴抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系.（1）求抛物线的解析式;（2）已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的
距离h（单位：米）随时间t（单位：小时）的变化满足函数关系式：h＝．且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算
说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？【解析】（1）题意可得，顶点C为（0，11），设抛物线解析式y＝ax2＋11，由抛线对
称性得B（8，8），∴8＝64a＋11，a=，抛物线解析式为；（2）画出h＝的图象如右图.当水面到顶点C的距离不大于5米时，h≥
6，当h＝6时，t2＝35，t1=3，结合图象变化趋势，禁止通行时间为35－3＝32（小时）答：禁止船只通行时间为32小时.题
型二限宽限高问题【例2】如图，东湖隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长OA为12m，宽OB为4m隧道顶端D到路面的距离为1
0m，建立如图所示的直角坐标系.（1）求该抛物线的解析式；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱，集装箱最高处与地面距离为6m，宽为4
m，隧道内设双向车道，问这辆货车能否安全通过？（3）在抛物线型供壁上需要安装两排禁示灯，使它们离地面高度相等，如果灯离地面的高度不
超过8.5m,那么，两排灯的水平距离最小是多少米？【解析】（1）依题意D(6，10），C(12，4)，设抛物线解析式为y＝a（x-
6）2+10，过（12，4），得36a＋10=4,a＝∴该抛物线解析式为（2）当x＝4＋6＝10时，故这辆货车能安全通过；（3）
当y＝8.5时,x1＝3．x2＝9，x2－x1＝6,又y≤8,∴两排灯的水平距离最小是6米.针对练习21．如图，有一座抛物线型拱
桥，在正常水位时水面AB的宽是20米，如果水位上升3米时，水面CD的宽为10米.（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求此抛物线的解
析式；（2）现在有一辆载有救援物资从甲地出发，要经过此桥开往乙地，已知甲地到此桥280千米（桥长忽略不计），货车以每小时40千米的
速度开往乙地，当行驶到1小时时，忽然接到紧急通知，前方连降大雨，造成水位以每小时0.25米的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD
处），当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行．试问：汽车按原来速度行驶，能否安全过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过
此桥，速度应超过多少千米？解：（1）y＝(2)(280－401)÷40=6(小时)，当x=-5时,y=-1,1÷0.25=4,6＞
4∴汽车按原来速度行驶，不能安通过此桥；（280-401）÷4＝60，∴要使货车安全通过此桥，速度应超过60千米/小时.【板块
三】市场销售问题方法技巧通过“利润＝售价-进价”“”等公式建立函数模型，把利润问题转化成函数问题来解决.【例】武汉市某商业公司生产
的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m（件）与时间t（天）的关系如下表：时间t（天）
131020212240日销售量m(件)98948060616280未来40天内，该商品每天的价格y（元／件）与时间t（天）的函数
关系式为：（t为整数）,根据以上提供的条件解决下列问题：（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数的知识分别确定1≤t≤20，
21≤t≤40时，满足这些数据的m（件）与t（天）之间的关系式;（2）请预测未来20天中哪一天的日销售利最大，最大的销售利润是多少
？（3）在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润（a＜40给希望工程，公司通过销售记录发现，前20天中，每天
扣除捐后的日销利润随时间t（天）的增大而增大，求a的取值范围.【解析】(1)当1≤t≤20（t为整数）时,m＝一2t＋100,当2
1≤t≤40（t为整数）时，m＝t＋40；（2）设前20天日销售利润为P1元，后20天的日销售利调为P2元，当1≤t≤20（t为整
数）时，P1＝（－2t＋100），所以t＝15，P1有最大值612．5元当21≤t≤40（t为整数）时，P2=（t+40）所以t＝
21时，P2有最大值579.5元,综上可得：当t＝15时，得最大利润为612.5元；(3)当1≤t≤20（t为整数）时P1＝（－2
t＋100）对称轴为：t=15+2a,∵前20天中，每天扣除捐后的目利随时间t(天)的增大而増大，且t为整数，∴15＋2a≥20
，解得a≥25，∴2.5≤a＜4．针对练习31.杰明公司生产的某种时令商品每件成本为20元，据市场调分析，五月份的日销售量m(件)
与时间t（天）符合一次函数关系m＝at＋b且t＝2时，m＝92;t=10时，m＝76．而且前15人每天的价格y1（元/件）与时间t
（天）的函数关系式为y1＝0．25t＋25（1≤t≤15且为整数），第16天月底每天的价格y2（元/件）与时间t（天）的函数关系式
为y=－0．5t＋40（16≤t≤31且t为整数）（1）求m与t之间的函数关系式;(2）请预测五月份中哪一天的日销售利润最大，最大
日销售利润是多少？（3）在实际销售的前15天中，该公司决定每销售一件商品就捐贈a元利润（a＜3）给希望工程，公司通过销售记录发现，
前15天中，每天扣除捐款后的日销售利润随时间t(天）的增大而增大，求a的取值范围.解：（1）m＝－2t＋96；（2）设日销售利润为
w，根据题意，得：①当1≤t≤15时,w=m(y1-20)＝（-2t＋96）（0.25t＋25-20）=当t=14时，w取值最大值
，w最大＝578②当16≤t≤31时，w＝m（y2－20）＝t2－88t＋1920＝（t－44）2－16，∵抛物线开口向上，且对称
轴t＝44，∴当15≤t≤3l时，w随t的增大而减小，∴当t＝16时，w取得最大值，w的最大值为768，∵768＞578，∴第16
天销售利润最大，最大值为768元③∵w=∴,抛物线开口向下，且前15天中，日销售得润随时间t（天）的增大而增大,又t为整数，∴对称
轴x＝2a＋14≥15，∴a，又∵a＜4，∴2≤a＜3．2．某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400元，销售单
价定为3000元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按30
00元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元．（
1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？（2）设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获的利润为y元，求y（元）
与x（件）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随
着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况．为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为
多少元？解：（1）设商家一次购买该种产品x件时，销售单价恰好为2600元3000－10（x－10）＝2600，解得x＝50答：商家
一次购买诚种产品50件时，销售单价恰好为2600元.（2）当0≤x≤10时，y＝（3000－2400）x＝600x,当10＜x≤5
0时，y＝x[3000－10（x－10）－2400]＝－10x2＋700x当x＞50时，y=(2600-2400)x=200x∴（
3）因为要满足一次购买的数量越多，所获的利润越大，所以y应随x的增大而增大,而y＝600x及y＝200x均是y随x的增大而增大；二
次函数y＝－10x2＋700x＝－10（x－35）2＋12250，当10＜x≤35，y随x的増大而增大，当35＜x≤50封，y随x
的增大而减小，因此x的取值范围只能为10＜x≤35，即一次购买的数量为35件的销售单价恰好为最低销售单价.∴当x＝35时，最低销售
单价为3000－10（35－10）＝2750（元）【板块四】图形面积问题方法技巧正确建模，求出函数解析式，利用二次函数图象的性质結
合自变量的取值范同，求出最值.【例】如图，把一张长10cm，宽8cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成个无盖的
长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）（1）要使长方体盒子的底面积为18cm，那么剪去的正方形的边长为多少？（2）如果把矩形硬纸板的四周
分別剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状，同样大小的矩形，然后折合成一个有盖两长方体盒子，是否有侧面积最大的情況？若有，请求出最
大值和此时剪去的正方形的边长；请说明理由.【解析】（1）正方形的边长为1cm（2）设正方形的边长为xcm，盒子的侧面积为ycm
2．①当在长边上剪去两个形状，大小相同的矩形时，y＝2x（8－2x）＋2x·当x=时，y最大②当在短边上剪去两个形状，大小相同的矩
形时，y=2x·(10-2x)+2x·当x=时，y最大比较①②知：当剪去的正方形的边长为cm时，盒子的面积最大，最大面积为针对
练习41．在一块□ABCD的空地上划一块□MNPQ进行绿化，如图□MNPQ的顶点在?ABCD的边上，已知∠A＝60°，∠AMN＝9
0°，且AM＝PC＝xm,已知平行四边形ABCD的边BC＝20m，AB＝am，a为大于20m的常数，设四边形MNHQ的面积为
Sm（1）求S关于x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围;（2）若a＝40m，求S的最大值并求出此时x的值;（3）若a＝2
00,请直接写出S的最大值.解：（1）S＝S□ABCD－2S△AMN－2S△BNP（2）a＝40时，S＝（3）a＝200时，S
max＝1600.2．如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米.（1）求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；（2）已知墙的最大可用长度为8米．①求所围成花圃的最大面积；②若所围成花圃的面积不小于20平方米，请直接写出x的取值范围.解：（1）S＝x（24－4x）＝－4x2＋24x（0＜x＜6）（2）①S＝－4x2＋24x=-4（x－3）2＋36，由24-4x≤8,24-4x>0,解得4≤x<6,∵当x>3时s随x的增大而减小，当x＝4时s取最大值32，∴所围成花圃的最大面积为32平方米；②当-4x2＋24x＝20时，解得x1＝1，x2＝5，所以4≤x≤5 |
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