一、选择题1.（2019广西北部湾，11，3分）小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度.如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看
路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶点O到底面的距离约为（已知sin35°≈0.6
，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.4，cos65°≈0.9，tan65°≈2.1）A.3.2米
B.3.9米C.4.7米D.5.4米【答案】C.【思路分析】本题考查解直角三角形.过点O作OE⊥AC于点F，
延长BD交OE于点F，设DF=x，根据锐角三角函数的定义表示OF的长度，然后列出方程求出x的值即可求出答案．【解答过程】解：过点O
作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，设DF=x，∵tan65°=，∴OF=xtan65°，∴BF=3+x，∵tan35°=，
∴OF=(3+x)tan35°，∴2.1x=0.7(3+x)，∴x=1.5，∴OF=1.5×2.1=3.15，∴OE=3.15+1
.5=4.65，故选C．【知识点】解直角三角形及其应用2.（2019吉林长春，6，3分）如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，
梯子AB的长是3米.若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离C为A.3sinα米B.3cosα米
C.米D.米【答案】A.【思路分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，直接利用锐角三角函数关系得出
sinα=，进而得出答案．【解答过程】解：由题意可得：sinα=，故BC=3sinα（m）．故选：A．【知识点】解直角三角形的应用
二、填空题1.（2019湖北仙桃，15，3分）如图，为测量旗杆AB的高度，在教学楼一楼点C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在四楼点
D处测得旗杆顶部的仰角为30°，点C与点B在同一水平线上．已知CD＝9.6m，则旗杆AB的高度为m．【答案】14.4【解析】
解：作DE⊥AB于E，如图所示：则∠AED＝90°，四边形BCDE是矩形，∴BE＝CD＝9.6m，∠CDE＝∠DEA＝90°，∴∠
ADC＝90°+30°＝120°，∵∠ACB＝60°，∴∠ACD＝30°，∴∠CAD＝30°＝∠ACD，∴AD＝CD＝9.6m，在
Rt△ADE中，∠ADE＝30°，∴AEAD＝4.8m，∴AB＝AE+BE＝4.8m+9.6m＝14.4m；故答案为：14.4．【
知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题2.（2019湖北咸宁，13，3分）如图所示，九（1）班数学课外活动小组在河边测量河宽A
B（这段河流的两岸平行），他们在点C测得∠ACB＝30°，点D处测得∠ADB＝60°，CD＝80m，则河宽AB约为m（结果保留整
数，1.73）．【答案】69【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，∠ADB＝60°，∴∠DAC＝30°，∴DA＝DC＝8
0，在Rt△ABD中，，∴4069（米），故答案为69．【知识点】解直角三角形的应用3.（2019湖北孝感，13，3分）如图，在
P处利用测角仪测得某建筑物AB的顶端B点的仰角为60°，点C的仰角为45°，点P到建筑物的距离为PD＝20米，则BC＝米．【
答案】（2020）【解析】解：在Rt△PBD中，tan∠BPD，则BD＝PD?tan∠BPD＝20，在Rt△PBD中，∠CPD＝4
5°，∴CD＝PD＝20，∴BC＝BD﹣CD＝2020，故答案为：（2020）．【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题4.（
2019湖北荆州，14，3分）如图，灯塔A在测绘船的正北方向，灯塔B在测绘船的东北方向，测绘船向正东方向航行20海里后，恰好在灯塔
B的正南方向，此时测得灯塔A在测绘船北偏西63.5°的方向上，则灯塔A，B间的距离为海里（结果保留整数）．（参考数据sin26.
5°≈0.45，cos26.5°≈0.90，tan26.5°≈0.50，2.24）【答案】22.4【解析】解：由题意得，MN＝20
，∠ANB＝63.5°，∠BMN＝45°，∠AMN＝∠BNM＝90°，∴BN＝MN＝20，如图，过A作AE⊥BN于E，则四边形AM
NE是矩形，∴AE＝MN＝20，EN＝AM，∵AM＝MN?tan26.5°＝20×0.50＝10，∴BE＝20﹣10＝10，∴AB
1022.4海里．故答案为：22.4．【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题5.（2019内蒙古赤峰，17，3分）如图，一根竖
直的木杆在离地面3.1m处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成38°角，则木杆折断之前高度约为m．（参考数据：sin38°≈0.
62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78）【答案】8.1【解析】解：如图：AC＝3.1m，∠B＝38°，∴AB，∴木杆
折断之前高度＝AC+AB＝3.1+5＝8.1（m）故答案为8.1【知识点】解直角三角形的应用6.（2019江苏徐州，16，3分）【
答案】262【解析】本题解答时要通过作垂线构造矩形和直角三角形.解：过A作AE⊥BC于E，则四边形ADCE为矩形，在Rt△ACD，
∵AD=62，∠ACD=∠EAC=17°，∴AE=CD===200，∵AE⊥BE，∠BAE=45°，∴BE=AE=200，∴BC=
CE＋BE＝AD＋BE＝62＋200＝262（m）第16题答图【知识点】解直角三角形的应用三、解答题1.（2019广东深圳，2
0，8分）如图所示，某施工队要测量隧道长度BC，AD=600米，AD⊥BC，施工队站在点D处看向B，测得仰角45°，再由D走到E处
测量，DE∥AC，DE=500米，测得仰角为53°，求隧道BC长.（sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）.【思路分析】
作EM⊥AC于点M，构建直角三角形，解直角三角形解决问题．【解题过程】如图，△ABD是等腰直角三角形，AB=AD=600．作EM⊥
AC于点M，则AM=DE=500，∴BM=100．在Rt△CEM中，tan53°=，即=，∴CM=800，∴BC=CM－BM=80
0－100=700（米），∴隧道BC的长度为700米．答：隧道BC的长度为700米．【知识点】解直角三角形2.（2019广西河池
，T22，F8分）如图，在河对岸有一棵大树，在河岸点测得在北偏东方向上，向东前进到达点，测得在北偏东方向上，求河的宽度（精确到．参
考数据：，．【思路分析】过点作直线，垂足为点，在和中，通过解直角三角形可求出，的长，结合，即可求出的长．【解题过程】解：过点作直线
，垂足为点，如图所示．在中，，；在中，，．，．河的宽度为103.9米．【知识点】解直角三角形的应用方向角问题3.（2019贵州遵
义，19，10分）某地为打造宜游环境，对旅游道路进行改造，如图是风景秀美的观景山，从山脚B到山腰D沿斜坡已建成步行道，为方便游客
登顶观景，欲从D到A修建电动扶梯，经测量，山高AC=154米，步行道BD=168米，∠DBC=30°，在D处测得山顶A的仰角为45
°，求电动扶梯DA的长(结果保留根号）【思路分析】如图，过点D作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，则Rt△BDN中BD=168，∠D
BC=30°，可求DN的长，由于DN=CM，所以AM可求，Rt△ADM中,∠ADM=45°，进而可求出AD的长【解题过程】解：如图
，过点D作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，则Rt△BDN中BD=168，∠DBC=30°，∴DN=84，∵DN=CM，∴CM=84
∵AC=154，∴AM=70，∴Rt△ADM中,∠ADM=45°，∴AD=答：求电动扶梯DA的长为米.【知识点】解直角三角形4.
(2019海南,20题,10分)图9是某区域的平面示意图,码头A在观测站B的正东方向,码头A的北偏西60°方向上有一小岛C,小岛C
在观测站B的北偏西15°方向上,码头A到小岛C的距离AC为10海里.(1)填空:∠BAC＝______度,∠C＝______度;(
2)求观测站B到AC的距离BP(结果保留根号).【思路分析】任务一:根据平均数的计算方法求值即可;任务二:设出旗杆高度,表示出CE
,DE的长度,得到方程,即可解得;任务三:根据实际情况分析原因.【解题过程】(1)∵小岛C在码头A的北偏西60°方向上,∴∠BAC
＝30°,在△ABC中,∠ABC＝90°+15°＝105°,∴∠C＝180°－∠BAC－∠ABC＝45°;(2)设BP＝x海里,则
在Rt△BCP中,CP＝BP＝x,在Rt△ABP中,AP＝BP＝x,∵AC＝10,∴x+x＝10,∴x＝5－5,答:观测站B到AC
的距离为(5－5)海里.【知识点】三角函数的应用5.(2019黑龙江绥化,23题,6分)按要求解答下列各题:(1)如图①,求作一
点P,使点P到∠ABC的两边的距离相等,且在△ABC的边AC上.(用直尺和圆规作图,保留作图痕迹;不写作法和证明);(2)如图②,
B,C表示两个港口,港口C在港口B的正东方向上,海上有一小岛A在港口B的北偏东60°的方向上,且在港口C的北偏西45°方向上.测得
AB＝40海里,求小岛A与港口C之间的距离.(结果可保留根号)第24题图【思路分析】(1)根据角平分线的尺规作图方法进行作图;(2
)过点A作AD⊥BC,利用三角函数,分别在两个三角形中求出相应线段的长度.【解题过程】(1)如图,作出∠ABC的平分线,标出点P;
(2)过点A作AD⊥BC于点D,由题意得,∠ABD＝30°,∠ACD＝45°,在Rt△ADB中,∵AB＝40,AD＝AB·sin3
0°＝20,在Rt△ADC中,sin∠ACD＝,∴AC＝(海里),答:小岛A与港口C之间的距离是海里.第24题答图【知识点】尺规作
图,三角函数的应用6.（2019·湖南张家界，20，6）天门山索道是世界最长的高山客运索道，位于张家界天门山景区．在一次检修维护中
，检修人员从索道A处开始，沿A—B—C路线对索道进行检修维护．如图：已知AB＝500米，BC＝800米，AB与水平线AA1的夹角是
30°，BC与水平线BB1的夹角是60°．求：本次检修中，检修人员上升的垂直高度CA1是多少米？（结果精确到1米，参考数据：≈1.
732）第20题图【思路分析】过点B作BD⊥AA1于D，在Rt△ABD和在Rt△CBB1中，由正弦函数，分别求出BD和CB1的长，
两者相加，即为CA1的长．【解题过程】如答图，过点B作BD⊥AA1于D，则A1B1＝BD．第20题答图在Rt△ABD中，由sin
A＝，得BD＝AB?sinA＝500?sin30°＝500×＝250（米）．在Rt△CBB1中，由sin∠CBB1＝，得CB1＝
CB?sin∠CBB1＝800?sin60°＝800×＝400＝692.8（米）．∴CA1＝CB1＋B1A1＝692.8＋250＝
942.8≈943（米）．∴本次检修中，检修人员上升的垂直高度CA1约为943米．【知识点】解直角三角形．7.（2019湖北十堰
，19，7分）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，AD＝3m，坝高AE＝DF＝6m，坡角α＝45°，β＝30°，求BC的长．【思路
分析】过A点作AE⊥BC于点E，过D作DF⊥BC于点F，得到四边形AEFD是矩形，根据矩形的性质得到AE＝DF＝6，AD＝EF＝3
，解直角三角形即可得到结论．【解题过程】解：解：过A点作AE⊥BC于点E，过D作DF⊥BC于点F，则四边形AEFD是矩形，有AE＝
DF＝6，AD＝EF＝3，∵坡角α＝45°，β＝30°，∴BE＝AE＝6，CFDF＝6，∴BC＝BE+EF+CF＝6+3+69+6
，∴BC＝（9+6）m，答：BC的长（9+6）m．【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题8.（2019湖南郴州，21，8分）
如图所示，巡逻船在A处测得灯塔C在北偏东45°方向上，距离A处30km．在灯塔C的正南方向B处有一渔船发出求救信号，巡逻船接到指示
后立即前往施救．已知B处在A处的北偏东60°方向上，这时巡逻船与渔船的距离是多少？（精确到0.01km．参考数据：1.414，1.
732，2.449）【思路分析】延长CB交过A点的正东方向于D，则∠CDA＝90°，由题意得：AC＝30km，∠CAD＝45°，∠
BAD＝30°，由直角三角形的性质得出AD＝CDAC＝15，ADBD，BD5，即可得出答案．【解题过程】解：延长CB交过A点的正东
方向于D，如图所示：则∠CDA＝90°，由题意得：AC＝30km，∠CAD＝90°﹣45°＝45°，∠BAD＝90°﹣60°＝30
°，∴AD＝CDAC＝15，ADBD，∴BD5，∴BC＝CD﹣BD＝15515×1.414﹣5×2.449≈8.97（km）；答：
巡逻船与渔船的距离约为8.97km．【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题9.（2019年陕西省，20，7分）（本题7分）如图，
两座建筑物的水平距离BC为m，从C点测得A点的仰角为，从A点测得D点的俯角为，求两座建筑物的高度（参考数据：，，，，，）．第14题
答图【思路分析】通过作辅助线，构造一个矩形，利用锐角三角函数解决问题．【解题过程】解：过点D作，垂足为E，所以由已知，可得，
，因为，所以四边形BCDE为矩形，所以，，在Rt△ABC中，因为，，在Rt△ADE中，因为，，所以，所以，所以两座建筑物的高度
分别为80m，35m．【知识点】矩形的判定定理和性质定理、锐角三角函数、平行线的性质．10.(2019黑龙江大庆,22题,6分)
如图,一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10km至B港,然后再沿北偏西30°方向航行10km至C港.(1)求A,C两港之间的距离(
结果保留到0.1km,参考数据:≈1.414,≈1.732);(2)确定C港在A港的什么方向.第22题图【思路分析】(1)由方位角
及AB,BC的长度,可得△ABC是等腰直角三角形,进而得到AC长度;(2)根据方位角等角度,得到∠MAC的度数.【解题过程】(1)
因为B港在A港沿北偏东60°方向,所以∠ABQ＝30°,因为C港在B港的北偏西30°,所以∠CBQ＝60°,所以∠ABC＝90°,
因为AB＝BC＝10km,所以△ABC是等腰直角三角形,所以AC＝AB＝10≈14.1km;(2)由(1)可知,∠CAB＝45°,
所以∠MAC＝15°,所以C港在A港的北偏东15°的方向.【知识点】方位角,三角函数11.（2019吉林省，21，7分）墙壁及淋
浴花洒截面如图所示，已知花洒底座A与地面的距离AB为170cm，花洒AC的长为30cm,与墙壁的夹角∠CAD为43°，求花洒顶端C
到地面的距离CE（结果精确到1cm）.（参考数据：sin43°=0.68，cos43°=0.73，tan43°=0.93）【思路
分析】如图，过点C作CM⊥BD于点M，解Rt▲ACM，可以求出AM的长，从而可以求出BM的长，由于CE=BM问题可以解决.【解题过
程】解：如图，过点C作CM⊥BD于点M，Rt▲ACM中AC=30m,∠CAD=43°，cos∠CAD=∴AM=30cos∠CAD=
=21.9，所以CE=AM+AB=21.9+170=191.9≈192cm答：花洒顶端C到地面的距离为192cm【知识点】解直角三
角形12.（2019辽宁本溪，22，12分）小李要外出参加“建国70周年”庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图①，②分别是她上网时看到
的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆DE，箱长BC，拉杆AB的长度都相等，B，F在AC上，C在DE上，支杆DF
=30cm，CE:CD=1:3，∠DCF=45°，∠CDF=30°，请根据以上信息，解答下列问题：求AC的长度，（结果保留根号）；
求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离（结果保留根号）.【思路分析】本题主要考查解直角三角形.（1）过点F作FM⊥ED，垂足为M，根据D
F=30cm，∠CDF=30°可得MF和MD的长，根据∠DCF=45°可得出CM的长进而求出DE，根据DE=BC=AB即可求出AC
的长；（2）过点A作AN⊥ED，垂足为N，根据AC=40+40（cm），∠DCF=45°以及AN=AC·sin∠DCF即可求出答案
.【解题过程】解：（1）过点F作FM⊥ED，垂足为M.∵DF=30cm，∠CDF=30°，∴MF=15cm，MD=15cm.∵∠D
CF=45°，∴CM=MF=15cm，∴CD=CM+MD=15+15（cm）.∵CE:CD=1:3，∴ED=20+20（cm）.∵
DE=BC=AB，∴AC=AB+BC=40+40（cm）.（2）过点A作AN⊥ED，垂足为N，∵AC=40+40（cm），∠DCF
=45°，∴AN=AC·sin∠DCF=20+20（cm）.【知识点】解直角三角形及其应用.13.（2019广西贺州，22，8分
）如图，在处的正东方向有一港口．某巡逻艇从处沿着北偏东方向巡逻，到达处时接到命令，立刻在处沿东南方向以20海里小时的速度行驶3小时
到达港口．求，间的距离．，，结果保留一位小数）．【思路分析】过点作，垂足为点，则，，通过解直角三角形可求出，的长，将其相加即可求出
的长．【解题过程】解：解：过点作，垂足为点，则，，如图所示．在中，，，，；在中，，．．，间的距离约为114.2海里．【知识点】解直
角三角形的应用方向角问题14.（2019湖南邵阳，24，8分）某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示．已知真空集热管与
支架所在直线相交于点，且；支架与水平线垂直．，，，另一支架与水平线夹角，求的长度（结果精确到；温馨提示：，，【思路分析】设，根据含
30度角的直角三角形的性质以及锐角三角函数的定义即可求出答案．【解题过程】解：设，，，，，，，解得：，．【知识点】解直角三角形的应用15.（2019四川泸州，23，8分）如图，海中有两个小岛C，D，某渔船在海中的A处测得小岛位于东北方向上，且相距20nmile，该渔船自西向东航行一段时间到达点B处，此时测得小岛C恰好在点B的正北方向上，且相距50nmile，又测得点B与小岛D相距20nmile．（1）求sin∠ABD的值；（2）求小岛C，D之间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．【思路分析】（1）过D作DE⊥AB于E，解直角三角形即可得到结论；（2）过D作DF⊥BC于F，解直角三角形即可得到结论．【解题过程】解：（1）过D作DE⊥AB于E，在Rt△AED中，AD＝20，∠DAE＝45°，∴DE＝20sin45°＝20，在Rt△BED中，BD＝20，∴sin∠ABD；（2）过D作DF⊥BC于F，在Rt△BED中，DE＝20，BD＝20，∴BE40，∵四边形BFDE是矩形，∴DF＝EB＝40，BF＝DE＝20，∴CF＝BC﹣BF＝30，在Rt△CDF中，CD50，∴小岛C，D之间的距离为50nmile．【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题时代博雅解析时代博雅解析 |
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