数列通项公式的求法
1．等差数列的通项公式
(1)若等差数列的首项为a1，公差为d，则其通项an＝.
(2)等差数列通项公式的推广：在等差数列{an}中，已知a1，d，am，an(m≠n)，则d＝＝，从而有an＝am＋.
(3){an}的公差为d，则d>0{an}为递增数列；d<0{an}为递减数列；d＝0{an}为常数列．
2．等比数列的通项公式
(1)首项为a1，公比为q，则an＝.
(2)推广形式：an＝或am＝3．常用结论
(1)若{an}是等差数列，k∈N，则{kan}也是等差数列．
(2)若{bn}是等差数列，公差为D，{an}为等差数列，公差为d，则{an±bn}仍为等差数列，其公差为d±D.
(3)若{an}、{bn}为等比数列，则{λan}(λ≠0)、{|an|}、、{a}、{manbn}(m≠0)仍为等差数列．
(4){an}是等差数列{(cn)a}(c>0，c≠1)是等比数列．
{an}是正项等比数列{logcan}(c>0，c≠1)是等差数列．
{an}既是等差数列又是等比数列{an}是各项不为零的常数列．
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果数列{an}的通项公式an＝3n＋2，则数列{an}是递增数列．()
(2)数列{an}的前n项和为Sn＝n2－1，则其通项公式为an＝Sn－Sn－1＝2n－1.()
(3)若已知数列{an}的递推公式为an＋1＝，且a2＝1，则可以写出数列{an}的任何一项．()
(4)若三个数成等比数列，那么这三个数可以设为，a，aq(a≠0)．()
(5)指数函数f(x)＝2x图象上一系列点的横坐标构成数列{xn}，对应的纵坐标构成数列{yn}．若数列{xn}是等差数列，则数列{yn}是等比数列．()
(6)数列1,0,1,0,1,0，…的通项公式只能是an＝.()
1．数列1，，，，，…的一个通项公式是an＝__________.w2．已知数列{an}的通项公式为an＝，若am＝3－2，则m＝________.
3．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N)，则an＝____________.
4．数列{an}是公差不为零的等差数列，且a7，a10，a15是等比数列{bn}的连续三项，若该等比数列的首项b1＝3，则bn＝________.
5．数列{an}的前20项由如图所示的流程图依次输出的a值构成，则数列{an}的一个通项公式an＝________(n∈N，n≤20)．
题型一利用观察法求通项公式
例1写出下列数列的一个通项公式：
(1)2，，，，，…；
(2)，，，，2，…；
(3)1,3,3,5,5,7,7,9,9，….
(1)－1，，－，，…；
(2)，3，，，3，…；
(3)1－，－，－，－，…；
(4)3,5,3,5，….
题型二利用递推关系式求an
命题点1利用迭加法求an
例2已知数列{an}满足a1＝1，an＝3n－1＋an－1(n≥2)．求{an}的通项公式an.
命题点2利用迭乘法求an
例3在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an，求数列{an}的通项公式an.
命题点3利用构造法求an
例4数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1－an＋2.
(1)设bn＝an＋1－an，证明{bn}是等差数列；
(2)求{an}的通项公式．
(1)数列{an}中，a1＝2，an＋1－an＝3n(n∈N)，则数列的通项公式为________________．
(2)在数列{an}中，已知a1＝4，an＋1＝5nan，求an.
(3)在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，求其通项公式an.
题型三利用an＝求an
例5设Sn为数列{an}的前n项的和，且Sn＝(an－1)(n∈N)，求数列{an}的通项公式．
已知：数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2an－2n(n∈N)．
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)若数列{bn}满足bn＝log2(an＋2)，而Tn为数列的前n项和，求Tn.
用函数的思想解决数列问题典例(14分)数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋4.
(1)若k＝－5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值；
(2)若对于任意n∈N，都有an＋1>an，求实数k的取值范围．
思维点拨(1)求使an<0的n值；从二次函数看an的最小值．(2)数列是一类特殊函数，通项公式可以看作相应的解析式f(n)＝n2＋kn＋4.f(n)在N上单调递增，可利用二次函数的对称轴研究单调性，但应注意数列通项中n的取值．
规范解答
解(1)由n2－5n＋4<0，解得1
∴数列中有两项是负数，即为a2，a3.
∵an＝n2－5n＋4＝2－，由二次函数性质，得当n＝2或n＝3时，an有最小值，其最小值为a2＝a3＝－2.[8分]
(2)由an＋1>an知该数列是一个递增数列，又因为通项公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到n∈N，所以－<，即得k>－3.[14分]
温馨提醒(1)本题给出的数列通项公式可以看作是一个定义在正整数集N上的二次函数，因此可以利用二次函数的对称轴来研究其单调性，得到实数k的取值范围，使问题得到解决．(2)在利用二次函数的观点解决该题时，一定要注意二次函数对称轴位置的选取．(3)易错分析：本题易错答案为k>－2.原因是忽略了数列作为函数的特殊性，即自变量是正整数．
[方法与技巧]
1．若递推关系为an＋1＝an＋f(n)或an＋1＝f(n)·an，则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式，累加即利用恒等式bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)，通过求和求通项；累乘是利用恒等式an＝a1···…·求通项．
2．数列与函数、an与Sn的关系
(1)数列是一种特殊的函数，因此，在研究数列问题时，既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性．
(2)an＝
[失误与防范]
1．数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值，如数列an＝f(n)和函数y＝f(x)的单调性是不同的．
2．数列的通项公式不一定唯一．
3．在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成an＝Sn－Sn－1的形式，但它只适用于n≥2的情形．
A组专项基础训练
(时间：45分钟)
1．设数列，，2，，…，则2是这个数列的第________项．
2．设函数f(x)满足f(n＋1)＝(n∈N)，且f(1)＝2，则f(20)＝________.
3．如果数列{an}的前n项和Sn＝2an－1，则此数列的通项公式an＝________.
4．已知数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝3，an＋1－an＝＝3，n∈N，若数列{cn}满足cn＝ban，则c2015＝________.
5．已知每项均大于零的数列{an}中，首项a1＝1且前n项和Sn满足Sn－Sn－1＝2(n∈N且n≥2)，则a81＝________.
6．若a1＝1，an＋1＝，则{an}的通项公式an＝____________.
7．数列{an}的各项都为正数，且满足Sn＝(n∈N)，求数列的通项公式an.
8．设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.
9．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.
(1)设bn＝.证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
B组专项能力提升
(时间：30分钟)
10．设数列{an}满足a1＝0且－＝1.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝，记Sn＝b1＋b2＋…＋bn，证明Sn<1.
11．在数列{an}中，a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)若λan＋≥λ对任意n>2(n∈N)恒成立，求实数λ的取值范围．12．已知函数f(x)＝，f(1)＝1，f＝，数列{xn}满足x1＝，xn＋1＝f(xn)．
(1)求x2，x3的值；
(2)求数列{xn}的通项公式；
(3)证明：＋＋…＋<.
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