初中数学解直角三角形与应用填空题专题训练含答案姓名：__________班级：__________考号：__________
一、解答题（共20题）
1、如图，一艘轮船离开港沿着东北方向直线航行海里到达处，然后改变航向，向正东方向航行20海里到达处，求的距离．
2、经过点和点．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）点为该抛物线上一点（不与点重合），直线将的面积分成2：1两部分，求点的坐标；
（3）点从点出发，以每秒1个单位的速度沿轴移动，运动时间为秒，当时，求的值．
3、A处看到B、C处各有一棵被湖水隔开的银杏树，他在A处测得B在北偏西45°方向，C在北偏东30°方向，他从A处走了20米到达B处，又在B处测得C在北偏东60°方向．
（1）求∠C的度数；
（2）求两颗银杏树B、C之间的距离（结果保留根号）．
4、B位于港口O正西方向120海里处，小岛C位于港口O北偏西60°的方向．一艘科学考察船从港口O出发，沿北偏西30°的OA方向以20海里/小时的速度驶离港口O．同时一艘快艇从港口B出发，沿北偏东30°的方向以60海里/小时的速度驶向小岛C，在小岛C用1小时装补给物资后，立即按原来的速度给考察船送去．
（1）快艇从港口B到小岛C需要多少时间？
（2）快艇从小岛C出发后最少需要多少时间才能和考察船相遇？
5、M的方向为北偏东75°，甲、乙两船同时出发向C处海岛运送物资．甲船从港口A处沿北偏东45°方向航行，其中乙船的平均速度为v．若两船同时到达C处海岛，求甲船的平均速度．（结果用v表示．参考数据：≈1.4，≈1.7）
6、AB与铁塔CD相距50m，在建筑物的顶部A处测得铁塔顶部C的仰角为28°、铁塔底部D的俯角为40°，求铁塔CD的高度．
（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.8，tan28°≈0.53，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
7、A到B修建一条隧道，测量员在直线AB的同一侧选定C，D两个观测点，如图，测得AC长为，CD长为，BD长为，，（A、B、C、D在同一水平面内）．
（1）求A、D两点之间的距离：
（2）求隧道AB的长度．
8、50km/h，在离道路70m的点处建一个监测点，道路的段为监测区（如图）在中，已知，．一辆车通过段的时间为10秒，请判断该车是否超速，并说明理由．（参考数据：，，，，，）
9、，左岸边有一坡度的山坡，点与点在同一水平面上，与在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼的高度，在坡底处测得楼顶的仰角为，然后沿坡面上行了米到达点处，此时在处测得楼顶的仰角为，求楼的高度．
10、AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD＝140°，BD＝520m，∠D＝50°，那么另一边开挖点E离D多远正好使A，C，E三点在一直线上（结果保留小数点后一位，cos50°＝0.6428）？
11、月日，为我国载人空间站工程研制的长征五号运较火箭在海南文昌首飞成功．运载火箭从地面处发射、当火箭到达点时，地面处的雷达站测得米，仰角为．3秒后，火箭直线上升到达点处，此时地面处的雷达站测得处的仰角为．已知两处相距米，求火箭从到处的平均速度（结果精确到米，参考数据：）
12、AB的高度，他在点C处测得大树顶端A的仰角为，再从C点出发沿斜坡走米到达斜坡上D点，在点D处测得树顶端A的仰角为，若斜坡CF的坡比为（点在同一水平线上）．
（1）求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度；
（2）求大树AB的高度（结果保留根号）．
13、A，B是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在C点处遇险发出求救信号，此时测得C点位于观测点A的北偏东45°方向上，同时位于观测点B的北偏西60°方向上，且测得C点与观测点A的距离为海里．
（1）求观测点B与C点之间的距离；
（2）有一艘救援船位于观测点B的正南方向且与观测点B相距30海里的D点处，在接到海轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为42海里/小时，求救援船到达C点需要的最少时间．
14、1.6米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角，在与点A相距3.5米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角（点A，D与N在一条直线上），求电池板离地面的高度的长．（结果精确到1米；参考数据：）
15、点测得点在点的北偏西方向，并由点向南偏西方向行走到达点测得点在点的北偏西方向，继续向正西方向行走后到达点，测得点在点的北偏东方向，求两点之间的距离．（结果保留，参数数据）
16、A处观测到山顶B的仰角为，山顶B在水中的倒影C的俯角为，此时无人机距水面的距离米，求点B到水面距离的高度．
（参考数据：，，，，，）
17、B处测得对岸边A处一棵大树位于北偏东60°方向，他以的速度沿着河岸向东步行后到达C处，此时测得大树位于北偏东45°方向，试计算此段河面的宽度（结果取整数，参考数据：）
18、A到B修建一条隧道，测量员在直线AB的同一侧选定C，D两个观测点，如图，测得AC长为，CD长为，BD长为，，（A、B、C、D在同一水平面内）．
（1）求A、D两点之间的距离：
（2）求隧道AB的长度．
19、如图，已知一次函数的图象经过，两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）求的值；
（3）求证：．
?
20、某数学兴趣小组，利用树影测量树高．已测出树AB的影长AC为9米，并测出此时太阳光线与地面成30°夹角。?
（1）求出树高AB；
（2）因水土流失，此时树AB沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线与地面夹角保持不变，试求树影的最大长度。
（计算结果精确到0.1米，参考数据：，）
============参考答案============
一、解答题
1、100
【分析】
延长交于点，解直角三角求得AD,再解直角三角形即可求解．
【详解】
延长交于点，则，
由题意可知，
∵，
∴
，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得
（海里）
答：的距离为100海里．
【点睛】
本题考查解直角三角形应用，勾股定理的应用，掌握锐角三角函数的定义与勾股定理性质是解题关键．
2、1）；（2）点（6，-8）；（3）当点从点出发，以每秒1个单位的速度沿轴正方向移动时，秒；沿CO方向在轴移动时，秒．
【分析】
（1）根据待定系数法将AB两点坐标代入函数解析式求解即可；
（2）在的AB边上找到将AB分成2：1两部分的点Q，此时CQ将的面积分成2：1两部分，求出直线CQ与抛物线交点坐标即是点P坐标；
（3）先利用图形在内构造，求出，在中由，，求出OM长即可解答，
【详解】
解：（1）由抛物线经过点和点，得：
，
解得：
即：条抛物线所对应的函数表达式为：；
（2）由（1）可知点C坐标为（0,4）
∵点和点．
∴，
∴将AB分成2：1两部分的点有原点和Q（2,0），此时CQ将的面积分成2：1两部分，如解（2）图，
∵点为该抛物线上一点（不与点重合），
∴直线CP经过Q点，
设直线CP解析式为：，经过C（0,4），Q（2,0）两点，得：
，
∴，
即可设直线CP解析式为：，
联立函数解析式为：，
解得：，，
故P点坐标为（6，-8），
（3）如解（3）图取点A关于y轴对称点，连接，过点作，垂足为H，
由轴对称性质可知：，，
∴，
∵，即，
∴
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
点从点出发，以每秒1个单位的速度远动：
当沿轴正方向移动时，，则秒，
当沿轴CO方向移动时，，则秒，
综上所述：当点从点出发，以每秒1个单位的速度沿轴正方向移动时，秒；沿CO方向在轴移动时，秒．
【点睛】
本题主要考查了二次函数与几何综合，问题（1）关键是在三角形边上找到将的面积分成2：1两部分直线CP经过的点，问题（3）关键是通过对称构造，再通过解三角形求解OM长．
3、1）30°；（2）（）米
【解析】
（1）作交于点，根据且，可得，利用外角的性质根据可求出结果
（2）过点B作BG⊥AD于G，则有，可得，，，可求得，再根据可得结果．
【详解】
解：（1）如图示，作交于点，
∵且
∴
∵且
∴
（2）过点B作BG⊥AD于G．
∵
∴
在中，，
在中，
∵
∴
∴
答：两颗银杏树B、C之间的距离为米
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，平行线的性质，外角的性质，能根据题意理清图形中各角的关系是解题的关键．
4、1）1小时；（2）1小时.
【详解】
试题分析：（1）要求B到C的时间，已知其速度，则只要求得BC的路程，再利用路程公式即可求得所需的时间．
（2）过C作CH⊥OA，垂足为H．设快艇从C岛出发后最少要经过x小时才能和考察船在OA上的D处相遇，则CD=60x，OD=20（x+2）．根据直角三角形的性质可解得x的值，从而求得快艇从小岛C出发后和考察船相遇的最短的时间．
试题解析：（1）由题意可知：∠CBO=60°，∠COB=30度．
∴∠BCO=90度．
在Rt△BCO中，
∵OB=120，
∴BC=60，OC=60．
∴快艇从港口B到小岛C的时间为：60÷60=1（小时）．
（2）设快艇从C岛出发后最少要经过x小时才能和考察船在OA上的D处相遇，则CD=60x．
过点D作DE⊥CO于点E，
∵考察船与快艇是同时出发，
∵快艇从港口B到小岛C的时间是1小时，在小岛C用1小时装补给物资，
∴考察船从O到D行驶了（x+2）小时，
∴OD=20（x+2）．
过C作CH⊥OA，垂足为H，
在△OHC中，
∵∠COH=30°，OB=120，
∴CO=60，
∴CH=30，OH=90．
∴DH=OH-OD=90-20（x+2）=50-20x．
在Rt△CHD中，CH2+DH2=CD2，
∴（30）2+（50-20x）2=（60x）2．
整理得：8x2+5x-13=0．
解得：x1=1，x2=-．
∵x＞0，
∴x=1．
答：快艇从小岛C出发后最少需要1小时才能和考察船相遇．
考点：解直角三角形的应用-方向角问题．
5、1.4v
过点C作AM的垂线，构造直角三角形，可得△ACD是含有30°角的直角三角形，△BCD是含有45°角的直角三角形，设辅助未知数，表示AC，BC，再根据时间相等即可求出甲船的速度．
【详解】
解：过点C作CD⊥AM，垂足为D，由题意得，∠CAD=75°-45°=30°，∠CBD=75°-30°=45°，设CD=a，则BD=a，BC=a，AC=2CD=2a，∵两船同时到达C处海岛，∴t甲=t乙，即，∴，∴V甲=≈1.4v．
【点睛】
本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，作垂线构造直角三角形是解决问题的关键．
6、68.5m
过A作AE⊥CD，垂足为E．分别在Rt△AEC和Rt△AED中，由锐角三角函数定义求出CE和DE的长，然后相加即可．
【详解】
解：如图，过A作AE⊥CD，垂足为E．
则AE＝50m，
在Rt△AEC中，CE＝AE?tan28°≈50×0.53＝26.5（m），
在Rt△AED中，DE＝AE?tan40°≈50×0.84＝42（m），
∴CD＝CE＋DE≈26.5＋42＝68.5（m）．
答：铁塔CD的高度约为68.5m．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，求出CE、DE的长是解题的关键．
7、1）；（2）3km
【分析】
（1）过点A作，垂足为E，在中，可利用特殊角的三角函数值和已知分别求出AE，CE及DE，则可由勾股定理求得A、D两点之间的距离；
（2）利用（1）中所求结果，可判断出△ADE是等腰直角三角形，结合已知角度可推出△ABD是直角三角形，即可由勾股定理求得隧道AB的长度．
【详解】
解：（1）如图，过点A作，垂足为E，
．
在中，，，，
．
，
．
，
．
在中，，
．
A、D两点之间的距离为．
（2），，
∴△ADE是等腰直角三角形，
，
，
，
是直角三角形．
在中，，，
．
隧道AB的长度为．
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握特殊角的三角函数值并正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
8、
【分析】
过点作于，解直角三角形分别求出，进一步求出，然后可求出实际车速便可判断出结果．
【详解】
解：没有超速，理由如下：
过点作于，则（m），
在中，，
在中，
，
该车没有超速．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，属于实际应用类题目，从复杂的实际问题中整理出直角三角形是解决此类问题的关键．
9、的高度为米．
【分析】
由，，解得，，过点作于，过点作于，则四边形、四边形、四边形都是矩形，证得，设，则，，在中，，代入即可得出结果．
【详解】
在中，∵，，，
∴，
解得：，
∴，
如图：过点作于，过点作于，
∴四边形、四边形、四边形都是矩形，
∴BG=CH=DE=20，DG=BE，
∵，，
∴，
设，则，，
在中，tan∠ADG=tan30°==，
∴，
解得：．
答：楼的高度为米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，通过解直角三角形得出方程是解题的关键．
10、334.3
【分析】
先判断出BED的形状，再根据锐角三角函数的定义进行解答即可．
【详解】
解：∵∠ABD＝140°，
∴∠DBE＝180°﹣140°＝40°，
又∵∠D＝50°，
∴∠E＝180°﹣∠DBE﹣∠D
＝180°﹣40°﹣50°
＝90°，
∴RtBED中，cosD＝，
∴cos50°＝＝0.6428，
解得：DE＝334.3m．
答：另一边开挖点E离D334.3米正好使A，C，E三点在一直线上．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形在实际生活中的运用，涉及到三角形内角和定理及锐角三角函数的定义，熟知以上知识是解答此题的关键．
11、A到B处的平均速度为335米/秒．
【分析】
设火箭从A到B处的平均速度为x米/秒，根据题意可得AB=3x，在Rt△ADO中，∠ADO=30°，AD=4000，可得AO=2000，DO=2000，在Rt△BOC中，∠BCO=45°，可得BO=OC，即可得2000+3x=2000-460，进而解得x的值．
【详解】
解：设火箭从A到B处的平均速度为x米/秒，根据题意可知：
AB=3x，
在Rt△ADO中，∠ADO=30°，AD=4000，
∴AO=2000，
∴DO=2000，
∵CD=460，
∴OC=OD-CD=2000-460，
在Rt△BOC中，∠BCO=45°，
∴BO=OC，
∵OB=OA+AB=2000+3x，
∴2000+3x=2000-460，
解得x≈335（米/秒）．
答：火箭从A到B处的平均速度为335米/秒．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．
12、1）2米；（2）米
【分析】
（1）作DH⊥CE于H，解Rt△CDH，即可求出DH；
（2）延长AD交CE于点G，解Rt△GDH、Rt△CDH，求出GH、CH，得到GC，再说明AB=BC，在△ABG中，利用正切的定义求出AB即可．
【详解】
解：（1）过D作DH⊥CE于H，如图所示：
在Rt△CDH中，，
∴CH=3DH，
∵CH2+DH2=CD2，
∴（3DH）2+DH2=（）2，
解得：DH=2或-2（舍），
∴王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度为2米；
（2）延长AD交CE于点G，设AB=x米，
由题意得，∠AGC=30°，
∴GH===，
∵CH=3DH=6，
∴GC=GH+CH=+6，
在Rt△BAC中，∠ACB=45°，
∴AB=BC，
∴tan∠AGB=，
解得：AB=，
即大树AB的高度为米．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念是解题的关键．
13、1）观测点B与C点之间的距离为50海里；（2）救援船到达C点需要的最少时间为小时．
【分析】
（1）过C作CE⊥AB于E，分别在Rt△ACE和Rt△BCE中，解直角三角形即可求解；
（2）过C作CF⊥BD，交DB延长线于F，求得四边形BFCE为矩形，在Rt△CDF中，利用勾股定理即可求解．
【详解】
（1）过C作CE⊥AB于E，
由题意得：∠CAE=45°，∠CBE=90°-60°=30°，AC=25，
在Rt△ACE中，
AE=CE=AC=25=25(海里)，
在Rt△BCE中，
BC=2CE=50(海里)，BE==25(海里)，
∴观测点B与C点之间的距离为50海里；
（2）过C作CF⊥BD，交DB延长线于F，
∵CE⊥AB，CF⊥BD，∠FBE=90°，
∴四边形BFCE为矩形，
∴CF=BE=25(海里)，BF=CE=25(海里)，
在Rt△CDF中，CF=25(海里)，DF=55(海里)，
∴CD=70(海里)，
救援船到达C点需要的最少时间为(小时)．
．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
14、8
【分析】
过E作EF⊥MN于F，连接EB，设MF=x米，可证四边形FNDE，四边形FNAB均是矩形，设MF=EF=x，可求FB=x+3.5，由tan∠MBF=，解得米，可求MN=MF+FN=6.5+1.6≈8米．
【详解】
解：过E作EF⊥MN于F，连接EB，设MF=x米，
∵∠EFN=∠FND=∠EDN=∠A=90°，
∴四边形FNDE，四边形FNAB均是矩形，
∴FN=ED=AB=1.6米，AD=BE=3.5米，
∵∠MEF=45°，∠EFM=90°，
∴MF=EF=x,
∴FB=FE+EB=x+3.5，
∴tan∠MBF=，
∴解得米，
经检验米符合题意，
∴MN=MF+FN=6.5+1.6=8.1≈8米．
【点睛】
本题考查矩形判定与性质，锐角三角函数，简单方程，掌握矩形判定与性质，锐角三角函数，简单方程是解题关键．
15、km
根据题中给出的角度证明△CDB为等腰三角形，得到CB=DB=2，再证明△CBA为30°，60°，90°直角三角形，最后根据即可求出AC的长．
【详解】
解：如下图所示，
由题意可知：∠EAC=75°，∠FAB=∠NBA=45°，∠CBN=45°，DB=2km，∠MDC=22.5°，
在△BCD中，∠CDB=90°-∠MDC=90°-22.5°=67.5°，
∠CBD=90°-∠CBN=90°-45°=45°，
∠DCB=180°-∠CDB-∠CBD=180°-67.5°-45°=67.5°，
∴∠DCB=∠CDB，△CDB为等腰三角形，
∴CB=DB=2，
在△CBA中，∠CBA=∠CBN+∠NBA=45°+45°=90°，
∴△CBA为直角三角形，
又∠CAB=∠CAG+∠GAB=(90°-∠EAC)+∠GAB=(90°-75°)+45°=60°，
∴△CBA为30°，60°，90°直角三角形，
∴，代入，
∴(km)，
故两点之间的距离为km．
【点睛】
本题考查了三角函数解直角三角形，读懂题意，将题中信息转化成已知条件，本题中得出△CDB为等腰三角形是解题的关键．
16、110
过点A作交于点H，由题意可得：，设，在中，，在中，，进而可根据，求出x的值，即为BM的值
【详解】
过点A作交于点H，由题意可得：
设，则
∵
∴
∴在中，
∵
∴
∴在中，
∴
解得
即
【点睛】
本题主要考查了锐角三角形的实际运用，熟练掌握锐角三角形的相关知识点并列出等量关系式是解题的关键，属于常考题型．
17、82m
作AD⊥BC于D，根据题意证明AD=CD，设AD=CD=xm，则m，根据题意列出方程，解方程即可求解．
【详解】
解：如图，作AD⊥BC于D，
由题意得∠EBA=∠DAB=60°，∠FCA=∠DAC=45°，
∴AD=CD，
设AD=CD=xm，由题意得BC=1.5×40=60m，
在Rt△ABD中，m，
∴，
解得
答：此河段的宽度为82m．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，根据题意，添加辅助线构造直角三角形，利用三角函数表示出线段，列出方程是解题关键．
18、1）；（2）3km
【分析】
（1）过点A作，垂足为E，在中，可利用特殊角的三角函数值和已知分别求出AE，CE及DE，则可由勾股定理求得A、D两点之间的距离；
（2）利用（1）中所求结果，可判断出△ADE是等腰直角三角形，结合已知角度可推出△ABD是直角三角形，即可由勾股定理求得隧道AB的长度．
【详解】
解：（1）如图，过点A作，垂足为E，
．
在中，，，，
．
，
．
，
．
在中，，
．
A、D两点之间的距离为．
（2），，
∴△ADE是等腰直角三角形，
，
，
，
是直角三角形．
在中，，，
．
隧道AB的长度为．
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握特殊角的三角函数值并正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
19、（1）由，解得，所以………………4分
（2），．
在△OCD中，，，
∴．……………………8分
（3）取点A关于原点的对称点，
则问题转化为求证．
由勾股定理可得，
，，，
∵，
∴△EOB是等腰直角三角形．
∴．
∴．……………………12分
20、解：（1）在Rt△ABC中，∠BAC=90，∠C=30°
∵???
∴??
（2）以点A为圆心，以AB为半径作圆弧，当太阳光线与圆弧相切时树影最长，点D为切点，DE⊥AD交AC于E点，（如图）
在Rt△ADE中，∠ADE=90°，∠E=30°，
∴AE=2AD=2×5.2=10.4（米）????
答：树高AB约为5.2米，树影有最长值，最长值约为10.4米．
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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