点动型探究题专项测试题1.(12分)如图，正方形ABCD的边长为3cm，P，Q分别从B，A出发沿BC，AD方向运动，P点的运动速度是1
cm/秒，Q点的运动速度是2cm/秒，连接AP，并过Q作QE⊥AP垂足为E.(1)求证：△ABP∽△QEA；(2)当运动时间t为
何值时，△ABP≌△QEA；(3)设△QEA的面积为y，用运动时间t表示△QEA的面积y.(不要求考虑t的取值范围)(提示：解答(
2)(3)时可不分先后)第1题图2.(9分)如图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板Rt△ABC和Rt△ADC拼在一起
，使斜边AC完全重合，且顶点B，D分别在AC的两旁，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，AB＝BC＝4cm.(1)填空
：AD＝________(cm)，DC＝________(cm)；(2)点M、N分别从A点，C点同时以每秒1cm的速度等速出发，
且分别在AD，CB上沿A→D，C→B方向运动，当N点运动到B点时，M、N两点同时停止运动，连接MN.求当M、N点运动了x秒时，点N
到AD的距离(用含x的式子表示)；(3)在(2)的条件下，取DC中点P，连接MP，NP，设△PMN的面积为y(cm2)，在整个运动
过程中，△PMN的面积y存在最大值，请求出y的最大值．(参考数据：sin75°＝，sin15°＝)第2题图3.(10分)如图
，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，∠BAC＝60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速
运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒(0≤t≤5)，连接MN.(1)若BM＝B
N，求t的值；(2)若△MBN与△ABC相似，求t的值；(3)当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．第3题图4.
如图，在?ABCD中，BC＝8cm，CD＝4cm，∠B＝60°，点M从点D出发，沿DA方向匀速运动，速度为2cm/s，点N从
点B出发，沿BC方向匀速运动，速度为1cm/s，过点M作MF⊥CD，垂足为F，延长FM交BA的延长线于点E，连接EN，交AD于点
O，设运动时间为t(s)(0＜t＜4)．(1)连接AN，MN，设四边形ANME的面积为y(cm2)，求y与t之间的函数关系式；(2
)是否存在某一时刻t，使得四边形ANME的面积是?ABCD面积的？若存在，求出相应的t值，若不存在，请说明理由；(3)连接AC，
交EN于点P，当EN⊥AD时，求线段OP的长度．第4题图备用图5.如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，如
果点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点F由点D出发沿DA方向向点A匀速运动，它们的速度分别为每秒2cm和1cm，FQ
⊥BC，分别交AC、BC于点P和Q，设运动时间为t秒(0＜t＜4)．(1)连接EF，若运动时间t＝秒时，求证：△EQF是等腰直角三
角形；(2)连接EP，设△EPC的面积为ycm2，求y与t的函数关系式，并求y的最大值；(3)若△EPQ与△ADC相似，求t的值
．6.(10分)如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，DA⊥AB，AD＝4cm，DC＝5cm，AB＝8cm.如果点P由B点
出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点Q由A点出发沿AB方向向点B匀速运动，它们的速度均为1cm/s，当P点到达C点时，两点同时停
止运动，连接PQ，设运动时间为ts，解答下列问题：(1)当t为何值时，P，Q两点同时停止运动？(2)设△PQB的面积为S，当t为
何值时，S取得最大值，并求出最大值；(3)当△PQB为等腰三角形时，求t的值．第6题图参考答案与解析：1．(1)证明：∵四边形AB
CD是正方形，QE⊥AP，∴∠QEA＝∠B＝90°.∵AD∥BC，∴∠QAE＝∠APB，∴△ABP∽△QEA；…………………………
………………(3分)(2)解：由题意得：BP＝tcm，AQ＝2tcm，要使△ABP≌△QEA，则AQ＝AP＝2tcm，在R
t△ABP中，由勾股定理得：32＋t2＝(2t)2，解得t＝±(负值舍去)，即当t＝时，△ABP≌△QEA；…………………………(
7分)(3)解：在Rt△ABP中，由勾股定理得：AP＝，∵△ABP∽△QEA，∴＝＝，∴＝＝，∴QE＝，AE＝，∴y＝QE·AE＝
··＝.……………(12分)2．解：(1)2，2；【解法提示】在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC＝＝＝4cm，在Rt△ACD
中，AD＝AC·cos30°＝4×＝2cm，DC＝AC·sin30°＝4×＝2cm.(2)如解图，过点N作NE⊥AD于点E，作
NF⊥DC交DC延长线于点F，则NE＝DF.∵∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，∴∠NCF＝75°，∠FNC＝15°，在Rt△N
FC中，第2题解图∵sin∠FNC＝，∴sin15°＝，又∵NC＝xcm，∴FC＝NC·sin15°＝xcm，∴NE
＝DF＝DC＋FC＝(2＋x)cm，∴点N到AD的距离为(2＋x)cm；(3)如解图，在Rt△NFC中，∵sin75°＝，∴NF＝
NC·sin75°＝xcm，∵P为DC中点，DC＝2cm，∴DP＝CP＝cm，∴PF＝DF－DP＝2＋x－＝(x＋)cm
，∵S△PMN＝S四边形DFNM－S△DPM－S△PFN，即S△PMN＝(NF＋MD)·NE－MD·DP－PF·NF，∴y＝×(x
＋2－x)×(2＋x)－×(2－x)×－×(x＋)×x，即y＝x2＋x＋2，∵＜0，∴当x＝－＝秒时，y取得最大值为＝cm2.
3．解：(1)根据题意BM＝2tcm，BC＝5×tan60°＝5cm，BN＝BC－t＝(5－t)cm，∴当BM＝BN时，2t＝
5－t，解得t＝10－15；…………………………………………(2分)(2)分两种情况讨论：①当∠BMN＝∠ACB＝90°时，如解图
①，△NBM∽△ABC，cosB＝cos30°＝，∴＝，解得t＝；(4分)第3题解图②当∠MNB＝∠ACB＝90°时，如解图②，△
MBN∽△ABC，cosB＝cos30°＝，∴＝，解得t＝，故若△MBN与△ABC相似，则t的值为秒或秒；……(6分)(3)如解
图③，过点M作MD⊥BC于点D，则MD∥AC，∴△BMD∽△BAC，∴＝，又∵BA＝＝10，第3题解图③∴＝，解得MD＝t.设四
边形ACNM的面积为y，则y＝S△ABC－S△BMN＝AC×BC－BN·MD＝×5×5－(5－t)·t＝t2－t＋＝(t－)
2＋，…………………………………………(8分)∴当t＝秒时，四边形ACNM的面积最小，最小值为cm2.……………………………………
……………………………(10分)4．解：(1)如解图①，过点A作AG⊥BC，垂足为点G.第4题解图①∵∠AGB＝90°，∠B＝60
°，∴AG＝AB＝2cm.由题可知，MD＝2tcm，则AM＝(8－2t)cm，∵AB∥CD，MF⊥CD，∴ME⊥AB，∴∠M
EA＝∠MFD＝90°，∵AD∥BC，∴∠EAM＝∠B＝60°，∴AE＝AM＝(4－t)cm,ME＝(4－t)cm，∴y＝S
△ANM＋S△AEM＝×(8－2t)×2＋×(4－t)××(4－t)＝t2－6t＋16(0＜t＜4)；(2)存在．由四边形ANME
的面积是?ABCD面积的可得：t2－6t＋16＝×8×2，整理得：t2－12t＋11＝0，解得t＝1或t＝11(舍去)，所以当t＝
1s时，四边形ANME的面积是?ABCD面积的；(3)如解图②，第4题解图②由(1)可知AE＝(4－t)cm，∴BE＝AB＋AE
＝(8－t)cm.∵∠B＝60°，EN⊥BC，AG⊥BC，∴BN＝BE＝(4－t)cm，BG＝AB＝2cm.又∵BN＝t，∴
4－t＝t，解得t＝，∴BN＝cm，∴GN＝BN－BG＝cm，∴AO＝cm，NC＝BC-BN=cm.设PO＝xcm，则P
N＝(2－x)cm.∵AO∥NC，∴△AOP∽△CNP，∴＝，即＝，解得x＝，∴当EN⊥AD时，线段OP的长度为cm.5．(1
)证明：若运动时间t＝秒，则BE＝2×＝cm，DF＝cm，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝8cm，AB＝DC＝6cm
，∠D＝∠BCD＝90°，∵FQ⊥BC，∴∠FQC＝∠D＝∠QCD＝90°，∴四边形CDFQ是矩形，∴CQ＝DF＝cm，CD＝Q
F＝6cm，∴EQ＝BC－BE－CQ＝8－－＝6cm，∴EQ＝QF＝6cm，∴△EQF是等腰直角三角形；(2)解：∵∠FQ
C＝90°，∠B＝90°，∴∠FQC＝∠B，∴PQ∥AB，∴△CPQ∽△CAB，∴＝，即＝，∴PQ＝tcm，∵BE=2t,∴
EC=BC-BE=8-2t,∵S△EPC＝EC·PQ，∴y＝(8－2t)·t＝－t2＋3t＝－(t－2)2＋3(0＜t＜4).∵－
＜0，∴当t＝2秒时，y有最大值，y的最大值为3cm2；(3)解：分两种情况讨论：(ⅰ)如解图①，点E在Q的左侧，①当△EPQ
∽△ACD时，第5题解图①可得＝，即＝，解得t＝2；②当△EPQ∽△CAD时，可得＝，即＝，解得t＝；(ⅱ)如解图②，点E在
Q的右侧，∵0＜t＜4，∴点E不能与点C重合，∴只存在△EPQ∽△CAD，可得＝，即＝，解得t＝，第5题解图②故若△EPQ与△A
DC相似，则t的值为2秒或秒或秒．6．解：(1)如解图，过点C作CE⊥AB于点E，∵DC∥AB，DA⊥AB，CE⊥AB，∴四边形A
ECD是矩形，∴AE＝DC＝5，CE＝AD＝4，第6题解图∴BE＝AB－AE＝8－5＝3，∴由勾股定理得：BC＝＝＝5，∴BC＜
AB，∵当点P运动到点C时，P、Q同时停止运动，∴t＝＝5s，即t＝5s时，P、Q两点同时停止运动；(2)由题意知，AQ＝BP
＝t，∴QB＝8－t.如解图，过点P作PF⊥QB于点F，则△BPF∽△BCE，∴＝，即＝，∴PF＝，∴S＝QB·PF＝×(8－t
)×＝－＋＝－(t－4)2＋(0＜t≤5)．∵－＜0，∴当t＝4s时，S有最大值，最大值为；(3)∵cosB＝＝，∴BF＝PB·cosB＝t·cosB＝，∴QF＝AB－AQ－BF＝8－，∴QP＝＝＝4.当△PQB为等腰三角形时，分以下三种情况：①当PQ＝PB时，即4＝t，解得：＝，＝8，∵t2＝8＞5，不合题意，∴t＝；②当PQ＝BQ时，即4＝8－t，解得：＝0(舍去)，＝；③当QB＝BP时，即8－t＝t，解得t＝4；综上所述，当△PQB为等腰三角形时，则t的值为s或s或4s.1页 |
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