一、选择题1.（2019山东滨州，6，3分）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为（）A．
60°B．50°C．40°D．20°【答案】B【解析】如图，连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∵∠A和∠BCD都是
弧BD所对的圆周角，∴∠A=∠BCD=40°，∴∠ABD=90°－40°=50°．故选B．【知识点】圆周角定理及其推论2.(20
19山东聊城,8,3分)如图,BC是半圆O的直径,D,E是上两点,连接BD,CE并延长交于点A,连接OD,OE,如果∠A＝70°
,那么∠DOE的度数为A.35°B.38°C.40°D.42°第8题图【答案】C【解析】∵∠A＝70°,∴∠B+∠C＝110°,∴
∠BOE+∠COD＝220°,∴∠DOE＝∠BOE+∠COD－180°＝40°,故选C.【知识点】三角形内角和定理,圆周角定理3.
（2019山东省潍坊市，11，3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD=CD．过点D作DE⊥AB于点E．连接AC交
DE于点F．若sin∠CAB=，DF=5，则BC的长为（）A．8B．10C．12D．16【答案】C【思路分析】连接BD，先证
明∠DAC=∠ACD=∠ABD=∠ADE，从而可得AF=DF=5，根据sin∠CAB=，求得EF和AE的长度，再利用射影定理求出B
E的长度从而得到直径AB，根据sin∠CAB=求得BC的长度．【解题过程】连接BD．∵AD=CD，∴∠DAC=∠ACD．∵AB为直
径，∴∠ADB=∠ACB=90°．∴∠DAB+∠ABD=90°．∵DE⊥AB，∴∠DAB+∠ADE=90°．∴∠ADE=∠ABD．
∵∠ABD=∠ACD，∴∠DAC=∠ADE．∴AF=DF=5．在Rt△AEF中，sin∠CAB=∴EF=3，AE=4．∴DE=3+
5=8．由DE2=AE?EB，得．∴AB=16+4=20．在Rt△ABC中，sin∠CAB=∴BC=12．【知识点】圆周角，锐
角三角比4.（2019四川省凉山市，7，4）下列命题：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；②两点之间线段最短；③
相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦．其中，真命题的个数（▲）A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】直线外
一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；两点之间线段最短；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；平分弦（不是直径）的
直径垂直于弦，所以只有①是对的，故选A.【知识点】点到直线的距离概念；线段基本事实；在同圆或等圆中圆心角与弧的关系；垂径定理的推论
5.（2019四川省眉山市，10，3分）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD．垂足是点E，∠CAO=22．5°，OC=6，则CD的
长为A．B．C．6D．12【答案】A【思路分析】【解题过程】解：∵∠A=22.5°，∴∠COE=45°，∵⊙O的直径AB垂直于
弦CD，OC=6，∴∠CEO=90°，∵∠COE=45°，∴CE=OE=OC＝，∴CD=2CE=，故选：D.【知识点】三角形的外角
的性质，垂径定理，锐角三角形函数6.（2019浙江省衢州市，8，3分）一块圆形宣传标志牌如图所示，点A，B，C在⊙O上，CD垂直
平分AB于点D.现测得AB=8dm，DC=2dm，则圆形标志牌的半径为（A）A.6dmB.5dmC.4dmD.3dm【答案】B【解
析】连接OD，OB，则O，C，D三点在一条直线上，因为CD垂直平分AB，AB=8dm，所以BD=4dm,OD=（r-2）dm，由
勾股定理得42+（r-2）2=r2，r=5dm，故选B。【知识点】垂径定理勾股定理7.(2019山东泰安,9题,4分)如
图,△ABC是O的内接三角形,∠A＝119°,过点C的圆的切线交BO于点P,则∠P的度数为A.32°B.31°C.29°D.61°
第9题图【答案】A【解析】连接CO,CF,∵∠A＝119°,∴∠BFC＝61°,∴∠BOC＝122°,∴∠COP＝58°,∵CP与
圆相切于点C,∴OC⊥CP,∴在Rt△OCP中,∠P＝90°－∠COP＝32°,故选A.【知识点】圆的内接四边形,圆周角定理,直角
三角形两锐角互余8.（2019四川南充，6，4分）如图，四边形内接于，若，则A．B．C．D．【答案】D【解析】解：四边形内接于
，，．故选：D．【知识点】圆内接四边形的性质9.（2019甘肃天水，9，4分）如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与
BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D＝80°，则∠EAC的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°【答案】C【解析
】解：∵四边形ABCD是菱形，∠D＝80°，∴∠ACB∠DCB（180°﹣∠D）＝50°，∵四边形AECD是圆内接四边形，∴∠AE
B＝∠D＝80°，∴∠EAC＝∠AEB﹣∠ACE＝30°，故选：C．【知识点】菱形的性质；圆周角定理10.（2019甘肃武威，9
，3分）如图，点，，在圆上，若弦的长度等于圆半径的倍，则的度数是A．B．C．D．【答案】C【解析】解：设圆心为，连接、，如图，∵
弦的长度等于圆半径的倍，即，∴，∴为等腰直角三角形，，∴，故选C．【知识点】圆周角定理11.（2019甘肃省，8，3分）如图，是
的直径，点、是圆上两点，且，则A．B．C．D．【答案】C【解析】解：∵，∴，∴，故选C．【知识点】圆的有关概念及性质12.（2
019湖北宜昌，12，3分）如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC＝40°时，∠A的度数是（）A．50°B．55°C．60°
D．65°【答案】A【解析】解：∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝40°，∴∠BOC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠A
∠BOC＝50°．故选：A．【知识点】圆周角定理13.（2019江苏连云港，8，3分）如图，在矩形中，．将矩形对折，得到折痕；沿
着折叠，点的对应点为，与的交点为；再沿着折叠，使得与重合，折痕为，此时点的对应点为．下列结论：①是直角三角形；②点、、不在同一条直
线上；③；④；⑤点是外接圆的圆心，其中正确的个数为A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【解析】解：∵沿着折叠，点的对应点为
，∴，∵再沿着折叠，使得与重合，折痕为，，，，是直角三角形；故①正确；∵沿着折叠，点的对应点为，，∵再沿着折叠，使得与重合，折痕为
，，，∴点、、在同一条直线上，故②错误；，∴设，则，∵将矩形对折，得到折痕；，，，，，，，，∴，，故③错误；，，∴，，故④，，，，
，，，，，∵，∴点是外接圆的圆心，故⑤正确；故选．【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形的外接圆与外心；矩形的性质；直角三角形的性
质14.（2019山东德州，9，4分）如图，点为线段的中点，点，，到点的距离相等，若，则的度数是A．B．C．D．【答案】B【解
析】解：由题意得到，作出圆，如图所示，四边形为圆的内接四边形，，，，故选B．【知识点】圆内接四边形的性质15.（2019山东菏泽
，6，3分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC平分∠ABD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定
成立的是（）A．OC∥BDB．AD⊥OCC．△CEF≌△BEDD．AF＝FD【答案】C【解析】解：∵AB是⊙O的直径，BC平分
∠ABD，∴∠ADB＝90°，∠OBC＝∠DBC，∴AD⊥BD，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠DBC＝∠OCB，∴OC∥
BD，选项A成立；∴AD⊥OC，选项B成立；∴AF＝FD，选项D成立；∵△CEF和△BED中，没有相等的边，∴△CEF与△BED不
全等，选项C不成立，故选C．【知识点】圆周角定理16.（2019台湾省，24，3分）如图表示、、、四点在上的位置，其中，且，．若阿
超在上取一点，在上取一点，使得，则下列叙述何者正确？A．点在上，且B．点在上，且C．点在上，且D．点在上，且【答案】B【解析】解
：连接，，，，且，，，在圆周上取一点连接，，，，取的中点，连接，则，，点在上，且，故选：B．【知识点】圆心角，弧，弦的关系；圆内接
四边形的性质；圆周角定理二、填空题1.（2019四川省凉山市，15，4）如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A=3
0°，CD=2，则⊙O的半径是．第15题图【答案】2【解析】连接OC，则OA=OC，∴∠A=∠ACO=30°，∴∠COH=
60°，∵OB⊥CD，CD=2，∴CH=，∴OH=1，∴OC=2.第15题答图【知识点】等腰三角形性质；三角形外角性质；垂径定理；
勾股定理2.（2019天津市，18，3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A在格点上，B是小正方形边的中点
，∠ABC=50°，∠BAC=30°，经过点A,B的圆的圆心在边AC上，线段AB的长等于；请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，
画出一个点P，使其满足∠PAC=∠PBC=∠PCB，并简要说明点P的位置是如何找到的（不需要证明）【答案】（1）（2）如图，
取圆与网格线的交点E,F连接EF与AC相交，得圆心O；AB与网格线相交于点D，连接DO并延长，交O于点Q，连接QC并延长，与点B,
O的连线BO相交于点P，连接AP，则点P满足∠PAC=∠PBC=∠PCB【解析】(1)如图，Rt△ABD中，AD=2，BD=,由勾
股定理可得AB=（2）由于点A在格点上，可得直角，根据圆周角是直角所对的弦是直径可以作出直径，又因为圆心在AC上，所以取圆与网格线
的交点E,F连接EF与AC相交，得圆心O；AB与网格线相交于点D，则点D为AB的中点，连接DO并延长，根据垂径定理可得则DO垂直平
分AB，连接BO，则∠OAB=∠OBA=30°，因为∠ABC=50°，所以∠OBC=20°，DO的延长线交O于点Q，连接QC并延长
，与点B,O的连线BO相交于点P，连接AP，则点P满足∠PAC=∠PBC=∠PCB【知识点】勾股定理，圆周角的性质，垂径定理3.
（2019浙江湖州，12，4）已知一条弧所对的圆周角的度数为15°，则它所对的圆心角的度数是．【答案】30°．【解析】根据在同圆
或等圆中，同弧或等弧所对圆心角的度数是该弧所对圆周角的度数的2倍，可知答案为30°．【知识点】圆周角定理．4.(2019浙江台州
,14题,5分)如图,AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线,点D关于AC的对称点E在边BC上,连接AE,若∠ABC＝64°,则∠
BAE的度数为________.第14题图【答案】52°【解析】∵圆内接四边形ABCD,∴∠B+∠D＝180°,∵∠B＝64°,∴
∠D＝116°,又∵点D关于AC的对称点是点E,∴∠D＝∠AEC＝116°,又∵∠AEC＝∠B+∠BAE,∴∠BAE＝52°.【知
识点】圆内接四边形,三角形外角定理,对称性5.（2019安徽省，13，5分）如图，内接于，，，于点，若的半径为2，则的长为．【
答案】【解析】解：连接并延长交于，连接，则，，的半径为2，，，，，.故答案为．【知识点】圆周角定理6.（2019江苏连云港，13
，3分）如图，点、、在上，，，则的半径为．【答案】6【解析】解：，又，是等边三角形，故答案为6．【知识点】圆周角定理7.（20
19江苏泰州，16，3分）如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O上，点A在⊙O内，且AP＝3，过点A作AP的垂线交⊙O于点B、C．设PB
＝x，PC＝y，则y与x的函数表达式为．【答案】yx．【解析】解：连接PO并延长交⊙O于D，连接BD，则∠C＝∠D，∠PBD＝9
0°，∵PA⊥BC，∴∠PAC＝90°，∴∠PAC＝∠PBD，∴△PAC∽△PBD，∴，∵⊙O的半径为5，AP＝3，PB＝x，PC
＝y，∴，∴yx，故答案为：yx．【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定和性质8.（2019江苏盐城，14，3分）如图，点、、、
、在上，且为，则°．【答案】155【解析】解：连接，为，，四边形为的内接四边形，，，故答案为：155．【知识点】圆周角定理；圆
内接四边形的性质9.（2019山东德州，17，4分）如图，为的直径，弦，垂足为，，，，则弦的长度为．【答案】【解析】】解：连接、
，交于，如图，，，设的半径为，则，，在中，，解得，，，，在中，，①在中，，②解由①②组成的方程组得到，．故答案为．【知识点】垂径定
理；勾股定理10.15.（2019四川宜宾，15，3分）如图，的两条相交弦、，，，则的面积是．【答案】【解析】】解：，而
，，为等边三角形，，圆的半径为4，的面积是，故答案为：．【知识点】圆周角定理11.（2019浙江嘉兴，14，4分）如图，在中，弦
，点在上移动，连结，过点作交于点，则的最大值为．【答案】【解析】解：连接，如图，，，，当的值最小时，的值最大，而时，最小，此时，
的最大值为，故答案为：．【知识点】垂径定理；勾股定理三、解答题1.(2019浙江宁波,26,14分)如图1,O经过等边三角形AB
C的顶点A,C(圆心O在△ABC内),分别与AB,CB的延长线交于点D,E,连接DE,BF⊥EC交AE于点F.(1)求证:BD＝B
E;(2)当AF:EF＝3:2,AC＝6时,求AE的长;(3)设＝x,tan∠DAE＝y.①求y关于x的函数表达式;②如图2,连接
OF,OB,若△AEC的面积是△OFB面积的10倍,求y的值.第26题图【思路分析】(1)利用等边三角形的性质和圆周角定理,得到∠
BED＝∠BDE,由等角对等边,得到结论;(2)由三线合一求出AG,BG长,利用平行线分线段成比例,求得EB,进而通过勾股定理得到
AE的长;(3)①构造直角三角形,利用比例关系,写出EH,AH的代数式,进而求得y关于x的表达式;②构造相似,得到比例式,表示出两
个三角形的面积,根据10倍关系,得到方程,即可解得y的值.【解题过程】(1)∵△ABC为等边三角形,∴∠BAC＝∠C＝60°,∠D
EB＝∠BAC＝60°,∠D＝∠C＝60°,∠DEB＝∠D,BD＝BE.(2)如图,过点A作AG⊥EC于点G,∵△ABC为等边三角
形,AC＝6,∴BG＝BC＝AC＝3,在Rt△ABG中,AG＝BG＝,∵BF⊥EC,∴BF∥AG,∴,∵AF:EF＝3:2,∴BE
＝BG＝2,∴EG＝BE+BG＝3+2＝5,∴在Rt△AEG中,AE＝;第26题答图(1)(3)①如图,过点E作EH⊥AD于点H,
∵∠EBD＝∠ABC＝60,在Rt△BEH中,＝sin60＝,EH＝BE,BH＝BE,＝x,BG＝xBE,AB＝BC＝2BG＝2x
BE,AH＝AB+BH＝2xBE+BE＝(2x+)BE,Rt△AHE中,tanEAD＝,∴y＝;第26题答图(2)②如图,过点O作
OM⊥EC于点M,设BE＝a,∵＝x,∴CG＝BG＝xBE＝ax,∴EC＝CG+BG+BE＝a+2ax,∴EM＝EC＝a+ax,∴
BM＝EM－BE＝ax－a,∵BF∥AG,∴△EBF∽△EGA,∴,∵AG＝BG＝ax,∴BF＝AG＝,△OFB的面积＝,△AEC
的面积＝,∵△OFB的面积是△AEC的面积的10倍,∴＝,∴2x2－7x+6＝0,解之,得x1＝2,x2＝,y＝或.第26题答图(
3)【知识点】等边三角形的性质,圆周角定理,等角对等边,三线合一,平行线分线段成比例,勾股定理,三角函数,相似三角形,一元二次方程
2.（2019四川省自贡市，21，8分）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB=CD，连接AD、BC，求证：（1）；（2）A
E=CE.【思路分析】（1）连接AO，BO，CO，DO,由AB=CD得到∠AOB=∠COD，从而证明出∠AOD=∠BOC即可得到；
（2）试判定△ADE≌△CBE即可得出结论.【解题过程】解：（1）连接AO，BO，CO，DO,∵AB=CD，∴∠AOB=∠COD，
∴∠AOD=∠BOC，∴.（2）∵，∴AD=BC，∵，∴∠ADC=∠ABC，又∵∠AED=∠CEB，∴△ADE≌△CBE，∴AE=
CE.【知识点】圆的性质，圆周角定理，全等三角形判定.3.（2019四川攀枝花，24，12分）在平面直角坐标系xOy中，已知A（
0，2），动点P在y＝x的图象上运动（不与O重合），连接AP，过点P作PQ⊥AP，交x轴于点Q，连接AQ。（1）求线段AP长度的取
值范围；（2）试问：点P运动过程中，∠QAP是否为定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由。（3）当△OPQ为等腰三角形时，求
点Q的坐标.【思路分析】（1）点P是y＝x上的动点，求线段AP长度的取值范围，可考虑线段AP的最小值及最大值；（2）思路一（共圆法
）：根据点P所在的不同位置，分情况讨论，证得∠PAQ＝30°;思路二（相似法）：根据点P所在的不同位置，分情况讨论，证得∠PAQ
＝30°．（3）设P（m，m），Q（a，0），根据勾股定理利用关系式OA2＋OQ2＝AP2＋PQ2，求得a＝.，进而得点Q的坐标.
分情况OP＝OQ，PO＝PQ，QO＝QP时，讨论点Q的坐标即可.【解题过程】解：（1）作AH⊥OP，则AP≥AH．∵点P在y＝x
的图象上，∴∠HOQ＝30°，∠HOA＝60°．∵A（0，2），∴AH＝AO·sin60°＝．∴AP≥．（2）∠QAP是定值．
法一：（共圆法）①当点P在第一象限的线段OH的延长线上时，由∠QPA＝∠QOA＝90°，可得∠APQ＋∠AOQ＝180°，∴P、
Q、O、A四点共圆∴∠PAQ＝∠POQ＝30°．②当点P在第一象限的线段OH上时，由∠QPA＝∠QOA＝90°，可得P、O、Q、
A四点共圆∴∠PAQ＋∠POQ＝180°，又∵∠POQ＝150°，∴∠PAQ＝180°－∠POQ＝30°．③当点P在第三象限时
，特殊角的三角函数值；由∠QPA＝∠QOA＝90°，可得Q、P、O、A四点共圆∴∠PAQ＝∠POQ＝30°．法二：（相似法）①
当点P在第三象限时，由∠QPA＝∠QOA＝90°，可得△BPQ∽△BOA．∴∴△QBA∽△PBO．∴∠PAQ＝∠POQ＝30
°，②当点P在第一象限且点B在AP延长线上时，由∠QPA＝∠QOA＝90°，可得∠BPQ＝∠BOA＝90°，∴△BPQ∽△BOA
．∴∴△BPO∽△BQA．∴∠PAQ＝∠POB＝30°．③当点P在第一象限且点B在PA延长线上时，由∠QPA＝∠QOA＝90°，可
得∠BPQ＝∠BOA＝90°，∴△BPQ∽△BOA．∴∴△BPO∽△BQA．∠PAQ＝∠POQ＝30°．（3）设P（m，m），Q
（a，0），∵OA2＋OQ2＝AP2＋PQ2∴22＋a2＝m2＋(m－2)2＋(a－m)2＋(m)2整理，得a＝.∴Q（，0
）.∴OP2＝m2，OQ2＝m2－m＋.PQ2＝m2－m＋.①当OP＝OQ时，则m2＝m2－m＋整理,得m2－4m＋3＝0，解得m
＝2±3．∴Q1(2＋4,0)，Q2(2－4,0)．②当PO＝PQ时，则m2＝m2－m＋整理得：2m2＋m－3＝0，
解得解得m＝，或m＝－.当m＝时，Q点与O重合，舍去，∴m＝－.∴Q3(－2,0).③当QO＝QP时，则m2－m＋＝m2－
m＋整理，得m2－m＝0.解得m＝∴Q4(,0).综上，当△OPQ为等腰三角形时，点Q的坐标为Q1(2＋4,0)，Q2(2
－4,0)，Q3(－2,0)，Q4(,0).【知识点】圆内接四边形；线段的最值；相似三角形的判定与性质；勾股定理；一元二次方程
的解法；等腰三角形的性质；分类讨论4.（2019山东省济宁市，题号20，分值8）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是弧
AC的中点，E为OD延长线上一点，∠CAE＝2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若DH
＝9，tanC＝，求直径AB的长．CDHAEOBF【思路分析】通过等弧得到相等的弦，接着得到相等
的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，通过等量代换得到角度之间的关系，从而证明出切线；通过三角函数求得直角三
角形的边，用勾股定理求出直径．【解题过程】∵D是弧AC的中点，∴AD＝CD∴∠DAC＝∠C∵∠CAE＝∠EAD＋∠DAC，∠CAE
＝2∠C，∴∠EAD＝∠C，∵∠C＝∠B，∴∠B＝∠EAD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB＋∠B＝90°，∴∠
EAD＋∠DAB＝90°，∴∠EAO＝90°，∴AE是⊙O的切线；在△ADH中∠ADH＝90°，DH＝9，∠DAH＝∠C，∴ta
n∠DAH＝，∴，∴AD＝12，在△BAD中∠ADB＝90°，AD＝12，∴tan∠B＝tan∠C＝，∴tan∠B＝，∴BD＝
16，∵∠ADB＝90°，∴AB＝．【知识点】在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦也相等，同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的
圆周角是直角，三角函数，勾股定理；5.（2019江苏省无锡市，28，10）如图1，在矩形中，BC=3，动点从出发，以每秒1个单位
的速度，沿射线方向移动，作关于直线的对称，设点的运动时间为.（1）若AB=2，①如图2，当点落在AC上时，显然△PC是直角三角形，
求此时t的值；②是否存在异于图2的时刻，使得△PC是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的t的值？若不存在，请说明理由；（2
）当P点不与C点重合时，若直线P与直线CD相交于点M，且当t＜3时存在某一时刻有结论∠PAM=45°成立，试探究：对于t＞3的任意
时刻，结论∠PAM=45°是否总是成立？请说明理由.图1图
2备用第28题图【思路分析】本题考查了与矩形相关的轴对称问题，（1）①先利用勾股定理求AC
，再证△CP∽△CBA得比例式求，最后用勾股定理列方程求t的值；②先用t表示相关线段，再分三种情况讨论，借助勾股定理或直接计算方法
求t；（2）易得四边形ABCD为正方形，于是AB=A=AD，从而可证全等得∠DAM=∠AM，由轴对称得∠PAB=∠PA=2∠DA
M+∠PAD，代入∠PAB+∠PAD=90°中得到结论.【解题过程】（1）①∵∠B=90°，∴AC=，∵∠CP=∠CBA=90
°，∠CP=∠BCA，∴△CP∽△CBA，，故，解得.由轴对称可得PB=，∴t=；②由已知可得PB=P=t，PC=3-t，D
A=BC=3，AB=A=2，分三种情况：1°如图，当∠PC=90°时，由勾股定理得D=，∴C=，在△PC中，PC2+C2=P
2，∴()2+(3-t)2=t2，解得t=2.②③
④第28题答图2°如图，当∠PC=90°时，由勾股定理得D=，∴C=3，在△PC中PC2+C2=P2，(3)2+(t
-3)2=t2，解得t=6.3°当∠CP=90°时，易证四边形ABP为正方形，P=AB=2，∴t=2；如图④，四边
形ABCD为正方形，t>3时，∵AB=A=AD，AM=AM，Rt△MDA≌Rt△AM（HL），∴∠DAM=∠AM，由轴对称可得∠P
AB=∠PA=2∠DAM+∠PAD，∴∠PAB+∠PAD=2∠DAM+2∠PAD=90°，∴∠PAM=∠DAM+∠PAD=45°.
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；全等三角形判定与性质；轴对称；方程思想；数形结合思想；分类讨论思想6.（2019湖南怀化，23
，12分）如图，A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，连接AC、CE、EB、BD、DA，得到一个五角星图形和五边形MNFGH.计
算∠CAD的度数；连接AE，证明：AE=ME；求证：ME2=BM·BE.【思路分析】（1）根据A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点
可得∠COD的度数，根据圆周角定理可得∠CAD的度数，同理可得∠EBD，∠ACE，∠BDA，∠CEB的度数；（2）根据圆周角定理可
得∠AEB=∠BDA，∠DAE=∠EBD，根据（1）可得出∠MAE=∠AME，进而得出结论；（3）连接AB，由（2）△ABE∽△N
AE，△ABM≌△EAN，进而得出，AN=BM，根据AE=ME即可得出答案.【解题过程】（1）解：∵A、B、C、D、E是⊙O上的5
等分点，∴∠COD==72°，∴∠CAD=∠COD=36°.同理可得∠EBD=∠ACE=∠BDA=∠CEB=36°.（2）∵∠AE
B=∠BDA，∠DAE=∠EBD，又∵∠CAD=∠EBD=∠ACE=∠BDA=∠CEB=36°，∴∠MAE=72°，∠AEB=36
°，∴∠MAE=∠AME=72°，∴AE=ME.（3）连接AB.由（2）可知∠NAE=∠AEN=36°，∠ABE=∠AEB=36°
，AB=AE∴△ABE∽△NAE，△ABM≌△EAN，∴，AN=BM，∴AB·AE=BE·AN，∵AE=ME，∴ME2=BM·BE
..【知识点】圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质7.（2019甘肃武威，21，8分）已知：在中，．（1）
求作：的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若的外接圆的圆心到边的距离为4，，则．【思路分析】（1）作线段，
的垂直平分线，两线交于点，以为圆心，为半径作，即为所求．（2）在中，利用勾股定理求出即可解决问题．【解题过程】解：（1）如图，即为
所求．（2）设线段的垂直平分线交于点．由题意，，在中，，∴．故答案为．【知识点】等腰三角形的性质；三角形的外接圆与外心8.（20
19广东广州，23，12分）如图，⊙O的直径AB＝10，弦AC＝8，连接BC．（1）尺规作图：作弦CD，使CD＝BC（点D不与B重
合），连接AD；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图中，求四边形ABCD的周长．【思路分析】（1）以C为圆心，CB为半
径画弧，交⊙O于D，线段CD即为所求．（2）连接BD，OC交于点E，设OE＝x，构建方程求出x即可解决问题．【解题过程】解：（1）
如图，线段CD即为所求．（2）连接BD，OC交于点E，设OE＝x．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴BC6，∵BC＝CD，∴，∴
OC⊥BD于E．∴BE＝DE，∵BE2＝BC2﹣EC2＝OB2﹣OE2，∴62﹣（5﹣x）2＝52﹣x2，解得x，∵BE＝DE，B
O＝OA，∴AD＝2OE，∴四边形ABCD的周长＝6+6+10．【知识点】作图题；圆周角定理；解直角三角形9.（2019湖北荆门
，21，10分）已知锐角△ABC的外接圆圆心为O，半径为R．（1）求证：2R；（2）若△ABC中∠A＝45°，∠B＝60°，AC，
求BC的长及sinC的值．【思路分析】（1）如图1，连接AO并延长交⊙O于D，连接CD，于是得到∠CD＝90°，∠ABC＝∠ADC
，根据三角函数的定义即可得到结论；（2）由2R，同理可得：2R，于是得到2R2，即可得到BC＝2R?sinA＝2sin45°，如图
2，过C作CE⊥AB于E，解直角三角形即可得到结论．【解题过程】解：（1）如图1，连接AO并延长交⊙O于D，连接CD，则∠CD＝9
0°，∠ABC＝∠ADC，∵sin∠ABC＝sin∠ADC，∴2R；（2）∵2R，同理可得：2R，∴2R2，∴BC＝2R?sinA
＝2sin45°，如图2，过C作CE⊥AB于E，∴BE＝BC?cosBcos60°，AE＝AC?cos45°，∴AB＝AE+BE，
∵AB＝AR?sinC，∴sinC．【知识点】勾股定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；解直角三角形10.（2019江苏南京，
22，7分）如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD．求证：PA＝PC．【思路分析】连接AC，由圆心角、弧、弦的关
系得出，进而得出，根据等弧所对的圆周角相等得出∠C＝∠A，根据等角对等边证得结论．【解题过程】解：连接AC，∵AB＝CD，∴，∴，
即，∴∠C＝∠A，∴PA＝PC．【知识点】圆的有关概念及性质11.（2019四川绵阳，23，11分）如图，AB是⊙O的直径，点C
为的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF．（1）求证：△BFG≌△CDG；（2
）若AD＝BE＝2，求BF的长．【思路分析】（1）根据AAS证明：△BFG≌△CDG；（2）如图，作辅助线，构建角平分线和全等三角
形，证明Rt△AHC≌Rt△AEC（HL），得AE＝AH，再证明Rt△CDH≌Rt△CBE（HL），得DH＝BE＝2，计算AE和A
B的长，证明△BEC∽△BCA，列比例式可得BC的长，就是BF的长．【解题过程】证明：（1）∵C是的中点，∴，∵AB是⊙O的直径，
且CF⊥AB，∴，∴，∴CD＝BF，在△BFG和△CDG中，∵，∴△BFG≌△CDG（AAS）；（2）如图，过C作CH⊥AD于H，
连接AC、BC，∵，∴∠HAC＝∠BAC，∵CE⊥AB，∴CH＝CE，∵AC＝AC，∴Rt△AHC≌Rt△AEC（HL），∴AE＝
AH，∵CH＝CE，CD＝CB，∴Rt△CDH≌Rt△CBE（HL），∴DH＝BE＝2，∴AE＝AH＝2+2＝4，∴AB＝4+2＝
6，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠BEC＝90°，∵∠EBC＝∠ABC，∴△BEC∽△BCA，∴，∴BC2
＝AB?BE＝6×2＝12，∴BF＝BC＝2．【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；垂径定理；圆心角
、弧、弦的关系12.（2019四川绵阳，25，14分）如图，在以点O为中心的正方形ABCD中，AD＝4，连接AC，动点E从点O出
发沿O→C以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点C停止．在运动过程中，△ADE的外接圆交AB于点F，连接DF交AC于点G，连接E
F，将△EFG沿EF翻折，得到△EFH．（1）求证：△DEF是等腰直角三角形；（2）当点H恰好落在线段BC上时，求EH的长；（3）
设点E运动的时间为t秒，△EFG的面积为S，求S关于时间t的关系式．【思路分析】（1）由正方形的性质可得∠DAC＝∠CAB＝45°
，根据圆周角定理得∠FDE＝∠DFE＝45°，则结论得证；（2）设OE＝t，连接OD，证明△DOE∽△DAF可得AF，证明△AEF∽△ADG可得AG，可表示EG的长，由AF∥CD得比例线段，求出t的值，代入EG的表达式可求EH的值；（3）由（2）知EG，过点F作FK⊥AC于点K，根据即可求解．【解题过程】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC＝∠CAB＝45°，∴∠FDE＝∠CAB，∠DFE＝∠DAC，∴∠FDE＝∠DFE＝45°，∴∠DEF＝90°，∴△DEF是等腰直角三角形；（2）设OE＝t，连接OD，∴∠DOE＝∠DAF＝90°，∵∠OED＝∠DFA，∴△DOE∽△DAF，∴，∴t，又∵∠AEF＝∠ADG，∠EAF＝∠DAG，∴△AEF∽△ADG，∴，∴，又∵AE＝OA+OE＝2t，∴，∴EG＝AE﹣AG，当点H恰好落在线段BC上∠DFH＝∠DFE+∠HFE＝45°+45°＝90°，∴△ADF∽△BFH，∴，∵AF∥CD，∴，∴，∴，解得：t1，t2（舍去），∴EG＝EH；（3）过点F作FK⊥AC于点K，由（2）得EG，∵DE＝EF，∠DEF＝90°，∴∠DEO＝∠EFK，∴△DOE≌△EKF（AAS），∴FK＝OE＝t，∴S．【知识点】四边形综合题；圆周角定理；相似三角形的判定和性质；等腰直角三角形的性质；三角形的面积13.（2019浙江温州，22，10分）如图，在中，，点在边上，且，过，，三点的交于另一点，作直径，连结并延长交于点，连结，．（1）求证：四边形是平行四边形．（2）当，时，求的直径长．【思路分析】（1）连接，由，得到是的直径，根据圆周角定理得到，即，推出，推出，于是得到结论；（2）设，，得到，于是得到，求得，求得，根据勾股定理得到，求得，在中，根据勾股定理即可得到结论．【解题过程】解：（1）证明：连接，，是的直径，，，是的直径，，即，，是的直径，，，，四边形是平行四边形；（2）解：由，设，，，，，，，，，，，，，在中，，，，即的直径长为．【知识点】三角形的外接圆与外心；垂径定理；平行四边形的判定与性质；圆周角定理时代博雅解析时代博雅解析 |
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