已知z=yf(xy,x+10y)，求偏导数∂z∂x，∂z∂y

已知z=yf(xy,x+10y)，f有二阶连续偏导数，求?z/?x，?z/?y，
2
?z/?x?y。

本题可以通过直接法和求全微分的方法来求所求的偏导数。

解：
一、直接求导法
2
?z/?x=y(f''y+f''1)=yf''+yf'';
1212
?z/?y=f(xy,x+10)+y(f''x+f''10)
12
=f(xy,x+10)+xyf''+10yf'';
12
进一步求二阶偏导数得：
22
?z/?x?y=?(yf''+yf'')/?x;
12
2
=2yf''+y(f''x+10f'')+f''+y(f''x+10f'')
1111222122
22
=2yf''+xyf''+10yf''+f''+xyf''+10yf''
1111222122
2
=2yf''+xyf''+y(10y+x)f''+f''+10yf''。
11112222

二、全微分法
dz=f(xy,x+10)dy+y[f''(ydx+xdy)+f''(1dx+10dy)]
12
2
=f(xy,x+10)dy+f''ydx+xyf''dy+yf''dx+10yf''dy
1122
2
=(f''y+yf'')dx+[f(xy,x+10y)+xyf''+10yf'']dy
1212
即：
2
?z/?x=f''y+yf'',
12
?z/?y=f(xy,x+10y)+xyf''+10yf'',
12
进一步得：
2
?z/?x?y
2
=(f＂x+10f＂)y+2yf''+f''+y(f＂x+10f＂)
1112122122
22
=xyf＂+10yf＂+2yf''+f''+xyf＂+10yf＂
1112122122
2
=xyf＂+y(10y+x)f＂+2yf''+f''+10yf＂。
11121222