?
科目代码:847请在答题纸（本）上做题,在此试卷或草稿纸上做题无效！
九、证明题（10分）设?是实数域R上n维线性空间V的线性变换,??R.证明:
n
1.V的子集W?{??V(???)??0}是V的子空间;2.W为?不变子空间.
十、证明题（20分）
nT
1.设?,?是欧氏空间(标准内积)R中的单位列向量,A???,且????0,
证明:是A的一个特征向量;
?
n?nn?n
2.设A,B,C,D?P,对?X?P,令?(X)?ABX?CX?XD,
证明:?是上的线性变换.
十一、综合题（20分）在P?x?中，多项式f?(x??)...(x??)(x??)...(x??)
ni1i?1i?1n
(i?1,2,?,n),其中?,?,...,?是互不相同的数.
12n
1.证明：f,f,?,f是一组基;
12n
2n?1
nn
2.在1.中，令?,?,...,?是全体n次单位根，求由基1,x,x,?,x到基
12n
f,f,...,f
的过渡矩阵。
12n
P
T
十二、证明题（20分）设M是n维欧氏空间(所有形如x?(x,x,?x),
12n
T
y?(y,y,?y)的实向量所构成的实线性空间)的一个非空子集.M上内积
12n
n
?n
为x,y??xy.令M?{x?R|x,y?0,?y?M}.
ii
i?1
?n
1.证明:M是R的一个子空间;
?
2.证明:若M为的一个线性子空间,则可表示为M与M的直和.即
n
n?
R?M?M.
R
第2页共2页
nn
RR |
|
