一、选择题1.（2019广西北部湾，8，3分）“学雷锋”活动月中，“飞翼”班将组织学生开展志愿者服务活动，小晴和小霞从“图书馆，博物馆，
科技馆”，三个场馆中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一场馆的概率是A.B.C.D.【答案】A.【解析】解：画树状图为：（
用A、B、C分别表示“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆）共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一场馆的结果数为3，所以两人恰好
选择同一场馆的概率==．故选A．【知识点】列表法与树状图法．2.（2019广西北部湾，3，3分）下列事件为必然事件的是A.打开电
视机，正在播放新闻B.任意画一个三角形内角和是180°C.买一张电影票，座位号是奇数号
D.掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上【答案】B.【解析】解：A，C，D选项为不确定事件，即随机事件，故不符合题意．因为在平面内，任意
三角形的内角和为180°，所以任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，符合题意．故选B．【知识点】随机事件．3.（2
019贵州省毕节市，题号14，分值3分）平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，现从以下四个关系①AB＝BC；②AC＝BD；
③AC⊥BD；④AB⊥BC中随机取出一个作为条件，即可推出平行四边形ABCD是菱形的概率为（）A．B．C．D．1【答案】B．【
思路分析】菱形的判定：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；②四条边都相等的四边形是菱形．
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．【解题过程】解：根据平行四边形的判定定理，可推出平行
四边形ABCD是菱形的有①或③，概率为．故选：B．【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；概率公式．菁优4.（2019贵州
黔西南州，8，4分）平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，现从以下四个关系①AB＝BC；②AC＝BD；③AC⊥BD；④AB
⊥BC中随机取出一个作为条件，即可推出平行四边形ABCD是菱形的概率为（）A．B．C．D．1【答案】B【解析】解：根据平行四边
形的判定定理，可推出平行四边形ABCD是菱形的有①或③，概率为．故选：B．【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；概率公式5
.(2019海南,10题,3分)某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒,绿灯亮25秒,黄灯亮5秒,当小明到达该路口时,遇到绿灯的概
率是()A.B.C.D.【答案】D【解析】一个循环是30+25+5＝60(秒),∴遇到绿灯的概率为,故选D.【知识点】概率
6.(2019黑龙江绥化,6题,3分)不透明袋子中有2个红球和4个蓝球,这些球除颜色外无其它差别,从袋子中随机取出1个球是红球的概
率是()A.B.C.D.【答案】A【解析】从袋子中抽取一个球,共有6种等可能的结果,其中,抽到红球的结果有2种,∴抽到红球
的概率为,故选A.【知识点】概率7.（2019·湖南张家界，5，3）下列说法正确的是（）A．打开电视机，正在播放“张家界新闻
”是必然事件；B．天气预报说“明天的降水概率为65%”，意味着明天一定下雨；C．两组数据平均数相同，则方差大的更稳定；D．数据5
，6，7，7，8的中位数与众数均为7．【答案】D．【解析】∵打开电视机，正在播放“张家界新闻”是随机事件；天气预报说“明天的降水
概率为65%”，意味着明天下雨的可能性较大，但不一定会下雨；两组数据平均数相同，则方差小的更稳定；数据5，6，7，7，8的中位数与
众数均为7，∴选D．【知识点】统计；概率；平均数；中位数；众数；方差；必然事件8.（2019湖北仙桃，4，3分）下列说法正确的是
（）A．了解我市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查B．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为S甲2＝3，S乙2＝4，说明
乙的跳远成绩比甲稳定C．一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是2.5D．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生【答案】C【
解析】解：A．了解我市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合抽样调查，A错误；B．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为S甲2＝3，S乙
2＝4，说明甲的跳远成绩比乙稳定，B错误；C．一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是2.5，正确；D．可能性是1%的事件在一次
试验中可能会发生，D错误．故选：C．【知识点】全面调查与抽样调查；中位数；众数；方差；概率9.（2019山东东营，6，3分）从1
，2，3，4中任取两个不同的数，分别记为a和b，则a2+b2＞19的概率是（）A．B．C．D．【答案】D【
解析】列表如下：ab123415101725132031013254172025有表格看出，共12种等可
能的结果，其中满足a2+b2＞19有4种结果，所以a2+b2＞19的概率是=．故选D．【知识点】列举法求概率10.（2019年广
西柳州市，8，3分）小李与小陈做猜拳游戏，规定每人每次至少出一个手指，两人出拳的手指之和为偶数时小李获胜，那么小李获胜的概率为
（）A．B．C．D．【答案】A【思路分析】画出树状图，共有25个等可能的结果，两人出拳的手指数之和为偶数的结果有13个，
由概率公式得出答案．【解题过程】画树状图如下：共有25个等可能的结果，两人出拳的手指数之和为偶数的结果有13个，∴小李获胜的概率为
，故选A．【知识点】概率11.（2019广西桂林，6，3分）如图，一个圆形转盘被平均分成6个全等的扇形，任意旋转这个转盘1次，则
当转盘停止转动时，指针指向阴影部分的概率是A．B．C．D．【答案】D【解析】解：当转盘停止转动时，指针指向阴影部分的概率是，故选
：D．【知识点】几何概率12.（2019内蒙古赤峰，4，3分）不透明袋子中有除颜色外完全相同的4个黑球和2个白球，从袋子中随机摸
出3个球，下列事件是必然事件的是（）A．3个都是黑球B．2个黑球1个白球C．2个白球1个黑球D．至少有1个黑球【答案】D【解析
】解：A袋子中装有4个黑球和2个白球，摸出的三个球中可能为两个白球一个黑球，所以A不是必然事件；B．C．袋子中有4个黑球，有可能摸
到的全部是黑球，B、C有可能不发生，所以B、C不是必然事件；D．白球只有两个，如果摸到三个球不可能都是白梂，因此至少有一个是黑球，
D正确．故选：D．【知识点】随机事件13.（2019江苏徐州，4，3分）【答案】C【解析】本题解答时要利用频率估计概率解：由
于抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为，所以由于抛掷一枚质地均匀的硬币2000次，正面向上的次数最有可能为2000×=1000
，故本题选C.【知识点】频率估计概率二、填空题1.（2019广东深圳，14，3分）现有8张同样的卡片，分别标有数字：1，1，2，
2，2，3，4，5，将这些卡片放在一个不透明的盒子里，搅匀后从中随机地抽出一张，抽到标有数字2的卡片的概率是___________
_．【答案】【解析】从中随机抽取一张，共8种等可能的结果，其中抽到标有2的卡片的结果数为3，故抽到标有数字2的卡片的概率为．【知识
点】概率2.（2019广西省贵港市，题号16，分值3分）若随机掷一枚均匀的骰子，骰子的6个面上分别刻有1，2，3，4，5，6点，
则点数不小于3的概率是．【答案】．【思路分析】骰子六个面出现的机会相同，求出骰子向上的一面点数不小于3的情况有几种，直接应用求概
率的公式求解即可．【解题过程】解：随机掷一枚均匀的骰子有6种等可能结果，其中点数不小于3的有4种结果，所以点数不小于3的概率为，故
答案为：．【知识点】概率公式3.（2019广西河池，T15，F3分）掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为奇数的概率是．【答案
】．【解析】解：掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为奇数的概率是，故答案为：．【知识点】概率公式4.（2019贵州黔西南州，1
8，3分）从一个不透明的口袋中随机摸出一球，再放回袋中，不断重复上述过程，一共摸了150次，其中有50次摸到黑球，已知囗袋中仅有黑
球10个和白球若干个，这些球除颜色外，其他都一样，由此估计口袋中有个白球．【答案】20【解析】解：摸了150次，其中有50次摸到
黑球，则摸到黑球的频率是，设口袋中大约有x个白球，则，解得x＝20．故答案为：20．【知识点】用样本估计总体5.（2019贵州遵
义，14，4分）小明用0-9中的数字给手机设置了六位开机密码，但他把最后一位数字忘记了，小明只输入一次密码就能打开手机的概率是
【答案】【解析】0-9中的数字共有10个，只有一个是正确的，所以输入一次就能打开的概率是【知识点】概率6.（2019黑龙江哈尔滨
，19，6分）同时掷两枚质地均匀的骰子,每枚骰子的六个面上分别刻有1到6的点数,则这两枚骰子向上的一面出现的点数相同的概率为___
____________．【答案】【解析】解：列表得：（1，6）（2，6）（3，6）（4，6）（5，6）（6，6）（1，5）（2，
5）（3，5）（4，5）（5，5）（6，5）（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）（5，4）（6，4）（1，3）（2，3）（3，
3）（4，3）（5，3）（6，3）（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）（5，2）（6，2）（1，1）（2，1）（3，1）（4，
1）（5，1）（6，1）由表可知一共有36种情况，两枚骰子点数相同的有6种，所以两枚骰子点数相同的概率为＝，故答案为：．【知识点】
列表法与树状图法求随机事件的概率7.（2019湖北咸宁，10，3分）一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“1”“1”“2”
“4”“5”“5”，随机掷一次小正方体，朝上一面的数字是奇数的概率是．【答案】【解析】解：∵一个质地均匀的小正方体，六个面分别
标有数字“1”“1”“2”“4”“5”“5”，∴随机掷一次小正方体，朝上一面的数字是奇数的概率是：．故答案为：．【知识点】概率公式
8.（2019湖南湘西，4，4分）从﹣3．﹣l，π，0，3这五个数中随机抽取一个数，恰好是负数的概率是．【答案】【解析】解
：∵在﹣3．﹣l，π，0，3这五个数中，负数有﹣3和﹣1这2个，∴抽取一个数，恰好为负数的概率为，故答案为：．【知识点】概率公式9
.（2019宁夏，11，3分）在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黄色乒乓球和若干个白色乒乓球，从盒子里随机摸出一个乒
乓球，摸到白色乒乓球的概率为，那么盒子内白色乒乓球的个数为．【答案】【解析】因为从盒子里随机摸出一个乒乓球，摸到白色乒乓球的概率
为，所以摸到黄色乒乓球的概率为，所以这个盒子内乒乓球的总数为，所以盒子内白色乒乓球的个数为．【知识点】用频率估计概率．10.（2
019年广西柳州市，15，3分）柳州市某校的生物兴趣小组在老师的指导下进行了多项有意义的生物研究并取得成果，下面是这个兴趣小组在相
同的实验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据：种子数n307513021048085612502300发芽数m2872
12520045781411872185发芽频率0.93330.96000.96150.95240.95210.95090.949
60.9500依据上面的数据可以估计，这种植物种子在该实验条件下发芽率约是___________（结果精确到0.01）．【答案】0
.95【解析】在相同实验条件下，频率会逐步稳定在某一个值附近，本题发芽频率的值稳定在0.95附近，所以发芽率约是0.95，因此本题
填0.95．【知识点】样本估计总体11.(2019黑龙江大庆,13题,3分)一个不透明的口袋中共有8个白球,5个黄球,5个绿球,
2个红球,这些球除颜色外都相同,从口袋中随机摸出一个球,这个求是白球的概率是________.【答案】【解析】从口袋中摸出一个球,
共有20种等可能的结果,其中摸到白球的结果有8种,所以摸到白球的概率为.【知识点】求概率12.（2019黑龙江省龙东地区，4，3
）在不透明的甲、乙两个盒子中装有除颜色外完全相同的小球，甲盒中有2个白球、1个黄球，乙盒中有1个白球、1个黄球，分别从每个盒中随机
摸出1个球，则摸出的2个球都是黄球的概率是________．【答案】.【解析】用树状图或列表的方法即可求解.例如：甲白1甲白2乙黄
乙白×××乙黄××√【知识点】概率；树状图法；列表法13.（2019·江苏镇江，11，2）如图，有两个转盘A、B，在每个转盘各自
的两个扇形区域中分别标有数字1、2，分别转动转盘A、B，当转盘停止转动时，若事件“指针都落在标有数字1的扇形区域内”概率是，则转盘
B中标有数字1的扇形的圆心角的度数是°．第11题图【答案】80．【解析】本题考查了二步事件的概率，由于第一个转盘落在1的概率为，
而两个转盘都落在1的概率是，∴转盘2落在1的概率为÷＝，∴转盘2中数字1所在的圆心角＝×360°＝80°，因此本题答案为80．【知
识点】概率；用树状图或列表法求等可能条件下的事件的概率14.（2019辽宁本溪，16，3分）如图所示的点阵中，相邻的四个点构成正
方形，小球只在点阵中的小正方形ABCD内自由滚动时，则小球停留在阴影区域的概率为.【答案】【思路分析】首先建立如图示的直角坐标系
，标记字母如图所示，设相邻两点的距离为1个单位长度，可得出OE的解析式，进而得出M和N的坐标，进而得出AM和AN的长度，然后根据面
积计算公式得出阴影部分的面积，进而得出答案.【解题过程】解：建立如图示的直角坐标系，标记字母如图所示，设相邻两点的距离为1个单位长
度，则E（3，2），A（1，1），D（2，1），∴直线OE的解析式为y=.当x=1时可得y=，故N的坐标为（1，），当y=1时可得
x=，故M的坐标为（，1），∴AM=-1=，AN=1-=，∴S阴影=1-××=，∴P（小球停留在阴影区域）=，故答案为.【知识点】
几何概率.15.（2019湖南邵阳，12，3分）不透明袋中装有大小形状质地完全相同的四个不同颜色的小球，颜色分别是红色、白色、蓝
色、黄色，从中一次性随机取出2个小球，取出2个小球的颜色恰好是一红一蓝的概率是．【答案】【解析】解：画树状图如下：由树状图知，共
有12种等可能结果，其中取出2个小球的颜色恰好是一红一蓝的有2种结果，所以取出2个小球的颜色恰好是一红一蓝的概率为，故答案为：．【
知识点】概率公式16.（2019江苏镇江，11，2分）如图，有两个转盘、，在每个转盘各自的两个扇形区域中分别标有数字1，2，分别转
动转盘、，当转盘停止转动时，若事件“指针都落在标有数字1的扇形区域内”的概率是，则转盘中标有数字1的扇形的圆心角的度数是．【答案
】80【解析】解：设转盘中指针落在标有数字1的扇形区域内的概率为，根据题意得：，解得，转盘中标有数字1的扇形的圆心角的度数为：．故
答案为：80．【知识点】列表法与树状图法17.（2019四川省雅安市，16，3分）在两个暗盒中，各自装有编号为1，2，3的三个球
，球除编号外无其它区别，则在两个暗盒中各取一个球，两球上的编号的积为偶数的概率为___________.【答案】【解析】在两个暗盒
中各取一个球共有九种可能的结果，其中有1×2、2×1、2×2、2×3、3×2共5种情形两球上的编号的积为偶数，其概率为，故答案为．
【知识点】概率三、解答题1.（2019湖北十堰，20，7分）第一盒中有2个白球、1个黄球，第二盒中有1个白球、1个黄球，这些球除
颜色外无其他差别．（1）若从第一盒中随机取出1个球，则取出的球是白球的概率是．（2）若分别从每个盒中随机取出1个球，请用列表或画
树状图的方法求取出的两个球中恰好1个白球、1个黄球的概率．【思路分析】（1）直接利用概率公式计算可得；（2）先画出树状图展示所有6
种等可能的结果数，再找出恰好1个白球、1个黄球的结果数，然后根据概率公式求解；【解题过程】解：（1）若从第一盒中随机取出1个球，则
取出的球是白球的概率是，故答案为：；（2）画树状图为：，共有6种等可能的结果数，取出的两个球中恰好1个白球、1个黄球的有3种结果，
所以取出的两个球中恰好1个白球、1个黄球的概率为．【知识点】概率公式；列表法与树状图法2.（2019湖北孝感，19，7分）一个不
透明的袋子中装有四个小球，上面分别标有数字﹣2，﹣1，0，1，它们除了数字不同外，其它完全相同．（1）随机从袋子中摸出一个小球，摸
出的球上面标的数字为正数的概率是．（2）小聪先从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的横坐标；然后放回搅匀，
接着小明从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为点M的纵坐标．如图，已知四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（﹣2，0），B（0，
﹣2），C（1，0），D（0，1），请用画树状图或列表法，求点M落在四边形ABCD所围成的部分内（含边界）的概率．【思路分析】（1
）直接利用概率公式计算可得；（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．【解题过程】解：（1）
在﹣2，﹣1，0，1中正数有1个，∴摸出的球上面标的数字为正数的概率是，故答案为：．（2）列表如下：﹣2﹣101﹣2（﹣2，﹣2）
（﹣1，﹣2）（0，﹣2）（1，﹣2）﹣1（﹣2，﹣1）（﹣1，﹣1）（0，﹣1）（1，﹣1）0（﹣2，0）（﹣1，0）（0，0）
（1，0）1（﹣2，1）（﹣1，1）（0，1）（1，1）由表知，共有16种等可能结果，其中点M落在四边形ABCD所围成的部分内（含
边界）的有：（﹣2，0）、（﹣1，﹣1）、（﹣1，0）、（0，﹣2）、（0，﹣1）、（0，0）、（0，1）、（1，0）这8个，所以
点M落在四边形ABCD所围成的部分内（含边界）的概率为．【知识点】概率公式；列表法与树状图法3.（2019宁夏，22，3分）为了
创建文明城市，增强学生的环保意识，随机抽取8名学生，对他们的垃圾分类投放情况进行调查，这8名学生分别标记为A,B,C,D,E,F,
G,H，其中“√”表示投放正确，“×"表示投放错误，统计情况如下表：第22题图（1）求8名学生中至少有三类垃圾投放正确的概率；（
2）为进步了解垃圾分类投放情况，现从8名学生里“有害垃圾”投放错误的学生中随机抽取两人接受采访，试用标记的字母列举所有可能抽取的结
果．【思路分析】本题第（1）问是一个简单事件的概率求解的题目，第（2）小题是一种不放回抽样，通过列表、画树状图等方法列出事件的所有
可能的结果即可．【解题过程】（1）P(8名学生中至少有三类垃圾投放正确的概率)=．（2）从统计情况表中，可以看出8名学生里“有害
垃圾”投放错误的学生共有四人，分别为A，C，F，G，共有6种结果，所有可能抽取的结果依次为，，，，，.【知识点】求简单事件的概率、
列举简单随机事件所有可能的结果．4.（2019年陕西省，22，7分）（本题7分）西安地铁的开通运行给西安市民的出行方式带来了一些
变化，小颜和小鹏准备利用课余时间，以问卷的方式对西安市民认为地铁站存在的问题进行调查．如图是西安地铁一号线图（部分），小颜和小鹏分
别从劳动路站（用A表示），玉祥门站（用B表示），洒金桥站（用C表示）这三站中，随机选择一站作为调查的地点．（1）在这三站中，小颜选
取问卷调查的站点是玉祥门站的概率是多少?（2）请你用画树状图或列表法，求小颜与小鹏所选取问卷调查的站点相邻的概率．（各站点用相应的
英文字母表示）第22题图【思路分析】本题第（1）问是一个简单事件的概率求解的题目，第（2）小题是一种不放回抽样，既可以用树状图也可
以列表，通过分析和计算，得出事件的概率．【解题过程】（1）P(小颜选取问卷调查的站点是玉祥门站)=．（2）列表法：ABCA/（B
，A）（C，A）B（A，B）/（C，B）C（A，C）（B，C）/从上表可以看出，共有6种等可能结果，其中小颜与小鹏所选取问卷调查的
站点相邻的情况共有4种，分别为（B,A），（A,B），（C,B），（B,E）.所以P（小颜与小鹏所选取问卷调查的站点相邻）=开
始树状图法：CBＡCＢＡCＡＢ从上图可以看出，共有6种等可能结果，其中小颜与小鹏所选取问卷调查的站点相邻的情况共有4种，分别为（B
,A），（A,B），（C,B），（B,E）.所以P（小颜与小鹏所选取问卷调查的站点相邻）=【知识点】求简单事件的概率、利用树状
图或表格求简单事件的概率．5.（2019吉林长春，16，6分）一个不透明的口袋中有三个小球，每个小球上只标有一个汉字，分别是“家
”、“家”“乐”，除汉字外其余均相同。小新同学从口袋中随机摸出一个小球，记下汉字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字，
用画树状图（或列表的）方法，求小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率.【思路分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，画出树
状图，共有9个等可能的结果，小新同学两次摸出小球上的汉字相同的结果有5个，由概率公式即可得出结果．【解题过程】解：画树状图如图：共
有9个等可能的结果，小新同学两次摸出小球上的汉字相同的结果有5个，∴小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率为．【知识点】列表法与树
状图法求概率．6.（2019吉林省，16，5分）甲口袋中装有红色、绿色两把扇子，这两把扇子出颜色外无其他差别；乙口袋中装有红色、绿
色两条手绢，这两条手绢除颜色外无其他差别，从甲口袋中随机取出一把扇子，从乙口袋中随机取出一条手绢，用树状图或列表的方法，求取出的扇
子和手绢都是红色的概率.【思路分析】根据题意画出树状图或者列出表格，即可求出概率【解题过程】解：如图，共有4种等可能结果，其中取
出的擅自和手绢都是红色的有1种可能，∴P（取出的擅自和手绢都是红色）=【知识点】概率7.（2019·江苏常州，23，8）将图中的
A型（正方形）、B型（菱形）、C型（等腰直角三角形）纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不
透明的袋子中．根据以上信息，解决下列问题：（1）搅匀后从中摸出1个盒子，盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是___
_____；（2）搅匀后先从中摸出1个盒子（不放回），再从余下的2个盒子中摸出1个盒子，把摸出的2个盒中的纸片长度相等的边拼在一起
，求拼成的图形是轴对称图形的概率．（不重叠无缝隙拼接）第23题图【思路分析】本题考查了概率的求法，第（1）问用简单枚举法及概率的意
义较易求出；第（2）问用列表法或画树状图法可以解决．【解题过程】解：（1）；（2）现画树状图如下：第23题答图由图可知共有6种
等可能的结果，其中“拼成的图形是轴对称图形”的结果有2种，故P(拼成的图形是轴对称图形)＝＝．【知识点】概率的求法8.（2019
·江苏镇江，21，6）小丽和小明在下周的星期一到星期三这三天中各自任选一天担任值日工作，请用画树状图或列表格的方法，求小丽和小明在
同一天值日的概率．【思路分析】本题考查了概率的计算，解题的关键是用画树状图或列表格的方法所有的等可能事件．先用画树状图或列表格的方
法列出所有的等可能事件，然后找出我们关注的事件的结果，再利用概率公式进行计算．【解题过程】解：现画树状图如下：第21题答图由图可
知，共有9种等可能的结果，其中小丽和小明在同一天值日的有3种，故P(小丽和小明在同一天值日)＝＝．【知识点】概率的计算9.（201
9广西贺州，21，8分）箱子里有4瓶牛奶，其中有一瓶是过期的．现从这4瓶牛奶中不放回地任意抽取2瓶．（1）请用树状图或列表法把上述
所有等可能的结果表示出来；（2）求抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率．【思路分析】（1）设这四瓶牛奶分别记为、、、，其中过期牛
奶为，画树状图可得所有等可能结果；（2）从所有等可能结果中找到抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的结果数，再根据概率公式计算可得．【
解题过程】解：（1）设这四瓶牛奶分别记为、、、，其中过期牛奶为，画树状图如图所示，由图可知，共有12种等可能结果；（2）由树状图知
，所抽取的12种等可能结果中，抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的有6种结果，所以抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率为．【知识点
】列表法与树状图法10.（2019广西梧州，22，8分）一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，球上分别标有数字，1，2．第一次
从袋中任意摸出一个小球（不放回），得到的数字作为点的横坐标；再从袋中余下的两个小球中任意摸出一个小球，得到的数字作为点的纵坐标．（
1）用列表法或树状图法，列出点的所有可能结果；（2）求点在双曲线上的概率．【思路分析】根据摸秋规则，可借助树状图表示所有的情况数，
然后再根据坐标，找出坐标满足的点的个数，由概率公式可求．【解题过程】解：（1）用树状图表示为：点的所有可能结果；，，，，，，共六种
情况．（2）在点的六种情况中，只有，，两种在双曲线上，；因此，点在双曲线上的概率为．【知识点】反比例函数的图象；列表法与树状图法1
1.（2019江苏常州，23，8分）将图中的A型（正方形）、B型（菱形）、C型（等腰直角三角形）纸片分别放在3个盒子中，盒子的形
状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中．（1）搅匀后从中摸出1个盒子，盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形
的概率是；（2）搅匀后先从中摸出1个盒子（不放回），再从余下的2个盒子中摸出1个盒子，把摸出的2个盒中的纸片长度相等的边拼在一起
，求拼成的图形是轴对称图形的概率．（不重叠无缝隙拼接）【思路分析】（1）依据搅匀后从中摸出1个盒子，可能为A型（正方形）、B型（菱
形）或C型（等腰直角三角形）这3种情况，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有2种，即可得到盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图
形的概率；（2）依据共有6种等可能的情况，其中拼成的图形是轴对称图形的情况有2种：A和C，C和A，即可得到拼成的图形是轴对称图形的概率．【解题过程】解：（1）搅匀后从中摸出1个盒子，可能为A型（正方形）、B型（菱形）或C型（等腰直角三角形）这3种情况，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有2种，∴盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是；故答案为：；（2）画树状图为：共有6种等可能的情况，其中拼成的图形是轴对称图形的情况有2种：A和C，C和A，∴拼成的图形是轴对称图形的概率为．【知识点】利用轴对称设计图案；利用旋转设计图案；概率公式；列表法与树状图法12.（2019江苏镇江，21，6分）小丽和小明将在下周的星期一到星期三这三天中各自任选一天担任值日工作，请用画树状图或列表格的方法，求小丽和小明在同一天值日的概率．【思路分析】根据题意画出树状图得出所有等情况数和小丽和小明在同一天值日的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解题过程】解：根据题意画树状图如下：共有9种等情况数，其中小丽和小明在同一天值日的有3种，则小丽和小明在同一天值日的概率是．【知识点】列表法与树状图法13.（2019江苏徐州，21，7分）【思路分析】（1）根据表格填空出两数的积；（2）找出积是9或是偶数的情形，然后根据概率公式进行计算；（3）找出12个数中不是表格所填的数字，然后利用概率公式进行计算.【解题过程】解：（1）填表如下：12341123422468336912（2），；一共有12种情形，积是9的只有一种情形，所以积为9的概率为：；12种情形中偶数有8种情形，所以积为偶数的概率为：.（3）.1-12这12个数中，不是表格所填的数字有5，7，10，11，所以所求的概率为.【知识点】概率公式时代博雅解析时代博雅解析 |
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