一、选择题1.（2019广西河池，T10，F3分）如图，在正六边形ABCDEF中，AC＝2，则它的边长是A．1B．C．D．2【答案】．【
思路分析】过点B作BG⊥AC于点G，正六边形ABCDEF中，每个内角为，即，，于是，AB＝2，【解题过程】解：如图，过点B作BG⊥
AC于点G．正六边形中，每个内角为，，，，，，即边长为2．故选：．【知识点】正多边形和圆2.（2019贵州遵义，7，4分）圆锥的
底面半径是5cm,侧面展开图是圆心角是180°，圆锥的高是(A)cm(B)10cm(C)6cm(D
)5cm【答案】A【解析】因为底面半径是5cm,所以底面周长是10π，由弧长公式得,可求母线长R=10，由勾股定理可求得锥高
为，所以选A【知识点】圆锥的侧面积，弧长，勾股定理3.（2019宁夏，8，3分）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，分别以点
A，D为圆心，以AB、DC长为半径，作扇形ABF和扇形DCE，则图中阴影部分的面积是（）．A．B．C．D．【答案
】B【思路分析】先求出正六边形ABCDEF的的面积，再求出扇形ABF和扇形DCE的面积，然后用正六边形的面积减去扇形ABF和扇形D
CE的面积即可求得图中阴影部分的面积．【解题过程】设正六边形ABCDEF的中心为点O，由正六边形的性质，得，，所以图中阴影部
分的面积为．【知识点】正多边形的性质、扇形的面积、割补法求几何图形的面积．4.（2019年陕西省，9，3分）如图，四边形ABCD
为的内接四边形，的半径为3，，垂足为点E，若，则的长等于（）．第10题答图A．B．C．D．第9题图第9题答
图【答案】D【解析】如图，连接OB，OD，因为四边形ABCD为的内接四边形，所以，因为，所以，，所以，所以，因为，，所以，所以的长
等于．【知识点】圆周角定理、圆内接四边形的性质、弧长的计算，垂径定理．5.(2019黑龙江大庆,10题,3分)如图,在正方形AB
CD中,边长AB＝1,将正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转180°至正方形AB1C1D1,则线段CD扫过的面积为().A.
B.C.D.第10题图【答案】B【思路分析】先画出点C和点D的运动轨迹,形成图形,找到CD扫过的图形,即为两个半圆的面积差.【解题
过程】如图,两个半圆的面积差即为CD扫过的面积,因为AB＝1,所以AC＝,所以S＝＝,故选B.第10题答图【知识点】圆的面积,旋转
6.（2019湖北荆州，10，3分）如图，点C为扇形OAB的半径OB上一点，将△OAC沿AC折叠，点O恰好落在上的点D处，且l：l
＝1：3（l表示的长），若将此扇形OAB围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为（）A．1：3B．1：πC．1：4D．2：
9【答案】D【解析】解：连接OD交OC于M．由折叠的知识可得：OMOA，∠OMA＝90°，∴∠OAM＝30°，∴∠AOM＝60°，
∵且：1：3，∴∠AOB＝80°设圆锥的底面半径为r，母线长为l，2πr，∴r：i＝2：9．故选：D．【知识点】垂径定理；弧长的计
算；圆锥的计算7.（2019四川省雅安市，11，3分）如图，已知⊙O的内接六边形ABCDEF的边心距OM=2，则该圆的内接正三角
形ACE的面积为（）A．2B．4C．D．【答案】D【思路分析】连接OB、OC，证出△BOC是
等边三角形，根据锐角三角函数的定义求出半径，过O作ON⊥CE，求出△ACE的边长，从而求出它的面积．【解题过程】连接OB、OC，
∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC=60°，∵OB=OC，∴△BOC是等边三角形，∴∠OCM=60°，∴OM=OA?sin
∠OCM，OC=，∠CON=60°，∴CN=2，∴CE=4，∴△ACE的面积为，故选D．【知识点】正多边形与圆；等边三角形二、填空
题1.（2019广西省贵港市，题号17，分值3分）如图，在扇形中，半径与的夹角为，点与点的距离为，若扇形恰好是一个圆锥的侧面展开
图，则该圆锥的底面半径为．【答案】.【思路分析】利用弧长圆锥的周长这一等量关系可求解．【解题过程】解：连接，过作于，，，，，，，
故答案是：.【知识点】圆锥的计算2.(2019黑龙江绥化,16题,5分)用一个圆心角为120°的扇形做一个圆锥的侧面,若这个圆锥
的底面半径恰好等于4,则这个圆锥的母线长为______.【答案】12【解析】底面半径＝4,∴底面周长＝8,即为扇形的弧长,则扇形的
半径＝8÷÷＝12,即为圆锥的母线.【知识点】圆锥侧面展开图,扇形弧长3.（2019黑龙江哈尔滨，17，6分）一个扇形的弧长是1
1cm,半径是18cm,则此扇形的圆心角是_____________度．【答案】110【解析】直接利用弧长公式l＝即可求出n的值，
计算即可．解：根据l＝＝＝11π，解得：n＝110，故答案为：110．【知识点】弧长公式4.（2019湖北十堰，15，3分）如图
，AB为半圆的直径，且AB＝6，将半圆绕点A顺时针旋转60°，点B旋转到点C的位置，则图中阴影部分的面积为．【答案】6π【解
析】解：由图可得，图中阴影部分的面积为半圆的面积与扇形ABC的面积之和减去半圆的面积，即：6π，故答案为：6π．【知识点】扇形面积
的计算；旋转的性质5.（2019湖北仙桃，12，3分）75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，则此弧所在圆的半径是cm．【
答案】6【解析】解：由弧长公式：l，得圆的半径R＝180×2.5π÷（75π）＝6cm．故本题答案为：6．【知识点】弧长的计算6.
（2019湖北咸宁，14，3分）如图，半圆的直径AB＝6，点C在半圆上，∠BAC＝30°，则阴影部分的面积为（结果保留π）．【答
案】3π．【解析】解：连接OC、BC，作CD⊥AB于点D，∵直径AB＝6，点C在半圆上，∠BAC＝30°，∴∠ACB＝90°，∠C
OB＝60°，∴AC＝3，∵∠CDA＝90°，∴CD，∴阴影部分的面积是：3π，故答案为：3π．【知识点】圆周角定理；扇形面积的计
算7.（2019湖北孝感，15，3分）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐
步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积S1来近似估计⊙O的面积S，设⊙O的半径为1，则S﹣S1＝．【
答案】0.14【解析】解：∵⊙O的半径为1，∴⊙O的面积S＝3.14，∴圆的内接正十二边形的中心角为30°，∴圆的内接正十二边形的
面积S1＝121×1×sin30°＝3，∴则S﹣S1＝0.14，故答案为：0.14．【知识点】数学常识；正多边形和圆8.（201
9年广西柳州市，16，3分）在半径为5的圆形纸片上裁出一个边长最大的正方形纸片，则这个正方形纸片的边长应为___________
．【答案】5【解析】先根据题意画出图形，再连接OB、OC，过O作OE⊥BC，设此正方形的边长为a，由垂径定理及正方形的性质得出OE
＝BE＝，再由勾股定理求得a＝5．【知识点】正多边形和圆9.（2019贵州省安顺市，13，4分）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展
平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝2cm，扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥的母线长l为cm．【答案】6【解析】圆锥的底
面周长＝2π×2＝4πcm，设圆锥的母线长为R，则：，解得R＝6．故答案为：6．【知识点】圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长
公式．10.（2019黑龙江省龙东地区，7，3）若一个圆锥的底面圆的周长是5πcm，母线长是6cm，则该圆锥的侧面展开图的圆
心角度数是________．【答案】150°.【解析】∵圆锥底面圆的周长是5πcm，∴圆锥侧面展开后所得扇形的弧长是5πcm，设圆
锥侧面展开图的圆心角为n，则，又∵R=6cm，∴n=150°.【知识点】圆锥的侧面展开图；弧长公式11.（2019吉林省，14，
3分）如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，D、E分别是半径OA,OB上的点，以OD,OE为邻边的ODCE的顶点C在弧AB上，若
OD=8，OE=6，则阴影部分图形的面积是（结果保留π)【答案】25π-48【解析】如图，连接DE,OC∵ODCE，∠AOB=
90°，∴ODCE是矩形，∴DE=OC，Tt△DOE中，OD=8，OE=6，∴DE=10=OC，∴S阴=S扇-S矩==25π-48
【知识点】矩形的性质，扇形的面积12.（2019广西桂林，18，6分）如图，在矩形中，，，点是边上的一个动点，连接，作点关于直线
的对称点，连接，设的中点为，当点从点出发，沿边运动到点时停止运动，点的运动路径长为．【答案】【解析】解：如图，连接，取使得中点
，连接，．四边形是矩形，，，，，，，点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆弧，圆心角为，点的运动路径长．故答案为．【知识点】轨迹；矩形
的性质13.（2019广西贺州，16，3分）已知圆锥的底面半径是1，高是，则该圆锥的侧面展开图的圆心角是度．【答案】90【解析
】解：设圆锥的母线为，根据勾股定理得，，设圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，根据题意得，解得，即圆锥的侧面展开图的圆心角度数为．故答
案为：90．【知识点】圆锥的计算14.（2019广西梧州，17，6分）如图，已知半径为1的上有三点、、，与交于点，，，则阴影部分
的扇形面积是．【答案】【解析】】解：，，，，，，阴影部分的扇形面积，【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算15.（2019江苏徐
州，14，3分）【答案】30【解析】本题解答时要运用正多形与圆的关系来进行计算.解：正多边形的边数=，∴正多边形的中心角=，∴∠A
OD=3×40°=120°，∵OA=OD，∴∠OAD=°.【知识点】正多形与圆的关系16.（2019江苏徐州，15，3分）【答案】
6【解析】本题解答时要注意圆锥的侧面展开图扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.解：，∴l=6.【知识点】扇形的弧长三、解答题1.（
2019广西北部湾，23，8分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O直径，AB=6，AD平分∠BAC，交BC于点E，交⊙O
于点D，连接BD.（1）求证：∠BAD=∠CBD；（2）若∠AEB=125°，求的长（结果保留π）.【思路分析】本题考查了三角形的
外接圆与外心，圆周角定理，弧长的计算.（1）根据角平分线的定义和圆周角定理即可得到结论；（2）连接OD，根据平角定义得到∠AEC=
55°，根据圆周角定理得到∠ACE=90°，求得∠CAE=35°，得到∠BOD=2∠BAD=70°，根据弧长公式即可得到结论．【解
题过程】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD，∵∠CAD=∠CBD，∴∠BAD=∠CBD；（2）解：连接OD，∵∠
AEB=125°，∴∠AEC=55°，∵AB为⊙O直径，∴∠ACE=90°，∴∠CAE=35°，∴∠DAB=∠CAE=35°，∴∠
BOD=2∠BAD=70°，∴的长==π．【知识点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；弧长的计算．2.（2019·湖南张家界，2
1，7）如图，AB为⊙O的直径，且AB＝4，点C是弧AB上的一动点（不与A，B重合），过点B作⊙O的切线交AC的延长线于点D，点E
是BD的中点，连接EC．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）当∠D＝30°时，求图中阴影部分面积．第21题图【思路分析】（1）连接
OC、BC．由切线的性质，得∠ABD＝90°；由AB为⊙O的直径，得∠BCD＝90°；由点E为BD的中点，得CE＝DB＝EB；再由
等边对等角，得∠ECB＝∠EBC，∠OCB＝∠OBC，从而∠OCE＝90°，此时由切线的判定定理，得到CE是切线．（2）先证明△B
CE是等边三角形并求其面积，再分别求出S扇形OBC＝＝4π，S△BCO＝BC?OF＝3，用割补法即可锁定阴影部分的面积．【解题过程
】（1）如答图，连接OC、BC．∵BD切⊙O于点D，∴∠ABD＝90°．∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝∠BCD＝90°．又∵点E
为BD的中点，∴CE＝DB＝EB．∴∠ECB＝∠EBC．∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC．∴∠OCB＋∠ECB＝∠OBC＋∠EB
C＝90°，即∠OCE＝90°．又∵点C在⊙O上，∴EC是⊙O的切线．（2）∵∠D＝30°，∠DAB＝90°，∴∠A＝60°，∠A
BC＝30°，∠CBE＝60°．在Rt△ABC中，由AB＝4，sinA＝，得BC＝＝6．∵EC＝EB，∠CBE＝60°，∴△BCE
是等边三角形．∴S△BCE＝BC2＝9．如答图，过点O作OF⊥BC于点F，则OF＝．∵S扇形OBC＝＝4π，S△BCO＝BC?OF
＝3，∴S阴影＝9－(4π－3)＝12－4π．第21题答图【知识点】圆的切线的性质与判定；等边三角形的性质与判定；直角三角形的
性质；扇形面积3.（2019湖南郴州，23，8分）如图，已知AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点D，且AD∥OC．（1）求证：B
C是⊙O的切线；（2）延长CO交⊙O于点E．若∠CEB＝30°，⊙O的半径为2，求的长．（结果保留π）【思路分析】（1）根据切线
的性质和平行线的性质从而证得△COD≌△COB，得到∠ODC＝∠OBC＝90°，即可证得结论；（2）根据圆周角定理得到∠BOD＝1
20°，然后根据弧长公式求得即可．【解题过程】解：（1）证明：连接OD，∵CD与⊙O相切于点D，∴∠ODC＝90°，∵OD＝OA，
∴∠OAD＝∠ODA，∵AD∥OC，∴∠COB＝∠OAD，∠COD＝∠ODA，∴∠COB＝∠COD，在△COD和△COB中，∴△C
OD≌△COB（SAS），∴∠ODC＝∠OBC＝90°，∴BC是⊙O的切线；（2）解：∵∠CEB＝30°，∴∠COB＝60°，∵∠
COB＝∠COD，∴∠BOD＝120°，∴的长：π．【知识点】圆周角定理；切线的判定与性质；弧长的计算4.（2019宁夏，25，
3分）在综合与实践活动中，活动小组对学校400米的跑道进行规划设计，跑道由两段直道和两段是半圆弧的跑道组成．其中最内圈周长为400
米，两端半圆弧的半径为36米．（）（1）求跑道中一段直道的长度；（2）在活动中发现每条跑道周长（单位：米）随跑道宽度（距最内圈的距
离，单位：米）的变化而变化．请完成下表：若设x表示跑道宽度（单位：米），y表示该跑道周长（单位：米），试写出y与x的函数关系式：
（3）将周长为446米的跑道作为400米跑道场地的最外沿，那么它与最内圈（跑道周长400米）形成的区域最多能铺设道宽为1.2米的跑
道多少条？第25题图【思路分析】第（1）问中，根据实际含义，及圆的弧长公式，可以求出跑道中一段直道的长度，注意本题容易求成两段直
道的长度；第（2）问中，根据实际问题，计算可以完成表格的填写，利用待定系数法，可以求出函数的解析式；第（3）问中，根据题目，列不等
式，即可求出跑道的条数．【解题过程】（1）跑道中一段直道的长度为米．（2）解：跑道宽度/米012345……跑道周长/米400406
.28412.56418.84425.12431.4……由题意，可得，即，所以y与x的函数关系式为．（3）解：设能铺设道宽为1.2
米的跑道m条．由题意，得解得，所以它与最内圈（跑道周长400米）形成的区域最多能铺设道宽为1.2米的跑道6条．【知识点】一次函数
的解析式、圆的弧长公式、一元一次不等式、综合与实践．5.（2019山东东营，21，8分）如图，AB是⊙O的直径，点D是A
B延长线上的一点，点C在⊙O上，且AC＝CD，∠ACD＝120°．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，求图
中阴影部分的面积.【思路分析】（1）连接OC．只需证明∠OCD＝90°．根据等腰三角形的性质即可证明；（2）阴影部分的面积即为直角
三角形OCD的面积减去扇形COB的面积．【解题过程】（1）证明：连接OC．∵AC＝CD，∠ACD＝120°，∴∠A＝∠D＝30°．
∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A＝30°．∴∠OCD＝∠ACD﹣∠ACO＝90°．即OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线．（2）解：∵∠A
＝30°，∴∠COB＝2∠A＝60°．∴S扇形BOC＝，在Rt△OCD中，CD＝OC，∴，∴，∴图中阴影部分的面积为．【知识点】圆
周角定理；切线的判定与性质；扇形面积的计算6.（2019北京市，28题，7分）在△ABC中，，分别是两边的中点，如果上的所有点都
在△ABC的内部或边上，则称为△ABC的中内弧．例如，下图中是△ABC的一条中内弧．（1）如图，在Rt△ABC中，分别是的中点．画
出△ABC的最长的中内弧，并直接写出此时的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点，在△ABC中，分别是的中点．①若，求△ABC的中内
弧所在圆的圆心的纵坐标的取值范围；②若在△ABC中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围．【
思路分析】（1）当与BC相切时，△ABC的中内弧最长，结合勾股定理进而求得结果.（2）①分以下两种情况讨论，Ⅰ、当P为DE的中点时
；Ⅱ、当⊙P与AC相切时.②分以下两种情况讨论，Ⅰ、PE⊥AC时，△EFC∽△PEF；Ⅱ、时.【解题过程】（1）如下图：当与B
C相切时，中内弧最长.（2）解：①当时，C（2，0），D（0，1），E（1，1）Ⅰ、如下图，当P为DE的中点时，是中内弧，∴Ⅱ
、如下图，当⊙P与AC相切时，.当时，，∴.综上所述，P的纵坐标②中，Ⅰ、PE⊥AC时，△EFC∽△PEF,得，即.∴，∴∴.
Ⅱ、∵，∴，，∴.如下图，，，∴∴.综上所述，【知识点】弧长公式、三角形相似性质与判定、圆的有关性质、点的坐标.7.（2019黑
龙江省龙东地区，22，6）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点O（0，0
）、A（4，1）、B（4，4）均在格点上．（1）画出△OAB关于y轴对称的△OA1B1，并写出点A1的坐标；（2）画出△OAB绕原
点O顺时针旋转90°后得到的△OA2B2，并写出点A2的坐标；（3）在（2）的条件下，求线段OA在旋转过程中扫过的面积（结果保留π
）．【思路分析】对于（1），画出轴对称三角形后即可得到点A1的坐标；对于（2），画出旋转后的三角形即可得到点A2的坐标；对于（3）
，线段OA旋转过程扫过的面积是一个扇形的面积，确定其半径和圆心角后，代入扇形面积公式计算即可.【解题过程】解：（1）画出正确的图形
………………………………（1分）A1(-4,1)……………………………………………………（1分）（2）画出正确的图形…………………
…………………（1分）A2(1，-4)……………………………………………………（1分）（3）∵OA==,………………………………（
1分）∴线段OA扫过的面积为=.………………（1分）【知识点】轴对称作图；旋转作图；扇形面积公式8.（2019吉林长春，18，7
分）如图，四边形ABCD是正方形，以边AB为直径作⊙O，点E在BC边上，连结AE交⊙O于点F，连结BF并延长交CD于点G求证：△A
BE≌△BCG.若∠AEB=55°，OA=3，求的长.（结果保留根号）【思路分析】本题考查了弧长的计算，全等三角形的判定和性质，正
方形的性质，圆周角定理，（1）根据四边形ABCD是正方形，AB为⊙O的直径，得到∠ABE=∠BCG=∠AFB=90°，根据余角的性
质得到∠EBF=∠BAF，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）连接OF，根据三角形的内角和得到∠BAE=90°-55°=3
5°，根据圆周角定理得到∠BOF=2∠BAE=70°，根据弧长公式即可得到结论．【解题过程】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
AB为⊙O的直径，∴∠ABE=∠BCG=∠AFB=90°，∴∠BAF+∠ABF=90°，∠ABF+∠EBF=90°，∴∠EBF=∠
BAF，在△ABE与△BCG中，，∴△ABE≌△BCG（ASA）；（2）解：连接OF，∵∠ABE=∠AFB=90°，∠AEB=55
°，∴∠BAE=90°-55°=35°，∴∠BOF=2∠BAE=70°，∵OA=3，∴的长==．【知识点】全等三角形的判定与性质；
正方形的性质；圆周角定理；弧长的计算．9.（2019·江苏镇江，26，6）【材料阅读】地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一
个经线圆（如图1中的⊙O）．人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺（古人称它为“复矩”）
，尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地面垂直．站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边
与棉线的夹角α的大小是变化的．【实际应用】观测点A在图1所示的⊙O上，现在利用这个工具尺在点A处测得α为31°，在点A所在的子午线
往北的另一个观测点B，用同样的工具测得α为67°．PQ是⊙O的直径，PQ⊥ON．（1）求∠POB的度数；（2）已知OP＝6400k
m，求这两个观测点之间的距离即⊙O上的弧AB的长．（π取3.1）图1
图2第26题图【思路分析】本题考查圆的切线的性质以及弧长计算，解题的关键是连接过切点的半径．（1）连接过切点的半
径，把弦切角转化为圆心角，然后利用平行线的性质以及角的大小关系可求出∠POB的度数；（2）利用弧长公式进行计算．【解题过程】解：（
1）如答图，过点H作HC⊥BC于点C，则∠HBC＝∠CHD＝67°．第26题答图∵BH∥ON，∴∠HBC＝∠ONB＝67°．∵B
C切⊙O于点B，∴∠OBN＝90°．∴∠BON＋∠ONB＝90°．∵PQ⊥ON，∴∠BON＋∠POB＝90°．∴∠POB＝∠ONB
＝67°．（2）由（1）易知∠POA＝31°，∠POB＝67°，从而∠AOB＝36°．∵R＝OA＝OP＝6400km，n＝36
，∴弧AB的长为＝3968（km）．∴这两个观测点之间的距离约为3968km．【知识点】圆的切线的性质；弧长计算；阅读理解题1
0.（2019·江苏镇江，24，6）在三角形纸片ABC（如图1）中，∠BAC＝78°，AC＝10．小霞用5张这样的三角形纸片拼成
了一个内外都是正五边形的图形（如图2）．（1）∠ABC＝__________°；（2）求正五边形GHMNC的边长GC的长．参考值：
sin78°≈0.98，cos78°≈0.21，tan78°≈4.7．图1图2第2
4题图【思路分析】本题考查了正多边形的计算，解题的关键是通过作垂线构造直角三角形．（1）利用正多边形内角和以及角的大小关系可求出∠
ABC的度数；（2）过点C作CP⊥AB，垂足为P，通过解直角三角形，可求出CG的长．【解题过程】解：（1）∵五边形ABDEF是正五
边形，∴∠BAF＝＝108°＝∠BAC＋∠ABC．∴∠ABC＝108°－∠BAC＝108°－78°＝30°．（2）如答图，过点C
作CP⊥AB，垂足为P，则由∠B＝30°，得BC＝2PC．第24题答图在Rt△APC中，sinA＝，∴PC＝ACsinA＝10si
n78°＝10×0.98＝9.8．∴BC＝2BC＝2×9.8＝19.6．∴GC＝BC－BG＝BC－AC＝19.6－10＝9.6．∴
正五边形GHMNC的边长GC的长为9.6．【知识点】正多边形的计算；解直角三角形11.（2019湖南邵阳，21，8分）如图，在等
腰中，，是的角平分线，且，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，交于点．（1）求由弧及线段、、围成图形（图中阴影部分）的面积；（2）将
阴影部分剪掉，余下扇形，将扇形围成一个圆锥的侧面，与正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高．【思路分析】（1）利用等腰三角形的性
质得到，，则可计算出，然后利用扇形的面积公式，利用由弧及线段、、围成图形（图中阴影部分）的面积进行计算；（2）设圆锥的底面圆的半径
为，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，解得，然后利用勾股定
理计算这个圆锥的高．【解题过程】解：在等腰中，，，是的角平分线，，，，，由弧及线段、、围成图形（图中阴影部分）的面积；（2）设圆锥
的底面圆的半径为，根据题意得，解得，这个圆锥的高．【知识点】圆锥的计算；扇形面积的计算；含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质1
2.（2019江苏镇江，24，6分）在三角形纸片（如图中，，．小霞用5张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形（如图．
（1）；（2）求正五边形的边的长．参考值：，，．【思路分析】（1）根据多边形内角和定理、正五边形的性质计算；（2）作于，根据正弦
的定义求出，根据直角三角形的性质求出，结合图形计算即可．【解题过程】解：（1）五边形是正五边形，，，故答案为：30；（2）作于，在
中，，，在中，，，．【知识点】正多边形和圆；解直角三角形13.（2019江苏镇江，26，6分）【材料阅读】地球是一个球体，任意两
条相对的子午线都组成一个经线圈（如图1中的．人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺（古人
称它为“复矩”，尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直．站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角的大小是变化的．【实际应用】观测点在图1所示的上，现在利用这个工具尺在点处测得为，在点所在子午线往北的另一个观测点，用同样的工具尺测得为．是的直径，．（1）求的度数；（2）已知，求这两个观测点之间的距离即上的长．取【思路分析】（1）设点的切线交延长线于点，于，交于点，则，证出，由平行线的性质得出，由直角三角形的性质得出，得出；（2）同（1）可证，求出，由弧长公式即可得出结果．【解题过程】解：（1）设点的切线交延长线于点，于，交于点，如图所示：则，，，，，，，，；（2）同（1）可证，，．【知识点】切线的性质；弧长的计算14.（2019内蒙古赤峰，23，12分）如图，AB为⊙O的直径，C、D是半圆AB的三等分点，过点C作AD延长线的垂线CE，垂足为E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．【思路分析】（1）由已知条件得出，由圆周角定理得出∠BOC＝∠A，证出OC∥AD，再由已知条件得出CE⊥OC，即可证出CE为⊙O的切线；（2）连接OD，OC，由，得到∠COD180°＝60°，根据CD∥AB，得到S△ACD＝S△COD，根据扇形的面积公式即可得到结论．【解题过程】解：（1）证明：∵点C、D为半圆O的三等分点，∴，∴∠BOC＝∠A，∴OC∥AD，∵CE⊥AD，∴CE⊥OC，∴CE为⊙O的切线；（2）解：连接OD，OC，∵，∴∠COD180°＝60°，∵CD∥AB，∴S△ACD＝S△COD，∴图中阴影部分的面积＝S扇形COD．【知识点】切线的判定与性质；扇形面积的计算时代博雅解析时代博雅解析 |
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