初中数学锐角三角形函数简答题专题训练含答案姓名：__________班级：__________考号：__________
一、解答题（共15题）
1、（1）计算：2sin60°—cos45°+3tan30°
（2）如图，∠ABD=∠BCD=90°，DB平分∠ADC，求证：
2、与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ．当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由．
（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且．在y轴上是否存在点F，使得为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
3、如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角的邻边与对边的比叫做角的余切，记作ctan,即ctan=，根据上述角的余切定义，解下列问题：
（1）ctan30?=????；
（2）如图，已知tanA=，其中∠A为锐角，试求ctanA的值．
?
4、如图，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，点B，C，D在一条直线上，点M是AE的中点，BC=3，CD=1.
(1)求证tan∠AEC=;
(2)请探究BM与DM的关系，并给出证明.
?
5、如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若⊙O的半径，，请你求出的值.
?
6、已知，△ABC，按如下步骤作图：（1）以A为圆心，AC长为半径画弧；
（2）以B为圆心，BC长为半径画弧，与前一条弧相交于点D，
（3）连接CD.若AC=6，CD=8，则sin∠CAB=????．
7、小鹏学完解直角三角形知识后，给同桌小艳出了一道题：“如图所示，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知α=36°，求长方形卡片的周长．”请你帮小艳解答这道题．（精确到1mm）（参考数据：sin36°≈0.60，cos36°≈0.80，tan36°≈0.75）
8、如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE=DF，连接EF．
（1）求证：AC⊥EF；
（2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O，若BD=4，tanG=，求AO的长．
9、如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边AB在x轴上，点B坐标（﹣3，0），点C在y轴正半轴上，且sin∠CBO=，点P从原点O出发，以每秒一个单位长度的速度沿x轴正方向移动，移动时间为t（0≤t≤5）秒，过点P作平行于y轴的直线l，直线l扫过四边形OCDA的面积为S．
（1）求点D坐标．
（2）求S关于t的函数关系式．
（3）在直线l移动过程中，l上是否存在一点Q，使以B、C、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
10、???如图，在△ABC中，AB=AC，CD是AB边上的中线，延长AB至点E，使BE=AB，
连接CE.请你探究：
（1）当∠BAC为直角时，直接写出线段CE与CD之间的数量关系；
（2）当∠BAC为锐角或钝角时，（1）中的上述数量关系是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。
11、如图，九（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度，标杆与旗杆的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆的水平距离，人的眼睛E、标杆顶点C和旗杆顶点A在同一直线，求旗杆的高度．
12、由于保管不慎，小明把一道数学题染上了污渍，变成了“如图，在△ABC中∠A=30°，tanB=，AC=，求AB的长”．这时小明去翻看了标准答案，显示AB=10．你能否帮助小明通过计算说明污渍部分的内容是什么？
13、如图，已知在平而直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别是A（0,2）,B(-3,-2）,C(-2,-4).
（1）将△ABC向右平移4个单位长度后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1;
（2）画出△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2;
（3）连接OA2,求的值.
14、如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙0经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED=45°，
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若⊙O的半径为3，AE=5，求∠ADE的正弦值．
15、某段笔直的限速公路上，规定汽车的最高行驶速度不能超过60km/h（即m/s），交通管理部门在离该公路100m处设置了一速度检测点A，在如图所示的坐标系中，A位于y轴上，测速路段BC在x轴上，点B在A的北偏西60°方向上，点C在点A的北偏东45°方向上．
（1）在图中直接标出表示60°和45°的角；
（2）写出点B、点C坐标；
（3）一辆汽车从点B匀速行驶到点C所用时间为15s．请你通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速？（本小问中取1.7）
============参考答案============
一、解答题
1、(1)2）答案见详解
【分析】
（1）将特殊角的函数值代入求得式子的值即可；
（2）通过证明△ABD∽△BCD，可得，可得结论．
【详解】
解：（1）原式＝23
1
＝；
（2）证明：∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB，且∠ABD＝∠BCD＝90°，
∴△ABD∽△BCD
∴
∴BD2＝AD?CD
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质及特殊角的函数值的知识，属于中考常考题型．
2、1）；（2）四边形OCPQ是平行四边形，理由见详解；（3）（0，）或（0，1）或（0，-1）
【分析】
（1）设抛物线，根据待定系数法，即可求解；
（2）先求出直线BC的解析式为：y=-x+4，设P（x，-x+4），则Q（x，），（0≤x≤4），得到PQ=，从而求出线段PQ长度最大值，进而即可得到结论；
（3）过点Q作QM⊥y轴，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，交于点N，推出，从而得，进而求出E（5，4），设F（0，y），分三种情况讨论，即可求解．
【详解】
解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线，
∴B（4，0），C（0，4），
设抛物线，把C（0，4）代入得：，解得：a=1，
∴抛物线的解析式为：；
（2）∵B（4，0），C（0，4），
∴直线BC的解析式为：y=-x+4，
设P（x，-x+4），则Q（x，），（0≤x≤4），
∴PQ=-x+4-()==，
∴当x=2时，线段PQ长度最大=4，
∴此时，PQ=CO，
又∵PQ∥CO，
∴四边形OCPQ是平行四边形；
（3）过点Q作QM⊥y轴，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，交于点N，
由（2）得：Q（2，-2），
∵D是OC的中点，
∴D（0，2），
∵QN∥y轴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，即：，
设E（x，），则，解得：，（舍去），
∴E（5，4），
设F（0，y），则，
，，
①当BF=EF时，，解得：，
②当BF=BE时，，解得：或，
③当EF=BE时，，无解，
综上所述：点F的坐标为：（0，）或（0，1）或（0，-1）．
．
【点睛】
本题主要考查二次函数与平面几何的综合，掌握二次函数的性质以及图像上点的坐标特征，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．
3、解：(1)?…………………….5分
（2）,
∴……………..10分
4、?(1)3
(1)BM⊥DM;BM=DM
5、答案：∵AD是⊙O的直径，，∴∠ACD=90°，AD=3，
∵AC=2，∴，∴，
∵∠B和∠D是同弧所对的圆周角，∴∠B=∠D，
∴
6、???
7、?
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
【分析】求ABCD的周长就是求AB和AD的长，可分别过B、D作垂线垂直于l，通过构造直角三角形根据α=36°和ABCD的四个顶点恰好在横格线且每个横格宽12mm等条件来求出AB、AD的长．
【解答】解：作BE⊥l于点E，DF⊥l于点F．
∵α+∠DAF=180°﹣∠BAD=180°﹣90°=90°，
∠ADF+∠DAF=90°，
∴∠ADF=α=36°．
根据题意，得BE=24mm，DF=48mm．
在Rt△ABE中，sin，
∴AB==40（mm）．
在Rt△ADF中，cos∠ADF=，
∴AD==60（mm）．
∴矩形ABCD的周长=2（40+60）=200（mm）．
【点评】通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中解决．
8、（1）证明见解析；（2）AO=1．
【分析】
（1）由菱形的性质得出AB=AD，AC平分∠BAD，再根据等腰三角形的三线合一即可；
（2）根据菱形的性质和已知条件得出四边形EBDG为平行四边形，得出∠G=∠ABD，再根据tanG=即可求出AO的长．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD为菱形?∴AB=AD，AC平分∠BAD
∵BE=DF，∴?，∴AE=AF
∴△AEF是等腰三角形，∵AC平分∠BAD，∴AC⊥EF
（2）解：如图2所示：
∵四边形ABCD为菱形，∴CG∥AB，BO=BD=2，∵EF∥BD
∴四边形EBDG为平行四边形，∴∠G=∠ABD，∴tan∠ABD=tan∠G=
∴tan∠ABD=，∴AO=1
【点睛】
本题考查了菱形的性质、平行线的判定与性质、解直角三角形，等腰三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
9、（1）D（5，4）；（2）见解析；（3）点Q坐标为（，）或（4，1）或（1，﹣3）．
【解析】
（1）在Rt△BOC中，OB=3，sin∠CBO=，设CO=4k，BC=5k，根据BC2=CO2+OB2，可得25k2=16k2+9，推出k=1或﹣1（舍弃），求出菱形的边长即可解决问题；
（2）①如图1中，当0≤t≤2时，直线l扫过的图象是四边形CCQP，S=4t；②如图2中，当2＜t≤5时，直线l扫过的图形是五边形OCQTA．分别求解即可解决问题；
（3）画出符合条件的图形，分三种情形分别求解即可解决问题；
【详解】
（1）在Rt△BOC中，OB=3，sin∠CBO=，设CO=4k，BC=5k，
∵BC2=CO2+OB2，
∴25k2=16k2+9，
∴k=1或﹣1（舍去），
BC=5，OC=4，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=BC=5，
∴D（5，4）；
（2）①如图1中，当0≤t≤2时，直线l扫过的图象是四边形CCQP，S=4t．
②如图2中，当2＜t≤5时，直线l扫过的图形是五边形OCQTA．
S=S梯形OCDA﹣S△DQT=×（2+5）×4﹣×（5﹣t）×（5﹣t）=﹣t2+t﹣，
∴；
（3）如图3中，①当QB=QC，∠BQC=90°，Q（，）；
②当BC=CQ′，∠BCQ′=90°时，Q′（4，1）；
③当BC=BQ″，∠CBQ″=90°时，Q″（1，﹣3）；
综上所述，满足条件的点Q坐标为（，）或（4，1）或（1，﹣3）．
【点睛】
本题考查四边形综合题、菱形的性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题．
10、?解：（1）CE=2CD；………………3分
（2）仍然成立.例如取AC中点M,连接BM.证法较多，略。
11、AB＝13.5m
12、解：作CH⊥AB于H，
Rt△ACH中，
CH=AC?sinA，
=4×sin30°，
=2，
AH=AC?cosA，
=4×cos30°，
=6，
∴BH=AB﹣AH=4，
∴tanB==，
∴污渍部分内容内为．
13、解：（1）△A1B1C1如图所示......................2分
（2）△A2B2C2如图所示.............................4分
（3）连接OC2，
∵OA22=OC22=22+42=20，A2C22=22+62=40，
∴OA22+OC22?=A2C22，
∴△OA2C2为等腰直角三角形，................................5分
∴∠OA2C2=45°,
∴sin∠OA2C2=?........................................6分
14、【解答】解：（1）CD与⊙O相切．
理由是：连接OD．
则∠AOD=2∠AED=2×45°=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠CDO=∠AOD=90°．
∴OD⊥CD，
∴CD与⊙O相切．
（2）连接BE，由圆周角定理，得∠ADE=∠ABE．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，AB=2×3=6（cm）．
在Rt△ABE中，
sin∠ABE==，
∴sin∠ADE=sin∠ABE=．
15、【解答】解：（1）如图所示，∠OAB=60°，∠OAC=45°；
（2）∵在直角三角形ABO中，AO=100，∠BAO=60度，
∴OB=OA?tan60°=100，
∴点B的坐标是（﹣100，0）；
∵△AOC是等腰直角三角形，
∴OC=OA=100，
∴C的坐标是（100，0）；
（3）BC=BO+OC=100+100≈270（m）．
270÷15=18（m/s）．
∵18＞，
∴该汽车在这段限速路上超速了．
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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