一、选择题1.(2019山东泰安,8,4分)如图,一艘船由A港沿北偏东65°方向航行km至B港,然后再沿北偏西40°方向航行至C港,C港
在A港北偏东20°方向,则A,C两港之间的距离为________km.A.30+30B.30+10C.10+30D.30第8题图【
答案】B【解析】如图,由题中方位角可知∠A＝45°,∠ABC＝75°,∠C＝60°,过点B作BD⊥AC于点D,在Rt△ABD中,∠
A＝45°,AB＝,∴AD＝ABcosA＝30,BD＝ABsinA＝30,在Rt△BCD中,∠C＝60°,∴CD＝＝,∴AC＝AD
+CD＝30+10,故选B.【知识点】方位角,三角函数2.（2019重庆市B卷，10，4）如图，AB是垂直于水平面的建筑物，为测
量AB的高度，小红从建筑物底端B出发，沿水平方向行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC=BC.在点D处放置
测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角∠AEF为27°（点A,B,C,D在同一平面内）.斜坡CD的
坡度（或坡比）i=1：2.4,那么建筑物AB的高度约为（）【答案】B【思路分析】作EN⊥AB于N,EM⊥BC交BC的延长线于M
.先解直角三角形Rt△ECM,求出EM,CM，再根据tan27°=,求出AN，∴AB=AN+BN【解题过程】解：作EN⊥AB于N,
EM⊥BC交BC的延长线于M.∵斜坡CD的坡度（或坡比）i=1：2.4,DC=BC=52米，设DM=x米，则CM=2.4x米，在
Rt△ECM中，∵+=，∴+=解得x=20∴CM=48米，EM=20+0.8=20.8米，BM=ED+DM=52+48=1
00米∵EN⊥AB,EM⊥BC，AB⊥BC∴四边形ENBM是矩形.∴EN=BM=100米，BN=EM=20.8米.在Rt△AE
N中，∵∠AEF=27°∴AN=EN﹒tan27°≈100×0.51=51米∴AB=AN+BN=51+20.8=71.8米.故选
B．【知识点】解直角三角形的应用—坡度坡角问题；解直角三角形的应用—仰角俯角问题3.（2019重庆A卷，10，4）为践行“绿水青
山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度（或坡比）＝1:2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD．
测得古树底端C到山脚点A的距离AC＝26米，在距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D的仰角∠AED＝48°（古树CD与山坡
AB的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直），则古树CD的高度约为（）（参考数据：°≈0.73，cos4
8°≈0.67，tan48°≈1.11）A．17.0米B．21.9米
C．23.3米D．33.3米第10题图【答案】C．【解析】如答图，延长DC交EA于点F，则CF⊥
EA．∵山坡AC上坡度＝1:2.4，AC＝26米，∴令CF＝k，则AF＝2.4k，由勾股定理，得k2＋(2.4k)2＝262，解得
k＝10，从而AF＝24，CF＝10，EF＝30．在Rt△DEF中，tanE＝，故DF＝EF?tanE＝30×tan48°＝30
×1.11＝33.3，于是，CD＝DF－CF＝23.3，故选C．第10题答图【知识点】解直角三角形；坡度问题4.（2019广东广
州，3，3分）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC，则此斜坡的水平距离AC
为（）A．75mB．50mC．30mD．12m【答案】A【解析】解：∵∠BCA＝90°，tan∠BAC，BC＝30m，∴tan
∠BAC，解得AC＝75，故选：A．【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题5.（2019浙江温州，8，4分）某简易房示意图如
图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆的长为A．米B．米C．米D．米【答案】B【解析】解：作于点，则，，，解得，米，故选：B
．【知识点】解直角三角形的应用；轴对称图形二、填空题1.(2019山东枣庄,15,4分)如图,小明为了测量校园里旗杆AB的高度,
将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6m的位置,在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°,若测角仪的高度是1.5m,则旗杆AB的高度约为_
_______m(精确到0.1m).(参考数据:sin53°≈0.80,cos53°≈0.60,tan53°≈1.33)第15题图
【答案】9.5【解析】由题可知BC＝6m,CD＝1.5m,过D作DE∥BC交AB于点E,易知四边形BCDE是矩形,∴DE＝BC＝6
m,在Rt△ADE中,AE＝DE·tan53°＝7.98m,EB＝CD＝1.5m,∴AB＝AE+EB＝9.48m≈9.5m第15题
答图【知识点】利用三角函数测高2.（2019浙江湖州，14，4）有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数
来调整晾衣杆的高度．图2是支撑杆的平面示意图．AB和CD分别是两根不同的支撑杆，夹角∠BOD＝α．若AO＝85cm，BO＝DO＝6
5cm．问：当α＝74°时，较长支撑杆的端点A离地面的高度h约为cm．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，s
in53°≈0.8，cos53°≈0.6）图1图2第14题图【答案】120．【解析】如答图
，过点A作AE⊥BD于点E，则∠AEB＝90°．第14题答图∵AO＝85cm，BO＝DO＝65cmα＝74°，∴∠ODB＝∠B＝
53°，AB＝150cm．在Rt△ABE中，sinB＝，故h＝AB?sinB＝150×sin53°≈150×0.8＝120．【知识
点】等腰三角形的性质；解直角三角形．3.（2019浙江省金华市，14，4分）如图，在量角器的圆心O处下挂一铅锤，制作了一个简易测
倾仪，量角器的0刻度线AB对准楼顶时，铅垂线对应的度数是50°，则此时观察楼顶的仰角度数是___________．【答案】40°
．【解析】量角器的0刻度线AB对准楼顶时，铅垂线对应的度数是50°，则过AB中点的水平线对应的是140°，所以此时观察楼顶的仰角度
数是40°．【知识点】仰角，平角，铅垂线，水平线4.（2019浙江省金华市，16，4分）图2，图3是某公共汽车双开门的俯视示意图
，ME、EF、FN是门轴的滑动轨道，∠E=∠F=90°，两门AB、CD的门轴A、B、C、D都在滑动轨道上，两门关闭时（图2），A、
D分别在E、F处，门缝忽略不计（即B、C重合）；两门同时开启，A、D分别沿E→M，F→N的方向匀速滑动，带动B、C滑动；B到达E时
，C恰好到达F，此时两门完全开启，已知AB=50cm，CD=40cm.（1）如图3，当∠ABE=30°时，BC=_______cm
.（2）在（1）的基础上，当A向M方向继续滑动15cm时，四边形ABCD的面积为_______cm2.（第16题图）【答案】（1）
（90－45）；（2）2256．【解析】（1）利用直角三角形的性质先求得EB，CF，然后进行线段加减即可；（2）根据题意，得S四边
形ABCD＝S梯形AEFD－S△ABE－S△CDF，计算可得.解：(1)∵AB=50，CD=40，∴AB＋CD=EB＋CF＝
EF=90.在Rt△ABE中，∵∠E=90°，∠ABE=30°，∴EB＝25.同理可得CF＝20.∴BC=90－45（cm）.（
2）根据题意，得AE＝40,DF=32,EB＝＝30，CF＝＝24,∴S四边形ABCD＝S梯形AEFD－S△ABE－S△CD
F＝(AE＋DF)·EF－AE·EB－CF·DF＝(40＋32)×90－×40×30－×24×32＝2256.【知识点】勾股定理；
锐角三角函数；相似三角形的判定与性质5.(2019浙江宁波,16题,4分)如图,某海防哨所O发现在它的西北方向,距离哨所400
米的A处有一艘船向正东方向航行,航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B处,则此时这艘船与哨所的距离OB约为________米.
第16题图【答案】566【解析】在Rt△AOH中,OH＝AOcos45°＝,在Rt△BOH中,BO＝.第16题答图【知识点】三角函
数6.（2019浙江省衢州市，14，4分）如图，人字梯AB，AC的长都为2米，当α=50°时，人字梯顶端离地面的高度AD是米
（结果精确到0.1m参考数据；sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）。【答案】1.5【解析】由三
角函数的定义得:sinα=sin50°==≈0.77，所以AD≈2×0.77=1.54≈1.5米。【知识点】解直角三角形三角
函数7.（2019广东省，15，4分）如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝15米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点
的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是米（结果保留根号）．【答案】（15+15）【解析】解：过点B作BE⊥
AB于点E，在Rt△BEC中，∠CBE＝45°，BE＝15；可得CE＝BE×tan45°＝15米．在Rt△ABE中，∠ABE＝30
°，BE＝15，可得AE＝BE×tan30°＝15米．故教学楼AC的高度是AC＝15米．答：教学楼AC的高度是（15）米．【知识点
】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题8.（2019山东德州，15，4分）如图，一架长为6米的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时测得，如果
梯子的底端外移到，则梯子顶端下移到，这时又测得，那么的长度约为米．，，，．【答案】1.02【解析】解：，，，解得：，，，，解得
：，则，答：的长度约为1.02米．【知识点】解直角三角形的应用坡度坡角问题9.（2019浙江温州，16，5分）图1是一种折叠式晾衣
架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚分米，展开角，晾衣臂分米，晾衣臂支架分米，且分米．当时，点离地面的距离
为分米；当从水平状态旋转到（在延长线上）时，点绕点随之旋转至上的点处，则为分米．【答案】【解析】解：如图，作于，于，于，于．，
，四边形是矩形，，，，是等边三角形，，，（分米），，，（分米），．，在中，（分米），（分米），在中，（分米）（分米），在中，（分米
），（分米），在中，，，．故答案为，4．【知识点】解直角三角形的应用三、解答题1.(2019浙江台州,19题,8分)图1是一辆在
平地上滑行的滑板车,图2是其示意图,已知车杆AB长92cm,车杆与脚踏所成的角∠ABC＝70°,前后轮子的半径均为6cm,求把手A
离地面的高度(结果保留小数点后一位;参考数据:sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75)第19题图【
思路分析】①以点C为位似中心,延长AC,BC至A1,B1,使A1C＝2AC,B1C＝2BC;②过点C作AC,BC的垂线,截取A2C
＝AC,B2C＝BC,连接A2B2;③点B的路径为圆弧,半径为BC的长,圆心角为90°,根据弧长公式可求.【解题过程】过点A作AD
⊥BC于点D,在Rt△ABD中,AB＝92,∠B＝70°,∴AD＝ABsinB＝86.48,∴A离地面高度为86.48+6≈92.
5(cm),答：求把手A离地面的高度92.5cm.D第19题答图【知识点】三角函数的应用2.（2019天津市，22，10分）如图
，海面上一艘船由西向东航行，在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31°，再向东继续航行30m到达B处，侧的灯塔的最高点C
的仰角为45°，根据测得的数据，计算这座灯塔的高度CD（结果保留整数）参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，t
an31°≈0.60【思路分析】在Rt△ACD中，根据∠CAD的正切值，可求得AD=；在Rt△BCD中，根据∠CBD的正切值,可求
得BD=,根据AD=BD+AB,列出关系式即可求出CD的长.【解题过程】解：如图，根据题意∠CAD=31°，∠CBD=45°，∠C
DA=90°，AB=30，∵在Rt△ACD中，tan∠CAD=∴AD=∵在Rt△BCD中，tan∠CBD=,∴BD=，∵AD=BD
+AB,∴=30+CD,∴CD=45.答：这座灯塔的高度CD约为45m。【知识点】解直角三角形3.（2019四川省眉山市，22，
8分）如图，在岷江的右岸边有一高楼AB，左岸边有一坡度i=1:2的山坡CF，点C与点B在同一水平面上，CF与AB在同一平面内．某数
学兴趣小组为了测量楼AB的高度，在坡底C处测得楼顶A的仰角为45°，然后沿坡面CF上行了米到达点D处，此时在D处测得楼顶A的仰角为
30°，求楼AB的高度．【思路分析】在Rt△DEC中，根据勾股定理求出DE和EC的长，点D作DG⊥AB于点G，过点C作CH⊥DG于
点H，设AB=BC=xm，用含x的式子表示出AG和DG的长度，在根据特殊角的函数值求出x的值即可.【解题过程】解：在Rt△DEC中
，∵i=DE∶DC=1∶2，且DE2+EC2=DC2.∴DE2+（2DE）2=（）2.解得：DE=20m，EC=40m.过点D作
DG⊥AB于点G，过点C作CH⊥DG于点H，则四边形DEBG、DECH、BCHG都是矩形.∵∠ACB=45°，AB⊥BC，∴AB=
BC，设AB=BC=xm，则AG=（x-20）m，DG=（x+40）m，在Rt△ADG中，∵=tan∠ADG，∴，解得：x=50+
.答：楼AB的高度为（50+）米.【知识点】勾股定理，锐角三角函数，特殊角的函数值4.（2019四川达州，23，8分）渠县賨
人谷是国家AAAA级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为川东“小九寨”，蹲坐着观音崖一块奇石是一只“哮天
犬”，昂首向天，望穿古今.一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“哮天犬”上嘴尖与头顶的距离，他们把蹲着的“哮天犬”抽象成AB
CD，想法测出了尾部C看头顶B的仰角为40°，从前脚落地点D看上嘴尖A的仰角刚好60°，CB=5米，CD=2.7米，景区管理员告诉
同学们，上嘴尖到地面的距离是3米，他们很快就算出了AB的长，你也算算？（结果精确到0.1米，参考数据：sin40°≈0.64，co
s40°≈0.77，tan40°≈0.84.≈1.41≈1.73）【思路分析】先过点B作BF⊥CE于点F，再过点A作AG⊥BF
于点G，在△ADE中，先利用tan60°求出DE的长，然后在△BCF中，利用tan40°求出BF、CF的长，再求出EF，BG的长，
在直角三角形ABG中利用勾股定理即可求出AB的长.【解题过程】解：过点B作BF⊥CE于点F，再过点A作AG⊥BF于点G，则四边形A
EFG是矩形在Rt△ADE中，tan60°AE=3，，∴DE=在Rt△CBF中，sin40°，CB=5，∴BF≈3.2cos4
0°=≈0.77CB=5∴CF≈3.85∵CD=2.7∴EF=CD+DE-CF≈0.58BG=BF-AE≈
0.2∴AB=≈0.6m【知识点】锐角三角函数、勾股定理、解直角三角形.5.(2019四川巴中,23,8分)某区域平面示意图如图
所示,点D在河的右侧,红军路AB与某桥BC互相垂直.某校”数学兴趣小组”在”研学旅行”活动中,在C处测点D位于西北方向,又在A处测
得点D位于南偏东65°方向,另测得BC＝414m,AB＝300m,求出点D到AB的距离.(参考数据:sin65°≈0.91,cos
65°≈0.42,tan65°≈2.14)第23题图【思路分析】构造直角三角形,利用三角函数和矩形性质,得到线段等量关系,列出方程
,求解可得.【解题过程】过点D作DE⊥AB于点E,作DF⊥BC于点F,因为AB⊥BC,所以四边形DEBF是矩形,DE＝BF,EB＝
DF,在Rt△AED中,AE＝,∴BE＝AB－AE＝300－,所以DF＝BE＝300－,在Rt△CDF中,∠DCF＝45°,所以∠
FDC＝∠FCD,所以CF＝DF＝300－,所以BC＝BF+FC＝300－+ED,因为BC＝414,所以300－+ED＝414,所
以ED＝214,所以点D到AB的距离为214m.第23题答图【知识点】方位角,三角函数的应用6.（2019山东省潍坊市，20，6分
）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多．为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2
所示，改造前的斜坡AB=200米，坡度为1∶；将斜坡AB的高度AE降低AC=20米后，斜坡AB改造为斜坡CD，其坡度为1∶4．求斜
坡CD的长．（结果保留根号）【思路分析】解Rt△ABE求出AE的长，进一步求出CE的长度，再根据CD的坡度解Rt△CDE求出CD的
长度．【解题过程】在Rt△ABE中，∵tan∠ABE=1∶，∴∠ABE=30°．∵AB=200，∴AE=AB=100．∵AC=20
，∴CE=100－20=80．在Rt△CDE中，∵tanD=1∶4，∴sinD=．∴．∴CD=（米）答：斜坡CD的长是米．【知识
点】解直角三角形的应用，坡度和坡比7.(2019山东聊城,22,8分)某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体的高度(如图①所示,C
D部分),在起点A处测得大楼部分楼体CD的顶端C点的仰角为45°,底端D点的仰角为30°,在同一剖面沿水平地面向前走20米到达B处
,测得顶端C的仰角为63.4°(如图②所示),求大楼部分楼体CD的高度约为多少米?(精确到1米)(参考数据:sin63.4°≈0.
89,cos63.4°≈0.45,tan63.4°≈2.00,≈1.41,≈1.73)第22题图【思路分析】分别在Rt△AEC,R
t△CEB,Rt△DAE中,利用三角函数和已知边长,得到边的关系,建立方程,则可求得楼体CD的高度.【解题过程】设楼高CE为x米,
∵在Rt△AEC中,∠CAE＝45°,∴AE＝CE＝x,∵AB＝20,∴BE＝x－20,在Rt△CEB中,CE＝BEtan63.4
°≈2(x－20),∴2(x－20)＝x,解得x＝40,在Rt△DAE中,DE＝AEtan30°＝,∴CD＝CE－DE＝40－≈1
7(米).答:大楼部分楼体CD的高度约为17米.【知识点】三角函数应用8.（2019湖南省岳阳市，22，8分）慈氏塔位于岳阳市城
西洞庭湖边，是湖南省保存最好的古塔建筑之一．如图，小亮的目高CD为1.7米，他站在D处测得塔顶的仰角∠ACG为45°，小琴的目高E
F为1.5米，她站在距离塔底中心B点a米远的F处，测得塔顶的仰角∠AEH为62.3°．（点D、B、F在同一水平线上，参考数据：si
n62.3°≈0.89，cos62.3°≈0.46，tan62.3°≈1.9）（1）求小亮与塔底中心的距离BD；（用含a的式子表示
）（2）若小亮与小琴相距52米，求慈氏塔的高度AB．【思路分析】（1）先解Rt△AEH求出AH长度，从而求出AG的长度，再Rt△A
CG求出AG的长度即为BD的长度；（2）根据DF的长度求出a的值，根据AB=AH+HB代入求塔高．【解题过程】（1）在Rt△AEH
中，∠AEH=62.3°，．∴AH=EH·tan62.3°=BF·tan62.3°=1.9a．∵GH=GB－HB=CD－EF=1.
7－1.5=0.2，∴AG=AH－GH=1.9a－0.2．在Rt△ACG中，∵∠ACG=45°，∴CG=AG=1.9a－0.2．∴
BD=CG=1.9a－0.2．所以小亮与塔底中心的距离BD为（1.9a－0.2）米．（2）∵DF=BD+BF，∴1.9a－0.
2＋a=52．解得：a=18∴AB=AH＋BH=1.9a＋1.5=1.9×18＋1.5=35.7（米）．所以慈氏塔的高度AB为35
.7米．【知识点】解直角三角形的应用，仰角俯角问题9.（2019湖南怀化，20，10分）如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面
宽度，小明在南岸B处测得对岸A处一棵柳树位于北偏东60°方向，他以每秒1.5米的速度沿着河岸向东步行40秒后到达C处，此时测得柳树
位于北偏东30°方向，试计算此段河面的宽度.【思路分析】过A点作AD⊥BC，垂足为D，根据题意可得∠ABC=30°，∠ACD=60
°，BC=40×1.5=60米，然后根据锐角三角函数的定义可得BD=AD，CD=AD，进而得出AD的值即可.【解题过程】解：过A点
作AD⊥BC，垂足为D.根据题意可得∠ABC=30°，∠ACD=60°，BC=40×1.5=60米，在Rt△ABD中，BD==AD
，在Rt△ACD中，CD==AD，∴BC=BD-CD=AD=60，∴AD=30.所以此段河面的宽度为30.【知识点】锐角三角函数的
定义，解直角三角形的应用10.（2019安徽省，19，10分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图1，明朝科学家徐光启在《
农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦长为
6米，，若点为运行轨道的最高点，的连线垂直于，求点到弦所在直线的距离．（参考数据：，，【思路分析】连接并延长，与交于点，由与垂直，
利用垂径定理得到为的中点，在直角三角形中，利用锐角三角函数定义求出，进而求出，由求出的长即可．【解题过程】解：连接并延长，与交于点
，，（米，在中，，，即（米，，即（米，则（米．【知识点】解直角三角形的应用11.（2019四川南充，25，7分）某数学课题研究小
组针对兰州市住房窗户“如何设计遮阳蓬”这一课题进行了探究，过程如下：问题提出：如图1是某住户窗户上方安装的遮阳蓬，要求设计的遮阳蓬
能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．方案设计：如图2，该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直
于墙面的遮阳蓬．数据收集：通过查阅相关资料和实际测量：兰州市一年中，夏至日这一天的正午时刻太阳光线与遮阳蓬的夹角最大；冬至日这一天
的正午时刻，太阳光线与遮阳蓬的夹角最小．窗户的高度．问题解决：根据上述方案及数据，求遮阳蓬的长．（结果精确到，参考数据：，，，，，
【思路分析】根据正切的定义分别用表示出、，根据题意列式计算即可．【解题过程】解：在中，，则，在中，，则，由题意得，，即，解得，，答
：遮阳蓬的长约为．【知识点】解直角三角形的应用12.（2019甘肃天水，22，7分）某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡
面BC的坡度为1：1，文化墙PM在天桥底部正前方8米处（PB的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为
1：．（参考数据：1.414，1.732）（1）若新坡面坡角为α，求坡角α度数；（2）有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆
除，天桥改造后，该文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．【思路分析】（1）根据新的坡度，可以求得坡角的正切值，从而可以解答本题；（2
）根据题意和题目中的数据可以求得PA的长度，然后与3比较大小即可解答本题．【解题过程】解：（1）∵新坡面坡角为α，新坡面的坡度为1
：，∴tanα，∴α＝30°；（2）该文化墙PM不需要拆除，理由：作CD⊥AB于点D，则CD＝6米，∵新坡面的坡度为1：，∴tan
∠CAD，解得，AD＝6米，∵坡面BC的坡度为1：1，CD＝6米，∴BD＝6米，∴AB＝AD﹣BD＝（6）米，又∵PB＝8米，∴P
A＝PB﹣AB＝8﹣（6）＝14﹣614﹣6×1.732≈3.6米＞3米，∴该文化墙PM不需要拆除．【知识点】解直角三角形的应用﹣
坡度坡角问题13.（2019甘肃武威，22，8分）如图①是图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂，灯罩，灯臂与底座
构成的．可以绕点上下调节一定的角度．使用发现：当与水平线所成的角为时，台灯光线最佳．现测得点到桌面的距离为．请通过计算说明此时台灯
光线是否为最佳？（参考数据：取．【思路分析】如图，作于，于，于．解直角三角形求出即可判断．【解题过程】解：如图，作于，于，于．∵，
∴四边形是矩形，∴，在中，∵，，，，，在中，，∴，∴此时台灯光线为最佳．【知识点】解直角三角形及其应用14.（2019甘肃省，2
2，6分）为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是含，高度的范围是（含．如图是某中学的楼
梯扶手的截面示意图，测量结果如下：，分别垂直平分踏步，，各踏步互相平行，，，，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．（结果精
确到，参考数据：，【思路分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可求得和的长，然后计算出该中学楼梯踏步的宽度和高度
，再与规定的比较大小，即可解答本题．【解题过程】解：连接，作于点，，，分别垂直平分踏步，，，，四边形是平行四边形，，，，，，，，，
，，该中学楼梯踏步的高度符合规定，，，该中学楼梯踏步的宽度符合规定，由上可得，该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定．【知识点】解
直角三角形的应用坡度坡角问题15.（2019湖北鄂州，21，8分）为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建
了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度AB，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60
°，同时测得教学楼窗户D处的仰角为30°（A、B、D、E在同一直线上）．然后，小明沿坡度i＝1：1.5的斜坡从C走到F处，此时DF
正好与地面CE平行．（1）求点F到直线CE的距离（结果保留根号）；（2）若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°，求宣传牌的高
度AB（结果精确到0.1米，1.41，1.73）．【思路分析】（1）过点F作FG⊥EC于G，依题意知FG∥DE，DF∥GE，∠FG
E＝90°；得到四边形DEFG是矩形；根据矩形的性质得到FG＝DE；解直角三角形即可得到结论；（2）解直角三角形即可得到结论．【
解题过程】解：（1）过点F作FG⊥EC于G，依题意知FG∥DE，DF∥GE，∠FGE＝90°；∴四边形DEFG是矩形；∴FG＝D
E；在Rt△CDE中，DE＝CE?tan∠DCE；＝6×tan30o＝2（米）；∴点F到地面的距离为2米；（2）∵斜坡CF
i＝1：1.5．∴Rt△CFG中，CG＝1.5FG＝21.5＝3，∴FD＝EG＝36．在Rt△BCE中，BE＝CE?tan∠BC
E＝6×tan60o＝6．∴AB＝AD+DE﹣BE．＝36+2664.3（米）．答：宣传牌的高度约为4.3米．【知识点】解直
角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题16.（2019江苏连云港，24，10分）如图，海上观察哨所位于观察
哨所正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所与哨所同时发现一走私船，其位置位于哨所北偏东的方向上，位于哨所南偏东的方向上．（1）求
观察哨所与走私船所在的位置的距离；（2）若观察哨所发现走私船从处以16海里小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东的方向前
去拦截，求缉私艇的速度为多少时，恰好在处成功拦截．（结果保留根号）（参考数据：，，，【思路分析】（1）先根据三角形内角和定理求出，
再解，利用正弦函数定义得出即可；（2）过点作于点，易知，、、在一条直线上．解，求出、．解中，求出、，得出．设缉私艇的速度为海里小时
，根据走私船行驶所用的时间等于缉私艇行驶所用的时间列出方程，解方程即可．【解题过程】解：（1）在中，．在中，，（海里）．答：观察哨
所与走私船所在的位置的距离为15海里；（2）过点作于点，由题意易知，、、在一条直线上．在中，，．在中，，，，．设缉私艇的速度为海里
小时，则有，解得．经检验，是原方程的解．答：当缉私艇的速度为海里小时时，恰好在处成功拦截．【知识点】解直角三角形的应用方向角问题1
7.（2019江苏南京，24，8分）如图，山顶有一塔AB，塔高33m．计划在塔的正下方沿直线CD开通穿山隧道EF．从与E点相距8
0m的C处测得A、B的仰角分别为27°、22°，从与F点相距50m的D处测得A的仰角为45°．求隧道EF的长度．（参考数据：tan
22°≈0.40，tan27°≈0.51．）【思路分析】延长AB交CD于H，利用正切的定义用CH表示出AH、BH，根据题意列式求出
CH，计算即可．【解题过程】解：延长AB交CD于H，则AH⊥CD，在Rt△AHD中，∠D＝45°，∴AH＝DH，在Rt△AHC中，
tan∠ACH，∴AH＝CH?tan∠ACH≈0.51CH，在Rt△BHC中，tan∠BCH，∴BH＝CH?tan∠BCH≈0.4
CH，由题意得，0.51CH﹣0.4CH＝33，解得，CH＝300，∴EH＝CH﹣CE＝220，BH＝120，∴AH＝AB+BH＝
153，∴DH＝AH＝153，∴HF＝DH﹣DF＝103，∴EF＝EH+FH＝323，答：隧道EF的长度为323m．【知识点】解直
角三角形的应用﹣仰角俯角问题18.（2019江苏泰州，21，10分）某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区AC的坡度i为1：2，
顶端C离水平地面AB的高度为10m，从顶棚的D处看E处的仰角α＝18°30′，竖直的立杆上C、D两点间的距离为4m，E处到观众区底
端A处的水平距离AF为3m．求：（1）观众区的水平宽度AB；（2）顶棚的E处离地面的高度EF．（sin18°30′≈0.32，ta
nl8°30′≈0.33，结果精确到0.1m）【思路分析】（1）根据坡度的概念计算；（2）作CM⊥EF于M，DN⊥EF于N，根
据正切的定义求出EN，结合图形计算即可．【解题过程】解：（1）∵观众区AC的坡度i为1：2，顶端C离水平地面AB的高度为10m，∴
AB＝2BC＝20（m），答：观众区的水平宽度AB为20m；（2）作CM⊥EF于M，DN⊥EF于N，则四边形MFBC、MCDN为矩
形，∴MF＝BC＝10，MN＝CD＝4，DN＝MC＝BF＝23，在Rt△END中，tan∠EDN，则EN＝DN?tan∠EDN≈7
.59，∴EF＝EN+MN+MF＝7.59+4+10≈21.6（m），答：顶棚的E处离地面的高度EF约为21.6m．【知识点】解直
角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题19.（2019江苏宿迁，25，10分）宿迁市政府为了方便市民绿色出
行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中AB、CD都与地面l平行，车轮半径为32c
m，∠BCD＝64°，BC＝60cm，坐垫E与点B的距离BE为15cm．（1）求坐垫E到地面的距离；（2）根据经验，当坐垫E到CD
的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为80cm，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置E''，求EE′的长．（结果精
确到0.1cm，参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05）【思路分析】（1）作EM⊥CD于
点M，由EM＝ECsin∠BCM＝75sin46°可得答案；（2）作E′H⊥CD于点H，先根据E′C求得E′C的长度，再根据EE′
＝CE﹣CE′可得答案【解题过程】解：（1）如图1，过点E作EM⊥CD于点M，由题意知∠BCM＝64°、EC＝BC+BE＝60+1
5＝75cm，∴EM＝ECsin∠BCM＝75sin64°≈67.5（cm），则单车车座E到地面的高度为67.5+32≈99.5（
cm）；（2）如图2所示，过点E′作E′H⊥CD于点H，由题意知E′H＝80×0.8＝64，则E′C71，1，∴EE′＝CE﹣CE
′＝75﹣71.1＝3.9（cm）．【知识点】解直角三角形的应用20.（2019山东菏泽，19，7分）由我国完全自主设计、自主建
造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛B位于它的北偏东30°方向
，且与航母相距80海里再航行一段时间后到达C处，测得小岛B位于它的西北方向，求此时航母与小岛的距离BC的长．【思路分析】过点C作C
D⊥AB于点D，根据题意得到∠BAD＝60°，∠BCD＝45°，AC＝80，解直角三角形即可得到结论．【解题过程】解：过点C作CD
⊥AB于点D，由题意，得：∠BAD＝60°，∠BCD＝45°，AC＝80，在Rt△ADB中，∠BAD＝60°，∴tan60°，∴A
D，在Rt△BCD中，∠BCD＝45°，∴tan45°1，∴BD＝CD，∴AC＝AD+CDBD＝80，∴BD＝120﹣40，∴BC
BC＝12040，答：BC的距离是（12040）海里．【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题21.（2019山东菏泽，22，7
分）鲁南高铁临沂段修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿AC方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧D（A、C、D
共线）处同时施工．测得∠CAB＝30°，AB＝4km，∠ABD＝105°，求BD的长．【思路分析】根据∠CAB＝30°，AB＝4k
m，可以求得BE的长和∠ABE的度数，进而求得∠EBD的度数，然后利用勾股定理即可求得BD的长．【解题过程】解：作BE⊥AD于点E
，∵∠CAB＝30°，AB＝4km，∴∠ABE＝60°，BE＝2km，∵∠ABD＝105°，∴∠EBD＝45°，∴∠EDB＝45°
，∴BE＝DE＝2km，∴BD2km，即BD的长是2km．【知识点】解直角三角形的应用22.（2019山东青岛，19，6分）如图
，某旅游景区为方便游客，修建了一条东西走向的木栈道，栈道与景区道路平行．在处测得栈道一端位于北偏西方向，在处测得栈道另一端位于北偏
西方向．已知，，求木栈道的长度（结果保留整数）．（参考数据：，，，，，【思路分析】过作于，交的延长线于，于是得到，推出四边形是矩形
，得到，，解直角三角形即可得到结论．【解题过程】解：过作于，交的延长线于，则，，四边形是矩形，，，在中，，，，，，在中，，，，，答
：木栈道的长度约为．【知识点】解直角三角形的应用方向角问题23.（2019四川成都，18，8分）2019年，成都马拉松成为世界马
拉松大满贯联盟的候选赛事，这大幅提升了成都市的国际影响力，如图，在一场马拉松比赛中，某人在大楼A处，测得起点拱门CD的顶部C的俯角
为35°，底部D的俯角为45°，如果A处离地面的高度AB＝20米，求起点拱门CD的高度．（结果精确到1米；参考数据：sin35°≈
0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）【思路分析】作CE⊥AB于E，根据矩形的性质得到CE＝AB＝20，CD＝
BE，根据正切的定义求出AE，结合图形计算即可．【解题过程】解：作CE⊥AB于E，则四边形CDBE为矩形，∴CE＝AB＝20，CD
＝BE，在Rt△ADB中，∠ADB＝45°，∴AB＝DB＝20，在Rt△ACE中，tan∠ACE，∴AE＝CE?tan∠ACE≈2
0×0.70＝14，∴CD＝BE＝AB﹣AE＝6，答：起点拱门CD的高度约为6米．【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题24.
（2019四川广安，23，8分）如图，某数学兴趣小组为测量一颗古树和教学楼的高，先在处用高1.5米的测角仪测得古树顶端的仰角为，
此时教学楼顶端恰好在视线上，再向前走10米到达处，又测得教学楼顶端的仰角为，点、、三点在同一水平线上．（1）求古树的高；（2）求教
学楼的高．（参考数据：，【思路分析】（1）由知，据此得；（2）设米，则米，由知，据此得，解之求得的值，代入计算可得．【解题过程】解
：（1）在中，，，，，古树的高为11.5米；（2）在中，，，设米，则米，在中，，，，，解得：，，答：教学楼的高约为25米．【知识点
】解直角三角形的应用仰角俯角问题25.（2019四川宜宾，21，8分）如图，为了测得某建筑物的高度，在处用高为1米的测角仪，测得
该建筑物顶端的仰角为，再向建筑物方向前进40米，又测得该建筑物顶端的仰角为．求该建筑物的高度．（结果保留根号）【思路分析】设米，根
据等腰三角形的性质求出，利用正切的定义用表示出，根据题意列方程，解方程得到答案．【解题过程】解：设米，在中，，，在中，，则，由题意
得，，即，解得，，，答：该建筑物的高度为米．【知识点】解直角三角形的应用仰角俯角问题26.（2019四川资阳，22，11分）如图，
南海某海域有两艘外国渔船A、B在小岛C的正南方向同一处捕鱼．一段时间后，渔船B沿北偏东30°的方向航行至小岛C的正东方向20海里处
．（1）求渔船B航行的距离；（2）此时，在D处巡逻的中国渔政船同时发现了这两艘渔船，其中B渔船在点D的南偏西60°方向，A渔船在点
D的西南方向，我渔政船要求这两艘渔船迅速离开中国海域．请分别求出中国渔政船此时到这两艘外国渔船的距离．（注：结果保留根号）【思路分
析】（1）由题意得到∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，BC＝20，根据直角三角形的性质即可得到结论；（2）过B作BE⊥AE于E，
过D作DH⊥AE于H，延长CB交DH于G，得到四边形AEBC和四边形BEHG是矩形，根据矩形的性质得到BE＝GH＝AC＝20，AE＝BC＝20，设BG＝EH＝x，求得AH＝x+20，解直角三角形即可得到结论．【解题过程】解：（1）由题意得，∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，BC＝20，∴AB＝2BC＝40海里，答：渔船B航行的距离是40海里；（2）过B作BE⊥AE于E，过D作DH⊥AE于H，延长CB交DH于G，则四边形AEBC和四边形BEHG是矩形，∴BE＝GH＝AC＝20，AE＝BC＝20，设BG＝EH＝x，∴AH＝x+20，由题意得，∠BDG＝60°，∠ADH＝45°，∴x，DH＝AH，∴20x＝x+20，解得：x＝20，∴BG＝20，AH＝20+20，∴BD40，ADAH＝2020，答：中国渔政船此时到外国渔船B的距离是40海里，到外国渔船A的距离是（2020）海里．【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题27.（2019浙江嘉兴，22，10分）某挖掘机的底座高米，动臂米，米，与的固定夹角．初始位置如图1，斗杆顶点与铲斗顶点所在直线垂直地面于点，测得（示意图．工作时如图3，动臂会绕点转动，当点，，在同一直线时，斗杆顶点升至最高点（示意图．（1）求挖掘机在初始位置时动臂与的夹角的度数．（2）问斗杆顶点的最高点比初始位置高了多少米（精确到0.1米）？（参考数据：，，，，【思路分析】（1）过点作于点，证明，再根据平行线的性质求得结果；（2）过点作于点，过点作于点，交于点，如图2，通过解直角三角形求得，过点作于点，过点作于点，如图3，通过解直角三角形求得求得，最后便可求得结果．【解题过程】解：（1）过点作于点，如图1，，，，，，；（2）过点作于点，过点作于点，交于点，如图2，在中，（米，在中，（米，所以，（米，如图3，过点作于点，过点作于点，在中，（米，所以，（米，所以，（米，所以，斗杆顶点的最高点比初始位置高了0.8米．【知识点】解直角三角形的应用28.（2019浙江绍兴，20，8分）如图1为放置在水平桌面上的台灯，底座的高为，长度均为的连杆，与始终在同一平面上．（1）转动连杆，，使成平角，，如图2，求连杆端点离桌面的高度．（2）将（1）中的连杆再绕点逆时针旋转，使，如图3，问此时连杆端点离桌面的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？（精确到，参考数据：，【思路分析】（1）如图2中，作于．解直角三角形求出即可解决问题．（2）作于，于，于，于．则四边形是矩形，求出，再求出即可解决问题．【解题过程】解：（1）如图2中，作于．，四边形是矩形，，，，．（2）作于，于，于，于．则四边形是矩形，，，，，，，，，下降高度：．【知识点】解直角三角形的应用时代博雅解析时代博雅解析 |
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