第22讲相似三角形的性质
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1.相似三角形的对应边成比例，对应角相等.
2.相似三角形对应边的比，对应高的比，对应角平分线的比，对应周长的比等于相似比.
3.相似三角形面积的比等于相似比的平方.
方法技巧
1.利用相似三角形的相似比进行比例转化.
2.用函数或方程思想处理相似三角形有关向题.
题型一相似三角形对应边的比等于相似比
【1】从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引一条射线与对边相交，顶点与交点之同的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.
(1)如图1，在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且AD＝CD∠ACB＝(2)如图2，在△ABC中，AC＝2BC＝，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长.
【解析】(1)96°；
(2)由已知AC＝AD＝2BCD∽△BAC，∴＝，设BD＝x)2＝x(＋2)0，∴x＝－1，∵△BCD∽△BAC，∴＝＝，∴CD＝×2＝－.
题型二相似三角形对应高的比等于相似比
【2】一块三角形ABC的空地，BC＝30BC边上的高AD＝20EFGH，使EF在BC边上，H，G分别在AB，AC边上，设EH为x米，矩形的面积为S.
(1)求S关于x的函数关系式.并写出自变量的取值范围.
(2)别墅区管理处计划投资26000元.若游泳池EFGH毎平方米造价100元，将△BEH和△OGF种植草皮，草皮每平方米40元，将△AHG修建休闲区，每平方米造价80元.请你通过计算说明别墅区管理处对该项目的投资是否够用?
【】(1)HG∥BC，AD交HG于点K，∴△AHG∽△ABC，∴＝，＝，解得HG＝－1.530，∴S＝HG×HE＝－1.5x＋30x(0＜x＜20)；
(2)游泳池的造价为(－1.5x＋30x)100＝－150x＋×(－1.5x30)×(20－x80＝60－2400x24000，草皮的造价为(30－30＋1.x)×40＝30＝－602＋600x＋24000＝－60x－5)2＋25500＝5.
题型三相似三角形面积的比等于相似比的平方
【3】△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAEAB＝2ACAD＝2AE.△ABC的面积为32，△ABD的面积为12，求阴影部分图形的面积.
【解析】易证△CAE∽△BAD，∴＝()2＝ABD的面积为12，∴S△ACE＝12＝3△ABC的面积为32，∴S阴影部分＝S－S3＝29.
1.如图，已知菱形ABCD，AB＝2P是边AB延长线上的一点，连接PC并延长交AD的延长线于点Q，连接BQ交CD于点E，连接PD分别交BC，BQ于点F，O，设BP＝＝.
(1)用含x的代数式表示DQ；
(2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(3)当△FCD与△DCQ相似时，求y的值.
解：(1)DQ＝＝，＝，DQ＝
(2)y＝x2＋x(x＞0)提示：y＝＝＝，＝，DE＝；
(3)∵BC∥AD，∴∠BCD＝∠CDQ，∵∠FCD＝∠QDC.①当△FCD∽△CDQ时，∴∠FDC＝＝，∴＝，∴FC＝x，∵BP∥CD，∴△BFP∽△CFD，∴＝，∴＝，∴x＝－1或x＝－1－(舍)，∴y＝x＝(x＋1)2－＝－＝1.
②当△FCD∽△QDC时，∴∠FCD＝∠QCD，∴PD∥PQ，而PD与PQ相交于点P，∴矛盾，故此种情况不存在，即：当△FCD与△DCQ相似时，y的值为1.
2.如图，在锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8.
(1)矩形EFGH的边GH在边BC上，其余两个顶点E，F分别在边AB，AC上，EF交AD于点K.
①求AK的值；②设EH＝xEFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值；
(2)若AB＝ACPQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长.
解：(1)①＝；
②S＝(8－x)(x－4)2＋24.x＝4S最大值是24.
(2)设正方形PQMN的边长为a.
①当正方形PQMN的两个顶点在边BC上时，＝，解得a＝
②当正方形PQMN的两个顶点在边AB或AC上时，∵AB＝ACAD⊥BC，∴BD＝CD＝122＝6AB＝AC＝10.AB或AC上的高等于＝，有(－a)∶a＝∶10，解得a＝.PQMN的边长为或.
3.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°DE⊥BC于点E，连接AE，FE⊥AE交CD于点F.
(1)求证：△AED∽△FEC；
(2)若AD＝CD＝2，求的值.
解：(1)略；
(2)过点C作CN⊥AB交AB的延长线于点N，过点E作AB的垂线，垂足为G，GE的延长线交CD于点H，延长DE交CN于点M.∵＝＝2.A，B，E，F，D五点共圆，且∠AEB＝∠DEF，∴AB＝FD，∴EG＝2EH.∵GB∥CH，∴△EGB∽△EHC，∴＝＝2.＝AB＝x，CD＝y，则EB＝2aADCN是正方形，∴AN＝CN＝CD＝yNB＝y－x△CNB≌△DCM，∴CM＝BN＝y－xDM＝BC＝3aMCD＝∠MEC∠CME＝∠CMD，∴△MCE∽△MDC，∴＝，∴＝，∴y2－xy3a2①.∵CM2＋CD2＝MD2，∴(y－xy2＝9a2②，由①②消去a得x2＋xy－yx＝yy舍弃)，∴＝·＝.
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