第11讲旋转图形的性质知识导航1．旋转图形的性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）
旋转前后的图形全等．2．中心对称与中心对称图形的概念与性质．3．点P（x，y）关于原点的对称点P为（－x，－y）．【板块一】利用旋
转图形的性质求角度方法技巧1．利用等腰求角度；2．通过旋转“化散为聚”求角度．题型一利用旋转角求角度【例1】如图，在△ABC中，
∠CAB＝70°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△的位置，使得//AB，则∠的度数是（）A．70°B．35°C．40°D．50°答
案：C【解析】由//AB得∠＝∠CAB＝70°，又＝AC，故∠＝∠＝70°，可得∠＝40°；由∠＝∠CAB得∠＝∠＝40°，故选C
．题型二利用旋转的位置关系求角度【例2】如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△，点恰好落在边AB上，连接，则∠＝
．答案：【解析】＝AB，∠＝＝70°，∠＝90°－∠＝20°．【例3】一副三角尺按如图的位置摆放（顶点B，C，D在一条直线上，点
C，F重合），将三角尺DEF绕着点F按顺时针方向旋转n°后得到△（0＜n＜180），如果//AB，那么n的值为．答案：【解析】
当//AB时，∠＝∠BAC＝45°，n＝45．题型三利用旋转构造全等求角度【例4】如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A，
B和D的距离分别为1，，，求∠BPQ的度数．答案：【解析】将△APD绕点A顺时针旋转90°，得△；结合边的隐含关系()＋()＝()
，利用勾股定理逆定理可得到△是直角三角形，∠APB＝135°，故∠BPQ＝145°．【例5】如图，在五边形ABCDE中，AB＝AE
，BC＝CD，∠BAE＋∠BCD＝180°，M是ED的中点，连接AM，CM，且AM＝CM，求∠BCD的度数．答案：【解析】将△CD
M绕点M旋转180°得△FEM，则△CDM≌△FEM，∴EF＝CD＝BC，∠FEM＝∠D，∴∠ABC＝∠AEF，证△AEF≌△AB
C，∴∠BAC＝∠EAF，AC＝AF，又MF＝MC＝AM，∴△ACF为等腰直角三角形，∴∠CAF＝90°，又∠BAC＝∠EAF，∴
∠BAE＝∠CAF＝90°，∴∠BCD＝180°－∠BAE＝90°．【点评】这一类题型具有的特点是：等线段、共端点以及特殊角．通过
旋转“使相等的边重合，得出特殊图形”．【例6】如图，点P为等边△ABC内一点，且PA＝2，PB＝1，PC＝，求∠APB的度数．答案
：【解析】将△APC绕点A顺时针旋转60°，得△ADB，连接DP，得AD＝AP，DB＝PC＝，∠DAP＝60°，从而可证△ADP为
等边三角形，所以DP＝AP＝2，∠DPA＝60°，在△DPB中，利用勾股定理逆定理可得∠DBP＝90°，∠DPB＝60°，从而可得
∠APB＝120°．针对练习11．如图，点P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．若将△PAC绕点A逆时针旋
转后得到△．（1）求点P与点之间的距离；（2）求∠APB的度数．答案：解：（1）连接，由题意可知＝AP，∠PAC＝∠，PC＝，又∵
∠PAC＋∠BAP＝60°，∴∠＝60°．∴△为等边三角形，∴＝AP＝＝6．（2）∵＋BP＝，∴△为直角三角形，且∠＝90°，∴∠
APB＝90°＋60°＝150°．2．如图，点P为等边△ABC内一点，∠APB＝113°，∠APC＝123°，求证：以AP，BP，
CP为边可以构成一个三角形，并确定所构成的三角形的各个内角的度数．答案：解：将△APC绕点C逆时针旋转60°，得△BCP1，∴AP
＝BP1，∠BP1C＝∠APC＝123°，由CP＝CP1，∠PCP1＝60°得△PCP1为等边三角形，∴PP1＝CP，∠CPP1＝
∠CP1P＝60°，这时，△BPP1就是以BP，AP，CP为三边构成的三角形，∠BP1P＝∠BP1C－∠CP1P＝∠APC－60°
＝63°，又∠BPC＝360°－113°－123°＝124°，∴∠BPP1＝∠BPC－∠CPP1＝64°，∠PBP1＝180°－6
3°－64°＝53°．3．如图，若点P是正方形ABCD外一点，PA＝3，PB＝1，PC＝，求∠APB的度数．答案：解：将△BPC绕
点B逆时针旋转90°得△，易证△为等腰直角三角形，∴＝，＝PC＝，在△中，AP＋＝，∴∠＝90°，∴∠APB＝45°．【板块二】利
用旋转图形的性质求线段长或面积题型一利用旋转图形性质求线段长【例1】如图，△ABC为等腰直角三角形，AB＝BC＝，∠ABC＝90
°，把△ABC绕点A顺时针旋转至△ADE，AE，DC交于点F，当F为CD的中点时，求AF的长．答案：【解析】过点D作DM⊥AE于点
M，过点C作CN⊥AE于点N，DM＝AE＝4，由△DMF≌△CNF得CN＝DM＝4，在Rt△ANC中，AN＝＝，AM＝DM＝4，M
N＝－4，MF＝MN＝－2，故AF＝AM＋MF＝4＋－2＝＋2．题型二利用旋转图形性质求面积【例2】如图，边长为1的正方形ABC
D绕点A逆时针旋转45°得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，求四边形AB1OD的面积．答案：【解析】AC＝，AB1
＝1，故B1C＝－1，在Rt△OB1C中，∠OCB1＝45°，故OB1＝CB1＝－1，＝OB1·B1C＝，S△ADC＝DA·DC＝
，故S＝S△ADC－＝－＝＝－1．【例3】在正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，连接DP，将DP绕点D逆时针旋转90°后得到
线段DE，连接PE，点C关于直线PE的对称点是，连接，，，若四边形是平行四边形，PC＝2，则平行四边形的面积是．答案：【解析】过
点P作PQ⊥CD于点Q，延长交AD于点G，设交DC于点H，则△PQD≌△DHE，∵PC＝2，∴PQ＝GD＝DH＝＝，∵点与点C关于
PE对称，∴＝PC＝QH＝2，∴CD＝AD＝2＋2，∴＝AD·DH＝4＋2．针对练习21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°
，∠B＝60°，BC＝2，△是由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点与点A是对应点，点与点B是对应点，连接，且点A，，在同一条直线
上，则的长为（）A．6B．4C．3D．3答案：解：在Rt△ABC中，∠B＝60°，BC＝2，故AB＝4，AC＝＝2，＝AC，∠＝
∠＝30°，故∠＝120°，过点C作CH⊥于点H，则HC＝AC＝，＝＝3，＝2＝6，故选A．2．如图．在△ABC中，∠BAC＝15
0°，D，E为线段BC上的两点，∠DAE＝60°，且AD＝AE，若DE＝3，CE＝5，则BD的长为．答案：解：将△ABC沿BA向
上翻折至△BAF，连接AF，EF，FC，可得∠BAF＝∠BAC＝150°，∠FAC＝60°，△AFC为等边三角形，可证△ADC≌△
AEF，∠AFE＝∠ACD，可得∠FEC＝∠FAC＝60°，过点F作FH⊥BC于点H，EH＝EF＝8×＝4，HC＝1，FH＝4，设
BD＝x，则BF＝BC＝x＋8，在Rt△BFH中，BF2－BH2＝FH2即(x＋8)2－(x＋7)2＝48，x＝，故BD＝．3．如
图，P为等边△ABC内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5，求S△ABC．答案：解：在AC右侧取点D，使∠DAP＝60°且DA＝PA
，连接PD，则△APD为等边三角形，可证△ABP≌△ACD（SAS），DC＝BP＝4，PD＝3，PC＝5，PC2＝PD2＋DC2，
∠PDC＝90°，过点A作AE⊥DC于点E，AE＝AD＝，DE＝，EC＝4＋，AC2＝AE2＋EC2＝＋16＋＋12＝25＋12，
过点A作AF⊥BC于点F，在Rt△AFC中，FC＝AC，AF＝＝AC，S△ABC＝×BC×AF＝AC2＝＋9．【板块三】旋转图形中
线段关系的探究方法技巧利用旋转“化散为聚”解决线段关系．题型一旋转图形中线段数量关系的探究【例1】如图，在等边△ABC内有一点O
，试证明：OA＋OB＞OC．答案：【解析】把△AOC以点A为旋转中心顺时针方向旋转60°后，到△的位置，则△AOC≌△，∴AO＝，
OC＝，∠OAC＝∠，∴∠＝60°，∴△为等边三角形，∴AO＝，在△中，＋OB＞，即OA＋OB＞OC．【例2】如图1，△ABC和△
ADE都是等边三角形，将△ADE绕点A旋转．（1）求证：BD＝CE；（2）如图2，若∠ADB＝90°，DE的延长线交BC于点F，交
AB于点G．①求证：点F是BC中点；②若DA＝DB，BF＝，直接写出AG的长为．答案：【解析】（1）证△ABD≌△ACE即可；（
2）连EC，在DF上截取DN＝EF，连BN，由（1）知BD＝CE，可证∠BDN＝∠CEF＝30°，∴△DNB≌△EFC，∴BN＝F
C，∠DNB＝∠EFC，∴∠BNF＝∠BFN，∴BN＝BF，∴BF＝FC，即F为BC的中点；（3）AG＝－，由题知BC＝2BF＝，
∴AB＝，∴DA＝DB＝2，过G作GH⊥AD于H，∵∠GDH＝60°，∴设DH＝a，则GH＝AH＝a，AG＝a，又AD＝a＋a，∴
a＝－1，∴AG＝(－1)＝－．题型二旋转图形中图形形状的确定【例3】如图，在正方形ABCD中，点E，F是对角线BD上两点，且
∠EAF＝45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90后，得到△ABQ连接EQ(1)求证:EA是∠QED的平分线;(2)探求以EF，BE
，DF为三边的三角形的形状【解析】(1)∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ∴QB＝DF，AQ＝AF，∠BAQ＝∠D
AF，由∠EAF＝45，得∠DAF＋∠BAE＝45°，故∠QAE＝45°.故∠QAE＝∠FAE可证△AQE≌△AFE(SAS)∴∠
AEQ＝∠AEF∴EA是∠QED的平分线(2)由(1)得△AQE≌△AFE，QE＝EF.又∠ABQ＝∠ADF＝∠ABD＝45°，
故∠QBE＝90°在Rt△QBE中，QB2＋BE2＝QE2∴EF2＝BE2＋DF2，即以EF，BE，DF为三边的三角形是直角三角形
针对练习31.如图，△BAD是由△BEC在平面内绕点B逆时针旋转60°而得，且AB⊥BC，BE＝CE，连接DE.(1)求证:△BD
E≌△BCE;(2)试判断四边形ABED的形状，并说明理由解:(1)∵△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得，∴DB＝C
B，∠ABD＝∠EBC，∠ABE＝60°∵AB⊥BC，;∠ABC＝90.∴∠DBE＝∠CBE＝30，∴△BDE≌△BCE(SAS)
(2)四边形ABED为菱形，理由如下:由(1)得△BDE≌△BCE∵△BAD是由△BEC旋转而得，∴△BAD≌△BEC∴BA＝BE
，AD＝EC＝ED又BE＝EC，故AB＝BE＝ED＝AD，故四边形ABED为菱形2.给出定义:若一个四边形中存在相邻两边的平方和等
于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形。(1)在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称;(2)如图，将△ABC绕顶点
B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE.已知∠DCB＝30°①求证:△BCE是等边三角形;②求证:DC2＋BC
2＝AC2，即四边形ABCD是勾股四边形.解:(1)正方形、矩形、直角梯形(任写两个);(2)①∵△ABC≌△DBE，∴BC＝BE
，∴∠CBE＝60°，∴△BCE是等边三角形;②∵∠ABC≌△DBE，∴AC＝DE.∵△BCE是等边三角形，BC＝CE，∠BCE＝
60°∵∠DCB＝30°，∴DCE＝90°∴在Rt△DCE中，DC2＋CE2＝DE2，DC2＋BC2＝AC2，即四边形ABCD是勾
股四边形板块四旋转图形中的多解问题方法技巧当运动的点或线的位置不确定时，要注意分类讨论题型一旋转图形中角度的多解问题【例1】
如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝50°，点D在边BC上，BD＝2CD，把△ABC绕点D逆时针旋转角度m(0°＜m＜
180°)后点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，则m＝80°或120°【解析】m＝80°或120°注意分为点B落在斜边AB上或落在
直角边AC上两种情况讨论【例2】将一副三角板按如图所示的方式重叠在一起，若△ABC不动，将△DCE绕着C点顺时针旋转，旋转角为a(
0°＜a＜180°)，旋转过程中，若两个三角形有一组边平行，则a＝15°或60°或105°或135°【解析】a＝15°或60°或1
05°或135°四种情况的图如下：题型二旋转图形中画图的多样性问题【例3】如图，在平面直角坐标系中，A(0，2)，B(2，0)在
图中画出点P，使△PAB为等边三角形，求出满足条件的点P的坐标【解析】可作等边△ABP1和等边△ABP2，因P1A＝P1B，OA＝
OB，故点O，点P均在AB的垂直平分线y＝x上，过点P1作P1H⊥x轴于点H，因OB＝OA＝2，故AB＝.设OP1交AB于点C，在
Rt△P1CB中，BC＝＝OC，P1C＝＝＝，OP1＝，在Rt△OP1H中，∠POH＝45°，故P1H＝OH＝，P1同理可求P2，
故点P的坐标为或针对练习41.如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，边AB绕点A逆时针旋转角度m得到线段AD.若∠BAC＝60°，0°＜m＜360°，连接BD，DC，直接写出△BDC为等腰三角形时，m所有可能的取值30°，120°，210°，300°2.如图，点A，B的坐标为(2，3)，(4，0)，将线段AB绕点P(m，n)旋转180°得到线段CD(点A的对应点为C，点B的对应点为D)，若点C，D都落在坐标轴上，则m＝2或1解:由中心对称图形性质得C''D∥AB，有如图两种情况，当D1在y轴上，C在x轴上时，D(0，3)，此时点P1为DB的中点，其坐标为(2，)，m＝2;当D2在x轴负半轴时，D2(－2，0)，此时点P2为D2B中点P2(1，0)，m＝1，故m＝2或1 |
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