第二十九章 投影与视图
第30讲投影与视图
【板块一】 投影
题型一 投影的意义
【例1】 下列命题中，真命题有( A )
①正方形的平行投影一定是菱形;②平行四边形的平行投影一定是平行四边形;③三角形的平行技影一定是三角形.
A.0个 B.1个C2个D3个
【分析】平行投影的特点和规律可知.
解:A.
【点评】投影方向不同，投影(结果)不同.
题型二 与投影有关的计算
【例2】 一个圆锥的轴截面平行于投影面，圆锥的正投影是边长为2的等边三角形，则这个圆锥的表面积是___3π____
【分析】 圆锥的表面积＝底面圆的面积＋圆锥的侧面积.
解:由题意得圆锥的母线为2.底面圆半径为1;则这个圆锥的表面积是
【点评】 解决本题的难a点是得到圆锥的底面半径与母线长，关键是圆锥的表面积公式.
【例3】 (2017郭城)如图，一根直立于水平地面的木杆AB在灯光下形成影子AC(AC＞AB)，当木杆绕点A按逆时针方向旋转，直至到达地面时，影子的长度发生变化.已知AE＝5m，在旋转过程中，影长的最大值为5m，最小值3m，且影长的最大时，木杆与光线垂直，求路灯EF的高度.
【分析】根据木杆旋转时影子的长度变化确定木杆AB的长，然后利用相似三角形的性质求得EF的高度即可。
解:当旋转到达地面时，为最短影长，等于AB.∴AB＝3m，∵影长最大时，木杆与光线垂直，即AC＝5m，∴BC＝4，又可得△CAB∽△CFE，∴,∴AE＝5m，∴,解得EF＝7.5m
【点评】本题考查了中心投影和相似三角形的判定及性质的知识，解题的关键是根据影子的变化确定木杆的长度.
针对练习1
1、一根笔直的小木棒(记为线段AB)，它的正投影为线段CD，则下列各式中一定成立的是(D)
A.AB＝CDB.ABCD C.AB＞CD D.ABCD
的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是cm，则皮球的直径是(B )
A.cm B.15cm C.10cm D.cm
4.(2018信丰)如图,一根直立于水平地面上的木杆AB在灯光下形成影子,当木杆绕A按逆时针方向旋转直至到达地面时,影子的长度发生变化设AB垂直于地面时的影长为AC(假定AC＞AB),影长的最大值为m,最小值为n那么下列结论中:m＞AC;m＝AC;n＝AB;影子的长度先增大后减小.正确的结论是(填序号)
5.一条线段经过正投影后形成的图形是
答案：线段或点6如图,一个圆柱的轴截面平行于投影面,圆柱的正投影是边长为4的正方形则圆柱体的表面积为
7.(2017南海)如图,在A时测得某树的影长为4m,B时又测得该树的影长为,若两次日照的光线互相垂直则树的高度为m.
答案：8
8.如图,小明从点A出发沿AB方向匀速前进,2秒后到达点D,此时他在某灯光下的影子为DA,继续按此速度行走2秒到达点F,此时他在同一灯光下的影子落在其身后的线段DF上,测得此时影长MF为1.2米,然后他将速度提高到原来的1.5倍再行走2秒到达点H他在同一灯光下的影子恰好是HB.图中线段CD,EF,GH表示小的身高.若A,B两地相距12米,求小明原来的速度
解:设小明原来的速度为m/s,则CE＝2xm,AM＝AFMF＝(4x1.2)m,EG＝2×15x＝3xm,BM＝ABAM＝12(4x－1.2)＝13.24x,∵点C,E,G在一条直线上,CGAB,
若灯光的位置为点O.OCE∽△OAM,△OEG∽△OMB,∴，∴.
∴，即解得x＝1.5经检验＝1.5为方程的解,小明原来的速度为1.5m/s,答:略.
【板块二】三视图
题型一简单的几何体的三视图
【例1】(1)(2018长丰)如图是一个空心圆柱体,它的主视图是()
答案：B
(2)(2018太原)某几何体由大小相同的小立方块搭成,从上面看这个几何体的形状如图所示(小正方形中的数字表示该位置的小立方块的个数)从左面看该几何体的形状图是()
答案：A
【分析】(1)从不同方向看所得到的视图,注意所有的看到的校都应表现在相应的视图中;(2)左视图有2列,每列小正
方形数目分别为3,2
解:(1)B;(2)A
【点评】1.注意看得到的棱画实线,看不到的棱画虚线
2.由几何体的俯视图及小正方形内的字,可知主视图的列数与俯视的列数相同,且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字.左视图的列数与俯视图的行数相同,且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数A.5 B.6 C.7 D.8
【分析】根据该几何体的俯视图可确定该几何体共有两行三列,再结合主视图,即可得出该几何体的小正方体的个数.
解:A.
【点评】掌握口诀“俯视图打地基,正视图疯狂盖,左视图拆违章”.
【例4】(2018萧山)一个几何体的三视图如图所示.
(1)写出这个几何体的名称;
(2)求这个几何体侧面展开图的周长和面积;
【分析】(1)由常见几何体的三视图可得该几何体为圆锥;
(2)根据三视图知圆锥的底面圆的直径为12,半径为6,高为8,得出母线长为10,再根据扇形的孤长和面积公式可得答案.
解:(1)由三视图可知,该几何体为圆锥;
(2)由三视图数据知圆锥的底面圆的直径为12,半径为6,高为8,则母线长为＝10×6＋20＝20＋12,面积为×(2×6)×10＝60.
【点评】本题主要考查由三视图判断几何体,解题的关键是掌握常见几何体的三视图及扇形的弧长、面积计算公式,要记住圆锥的侧面积公式.
针对练习2
1.(2018泰州)下列几何体中,主视图与俯视图不相同的是()
答案：B
2.(2017临泽)如图所示的几何体的俯视图是()
答案：C
3.(2018常熟)如图是由几个相同的小正方体组成的立体图形的俯视图，图上的数字表示该位置上小正方体的个数,这个立体图形的左视图是()
答案：A
4.(2018西宁)圆锥的主视图是边长为4cm的等边三角形,则该圆锥侧面展开图的面积是cm2
答案：8
5.(2018淮安)长方体的主视图与俯视图如图所示,则这个长方体的体积是.
答案：24
6.(2018黄山)如图是一个由若干个小正方体组合而成的几何体的三视图,则组成该组合体的小正方体个数是.
答案：5
7.如图,是一个几何体的三视图(含有数据),则这个几何体的侧面展开图的面积是.
答案：2
8.(2018青岛)一个由16个完全相同的小立方块搭成的几何体,其最下面一层摆放了9个小立方块,它的主视图和左视图如图所示,那么这个几何体的搭法共有种.
答案：10
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