新高考数学创新好题主题二情境创新之数学应用1.[复兴号动车组列车]复兴号动车组列车是中国标准动车组的中文命名,由中国铁路总公司牵头组织研制
、具有完全自主知识产权、达到世界先进水平的动车组列车.2019年12月30日,CR400BF-C智能复兴号动车组在京张高铁实现时速
350km自动驾驶,不仅速度比普通列车快,而且车内噪声更小.我们用声强I(单位:W/m2)表示声音在传播途径中每平方米面积上的声
能流密度,声强级L(单位:dB)与声强I的函数关系式为:L=10lg(aI),已知I=1013W/m2时,L=10dB.若要将
某列车的声强级降低30dB,则该列车的声强应变为原声强的()A.10-5B.10-4C.10-3D.10-22.[2021南
京学情调研][5G]5G时代已经到来,5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展,进而对GDP增长产生直
接贡献,并通过产业间的关联效应和波及效应,间接带动国民经济各行业的发展,创造出更多的经济价值.如图2-1所示的统计图是某单位结合近
几年的数据,对今后几年的5G直接经济产出做出的预测.则以下结论错误的是()A.运营商的5G直接经济产出逐年增加B.设备制造商的5
G直接经济产出前期增长较快,后期放缓C.设备制造商在各年的5G直接经济产出中一直处于领先地位D.信息服务商与运营商的5G直接经济产
出的差距有逐步拉大的趋势3.[第七次全国人口普查]中国在2020年11月1日零时开始开展第七次全国人口普查,甲、乙等6名志愿者参
加4个不同社区的人口普查工作,要求每个社区至少安排1名志愿者,1名志愿者只去一个社区,且甲、乙不在同一社区,则不同的安排方法共有(
)A.1240种B.1320种C.1248种D.1224种4.[新型冠状病毒疫苗研发]新冠肺炎疫情发生后,我国加紧研发新
型冠状病毒疫苗,某医药研究所成立疫苗研发项目,组建甲、乙两个疫苗研发小组,且两个小组独立开展研发工作.已知甲小组研发成功的概率为,
乙小组研发成功的概率为.该研发项目的奖金为100万元,分配方案是:若只有某一小组研发成功,则该小组获得全部奖金;若两个小组都研发成
功,则平分全部奖金;若两个小组均未研发成功,则均不获得奖金.则以下说法错误的是()A.该研究所疫苗研发成功的概率为B.乙小组获得
全部奖金的概率为C.在疫苗研发成功的情况下,是由甲小组研发成功的概率为D.甲小组获得奖金的期望值为60万元5.[2021长沙长郡中
学模拟][生态环保]总书记深刻指出,倡导环保意识、生态意识,构建全社会共同参与的环境治理体系,让生态环保思想成为社会生活中的主流文
化.为使排放的废气中含有的污染物量减少,某化工企业探索改良工艺,已知改良前所排放的废气中含有的污染物量为2mg/cm3,首次改良
后所排放的废气中含有的污染物量为1.94mg/cm3.设改良前所排放的废气中含有的污染物量为r0(单位:mg/cm3),首次改良
后所排放的废气中含有的污染物量为r1(单位:mg/cm3),则第n次改良后所排放的废气中的污染物量rn(单位:mg/cm3)满足函
数模型rn=r0-(r0-r1)×50.5n+p(p∈R,n∈N).(1)rn=.?(2)依据当地环保要求,企业所排放的废气中
含有的污染物量不能超过0.08mg/cm3.则至少进行次改良才能使该企业所排放的废气中含有的污染物量达标.(参考数据:lg2
≈0.3)?图2-26.[2021河北六校第一次联考][西气东输工程]我国的西气东输工程把西部的资源优势变为经济优势,实现了气能源
需求与供给的东西部衔接,工程建设也加快了西部及沿线地区的经济发展.输气管道工程建设中,某段管道铺设要经过一处峡谷,峡谷内恰好有一处
直角拐角,水平横向移动输气管经过此拐角,从宽为27米峡谷拐入宽为8米的峡谷.如图2-2所示,位于峡谷悬崖壁上两点E,F的连线恰好经
过拐角内侧顶点O(点E,O,F在同一水平面内),设EF与较宽侧峡谷悬崖壁所成角为θ,要使输气管顺利通过拐角,则其长度不能超过米.
?7.[高斯算法]德国数学家高斯在年幼时进行的1+2+3+…+100的求和运算中体现了“倒序相加”的原理,该原理基于所给数据前后对
应项的和呈现一定的规律而产生,此方法也称为高斯算法.现有函数f(x)=(m>0),则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(m+2
018)等于()A.B.C.D.图2-38.[割圆术]刘徽(约公元225年—295年)是魏晋期间伟大的数学家,是中国古典数学理论
的奠基人之一.他提出的“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”(即割圆术)蕴含了极限思想.割圆术的核
心思想是将一个圆的内接正n边形等分成n个等腰三角形(图2-3为n=9时的情形),当n变得很大时,这n个等腰三角形的面积之和近似等于
圆的面积.运用割圆术的思想,得到sIn2°的近似值为()A.B.C.D.9.[2021济南名校联考][鳖臑]在《九章算术》中
,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑,在鳖臑A-BCD中,AB⊥平面BCD,BC⊥CD,且AB=BC=CD,M为AD的中点,则
异面直线BM与CD夹角的余弦值为()A.B.C.D.图2-410.[2021江西红色七校第一次联考][数学名著]《九章算术》是我
国古代著名的数学经典,书中对勾股定理的论述,比西方早一千多年,其中有这样一个问题:“今有圆材埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,
锯道长一尺.问径几何?”其意为:今有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知其大小,用锯去锯该木材,锯口深1寸,锯道长1尺,问这块圆柱形木材
的直径是多少?长为0.5丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中,截面图如图2-4所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分).已知弦AB=1尺,弓
形高CD=1寸,估算该木材镶嵌在墙内部分的体积为立方寸.(注:一丈=10尺=100寸,π≈3.14,sIn22.5°≈,答案四
舍五入,只取整数)?11.[生活实践]在边长为30米的正六边形广场正上空悬挂一个照明光源,已知这个光源发出的光线(可视为圆锥)过旋
转轴的截面是一个等腰直角三角形,要使整个广场都照明,光源悬挂的高度至少为()A.30米B.20米C.15米D.15米12.[食
物链]食物链亦称“营养链”,是指生态系统中各种生物为维持其本身的生命活动,必须以其他生物为食物的这种由食物联结起来的链锁关系.这种
摄食关系,实际上是太阳能从一种生物转到另一种生物的关系,也即物质能量通过食物链的方式流动和转换.如图2-5为某个生态环境中的食物链
,若从鹰、麻雀、兔、田鼠以及蝗虫中任意选取两种,则这两种生物恰好构成摄食关系的概率为()图2-5A.B.C.D.13.[2021
湖南长郡中学期中][数学建模]苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑,“门”的造型是东方之门的立意基础,“门”的内
侧曲线呈抛物线型,如图2-6(1),两栋建筑第八层由一条长60m的连桥连接,在该抛物线两侧距连桥150m处各有一窗户,两窗户的
水平距离为30m,如图2-6(2),则此抛物线顶端O到连桥AB的距离为()A.180mB.200mC.220mD.240
m14.[2021湖北十一校联考][解三角形模型]为了增强数学的应用性,强化学生的理解,某学校开展了一次户外探究.当地有一座山,
高度为OT,同学们先在地面选择一点A,在该点处测得这座山在西偏北21.7°方向,且山顶T处的仰角为30°;然后从A处向正西方向走1
40米后到达地面B处,测得该山在西偏北81.7°方向,山顶T处的仰角为60°.同学们建立了如图2-7所示模型,则山高OT为()图
2-7A.20米B.25米C.20米D.25米15.[青花瓷]青花瓷,中华陶瓷烧制工艺的珍品,是中国瓷器的主流品种之一.如图是一个
落地青花瓷,其外形称为单叶双曲面,且它的外形上下对称,可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.若该花瓶的最小直径为16c
m,瓶口直径为20cm,瓶高20cm,则该双曲线的离心率为.?答案主题二情境创新之数学应用1.C已知I=1013W/
m2时,L=10dB,所以10=10lg(a×1013),解得a=10-12.故L=10lg(10-12×I)=10(-12+l
gI),由已知,设该列车声强级降低前后的声强级分别为L1,L2,声强分别为I1,I2,则L2-L1=10(-12+lgI1)-
10(-12+lgI2)=10(lgI1-lgI2)=10lg=30,所以lg=3,解得=10-3.故选C.2.C根据已知统
计图,观察白色矩形,可得运营商的5G直接经济产出逐年增加,A正确.观察黑色矩形和灰色矩形,可得设备制造商的5G直接经济产出前期增长
较快,后期放缓,到2029年被信息服务商超过,B正确,C错误.观察灰色矩形和白色矩形,可得信息服务商与运营商的5G直接经济产出的差
距有逐步拉大的趋势,D正确.故选C.3.B解法一先安排除甲、乙以外的4名志愿者,再安排甲、乙2人,共有四种情况:①除甲、乙以外
的4名志愿者去不同的社区,有=288种安排方法;②除甲、乙以外的4名志愿者中2人去同一个社区,剩余2人去不同的社区,甲、乙2人中1
人去剩下的1个社区,1人去其余志愿者所去的3个社区中的一个,有=864种安排方法;③除甲、乙以外的4名志愿者中2人去同一个社区,剩
余2人也去同一个社区,甲、乙2人去剩下的2个社区,有=72种安排方法;④除甲、乙以外的4名志愿者中3人去同一个社区,另外1人和甲、
乙去剩下的3个社区,有=96种安排方法.故不同的安排方法共有288+864+72+96=1320(种).解法二先把6名志愿者分
成4组,有=65种方法,再将4组志愿者分到4个社区,有=24种方法,所以共有65×24=1560种安排方法.若甲、乙去同一个社区
,有()=240种安排方法,因此满足题意的不同安排方法共有1560-240=1320(种).故选B.4.D由题,当甲、乙两个
小组至少有一个小组研发成功时,该研究所疫苗研发成功,其概率为1-(1-)×(1-)=,故A选项正确;乙小组获得全部奖金,即甲小组没
有研发成功,而乙小组研发成功,概率为(1-)×,故B选项正确;设事件A为“疫苗研发成功”,事件B为“甲小组研发成功”,则P(B|A
)=,故C选项正确;设甲小组获得的奖金数为ξ(单位:万元),则ξ的可能取值为0,50,100,且P(ξ=100)=×(1-)=,P
(ξ=50)=,P(ξ=0)=,所以E(ξ)=100×+50×+0×=50,故D选项错误.故选D.5.(1)2-0.06×50.5
n-0.5(n∈N)由题意得r0=2,r1=1.94,所以当n=1时,r1=r0-(r0-r1)×50.5+p,即1.94=2
-(2-1.94)×50.5+p,解得p=-0.5.所以rn=2-0.06×50.5n-0.5(n∈N).(2)6由题意可得r
n=2-0.06×50.5n-0.5≤0.08,整理得50.5n-0.5≥,即50.5n-0.5≥32,可得n≥+1,由lg2≈
0.3,得n≥+1≈5.3,又n∈N,所以n≥6.故至少进行6次改良才能使该企业所排放的废气中含有的污染物量达标.6.13如图
D2-1所示,过点O分别作OA⊥AE于A,OB⊥BF于B,则∠OEA=∠BOF=θ,在Rt△OAE中,OA=27,则OE=,同理
可得OF=,所以EF=OE+OF=.图D2-1令f(θ)=(0<θ<),则f''(θ)=-,令f''(θ0)=0,得tan3θ0=,
得tanθ0=,由解得当0<θ<θ0时,f''(θ)<0;当θ0<θ<时,f''(θ)>0.则f(θ)min=f(θ0)==13,故
输气管的长度不能超过13米.7.A设x+y=m+2019,则f(x)+f(y)=.所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(m
+2018)={[f(1)+f(m+2018)]+[f(2)+f(m+2017)]+…+[f(m+2018)+f(1)]}
=×(m+2018)=.故选A.8.A将一个单位圆等分成180个扇形,则每个扇形的圆心角度数均为2°.因为这180个扇形对应的
等腰三角形的面积之和近似等于单位圆的面积,所以180××12×sin2°=90sin2°≈π,所以sin2°≈,所以选A.9
.A如图D2-2,取AC的中点为N,连接MN,BN,则MN∥CD且MN=CD,所以∠BMN即异面直线BM与CD的夹角或其补角.
因为AB⊥平面BCD,CD?平面BCD,所以AB⊥CD,又BC⊥CD,AB∩BC=B,所以CD⊥平面ABC,所以MN⊥平面ABC
,所以MN⊥BN.设AB=BC=CD=2,则MN=1,BN=,BM=,在Rt△BMN中,cos∠BMN=,所以异面直线BM与CD夹
角的余弦值为.图D2-210.317如图D2-3,连接OA,OB,由题意可知,AB=10寸,OA=OC,D为弦AB的中点,所
以在Rt△AOD中,OA2=OD2+AD2=(OC-1)2+()2,解得OA=13寸,则sin∠DOA=,所以∠DOA≈22.5°
,所以∠BOA≈45°,又S扇形AOB≈×π×132≈66.33(平方寸),S△AOB=×10×(13-1)=60(平方寸),所以
弓形面积S=S扇形AOB-S△AOB≈66.33-60=6.33(平方寸),所以该木材镶嵌在墙内部分的体积为6.33×50=316
.5≈317(立方寸).图D2-311.A设正六边形广场为ABCDEF,光源悬挂的最低点为P,则正六棱锥P-ABCDEF的底面
边长为30米,高即所求,由题意可知△APD为等腰直角三角形,∠APD=90°,AD=60米,所以正六棱锥的高为AD的一半,即30米
,故选A.12.B由题,从鹰、麻雀、兔、田鼠以及蝗虫中任选两种生物,不同的选法为=10(种),其中恰好构成摄食关系的有鹰与田鼠、
鹰与兔、鹰与麻雀、麻雀与蝗虫,共4种.所以所求事件的概率P=.13.B建系如图D2-4,设抛物线方程为x2=-2py(p>0)
,由题意设D(15,h),B(30,h-150),则解得h=-50,p=2.25.所以此抛物线顶端O到连桥AB的距离为50+150=200(m).故选B.图D2-414.C设山高OT为h米,在Rt△AOT中,∠TAO=30°,AO=h(米),在Rt△BOT中,∠TBO=60°,BO=h(米),在△AOB中,∠AOB=81.7°-21.7°=60°,由余弦定理得,AB2=AO2+BO2-2·AO·BO·cos60°,即1402=3h2+h2-2×h×h×,化简得h2=×1402,又h>0,所以解得h=140×=20,即山高OT为20米.15.以花瓶最细处所在直线为x轴,花瓶的竖直对称轴为y轴,建立如图D2-5所示的平面直角坐标系,设双曲线的方程为=1(a>0,b>0).由题意可知a=8,图中的A点坐标为(10,10).将a=8,(10,10)代入双曲线方程,可得b=,所以,所以e=,故离心率为.图D2-5第8页共8页 |
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