初中数学相似三角形简答题专题训练含答案姓名：__________班级：__________考号：__________
一、解答题（共15题）
1、如图，已知二次函数的图象与x轴交于A和B（－3，0）两点，与y轴交于C（0，－3），对称轴为直线，直线y＝－2x＋m经过点A，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E，与对称轴交于点F．
（1）求抛物线的解析式和m的值；
（2）在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与△AOD相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由；
（3）直线y＝1上有M、N两点（M在N的左侧），且MN＝2，若将线段MN在直线y＝1上平移，当它移动到某一位置时，四边形MEFN的周长会达到最小，请求出周长的最小值（结果保留根号）．
2、中，AB为的直径，直线DE与相切于点D，割线于点E且交于点F，连接DF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）求证：．
3、1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上影长为21米，留在墙上的影高为2米，求旗杆的高度．
4、AB＝8，点O为圆心（不与A，B重合），连接AC并延长到点D，使AC＝CD，作DH⊥AB，交半圆、BC于点E，F，连接OC，∠ABC=θ，θ随点C的移动而变化．
（1）移动点C，当点H，B重合时，求证：AC=BC；
（2）当θ＜45°时，求证：BH?AH＝DH?FH；
（3）当θ＝45°时，将扇形OAC剪下并卷成一个圆锥的侧面，求该圆锥的底面半径和高．
5、测量楼高，点A，D，B在同一直线上，，，垂足分别为E，C．若测得，，，楼高是多少？
6、中，，点P与点Q是线段AB上的两点，连接CP，过点A作于点M，过点Q作于点N．
（1）如图1，若，求证：；
（2）如图2，若求证；
（3）如图3，若点Q是线段AB的中点，，请直接写出线段QN的长度．
7、ABC中，AD是BC边上的高，以AD为直径的交AB于点E，交AC于点F，过点F作，垂足为H，交于点G，交AD于点M，连接AG，DE，DF．
（1）求证：；
（2）若，，，求HF的长．
8、①、图②、图③均为4×2的正方形网格，△ABC的顶点均在格点上．按要求在图②、图③中各画一个顶点在格点上的三角形．
要求：
（1）所画的两个三角形都与△ABC相似但都不与△ABC全等．
（2）图②和图③中新画的三角形不全等．
9、
原题：如图1，在平行四边形中，点是的中点，点是线段上一点，的延长线交射线于点．若，求的值．
（1）尝试探究
在图1中，过点作交于点，则和的数量关系是_________，和的数量关系是_________，的值是_________．
（2）类比延伸
如图2，在原题的条件下，若，则的值是_________（用含有的代数式表示），试写出解答过程．
（3）拓展迁移
如图3，梯形中，，点是的延长线上的一点，和相交于点．若，，，则的值是________（用含、的代数式表示）．
10、D、F在ABC的边AB上，点E在边AC上，且DEBC．
（1）若AB＝6，BC＝4，BD＝2，求DE的长；
（2）若，求证：EFDC．
11、ABCD中，ADBC，点E在边AD上，CE与BD相交于点F，AD＝4，AB＝5，BC＝BD＝6，DE＝3．
（1）求证：DFE∽DAB．
（2）求线段CF的长．
12、A处飞行到对面大厦MN的顶端M，无人机飞行方向与水平方向的夹角为37°，小华在点A测得大厦底部N的俯角为31°，两楼之间一棵树EF的顶点E恰好在视线AN上，已知树的高度为6米，且，楼AB，MN，树EF均垂直于地面，问：无人机飞行的距离AM约是多少米？（结果保留整数．参考数据：cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
13、与轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与轴交于点C，直线与轴交于点D，与轴交于点E，与直线BC交于点F．
（1）点F的坐标是________；
（2）如图1，点P为第一象限抛物线上的一点，PF的延长线交OB于点Q，PM⊥BC于点M，QN⊥BC于点N，，求点P的坐标；
（3）如图2，点S为第一象限抛物线上的一点，且点S在射线DE上方，动点G从点E出发，沿射线DE方向以每秒个单位长度的速度运动，当SE＝SG，且时，求点G的运动时间．
14、G处放置一个小平面镜，当一位同学站在F点时，恰好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时测得FG＝3m，这位同学向古树方向前进了9m后到达点D，在D处安置一高度为1m的测角仪CD，此时测得树顶A的仰角为30°，已知这位同学的眼睛与地面的距离EF＝1.5m，点B，D，G，F在同一水平直线上，且AB，CD，EF均垂直于BF，求这棵古树AB的高．（小平面镜的大小和厚度忽略不计，结果保留根号）
15、“切接圆”．根据上述定义解决下列问题，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，设△ABC的“切接圆”的半径为r．
（1）如图1，△ABC的“切接圆”的圆心D在边AB上，求r；
（2）如图2，请确定r的最小值，并说明理由；
（3）如图3，把△ABC放在平面直角坐标系中，使点B与原点O重合，点C落在x轴正半轴上．求证：以抛物线上任意一点为圆心都可以作△ABC的“切接圆”．
============参考答案============
一、解答题
1、1）；m=2；（2）存在，或；（3）
【解析】
（1）根据抛物线的对称性求出A（1，0），再利用待定系数法，即可求解；再把点A坐标代入直线的解析式，即可求出m的值；
（2）先求出E（-5，12），过点E作EP⊥y轴于点P，从而得，即可得到P的坐标，过点E作，交y轴于点，可得，再利用tan∠ADO=tan∠PE，即可求解；
（3）作直线y=1，将点F向左平移2个单位得到，作点E关于y=1的对称点，连接与直线y=1交于点M，过点F作FN∥，交直线y=1于点N，在中和中分别求出EF，，进而即可求解．
【详解】
（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于A和B（－3，0）两点，对称轴为直线，
∴A（1，0），
设二次函数解析式为：y=a(x-1)(x+3)，把C（0，－3）代入得：-3=a(0-1)(0+3)，解得：a=1，
∴二次函数解析式为：y=(x-1)(x+3)，即：，
∵直线y＝－2x＋m经过点A，
∴0=-2×1+m，解得：m=2；
（2）由（1）得：直线AF的解析式为：y=-2x+2，
又∵直线y=-2x+2与y轴交于点D，与抛物线交于点E，
∴当x=0时，y=2，即D（0，2），
联立，解得：，，
∵点E在第二象限，
∴E（-5，12），
过点E作EP⊥y轴于点P，
∵∠ADO=∠EDP，∠DOA=∠DPE=90°，
∴，
∴P（0，12）；
过点E作，交y轴于点，可得，
∵∠ED+∠PED=∠PE+∠PED=90°，
∴∠ADO=∠ED=∠PE，即：tan∠ADO=tan∠PE，
∴，即：，解得：，
∴（0，14.5），
综上所述：点P的坐标为（0，12）或（0，14.5）；
（3）∵点E、F均为定点，
∴线段EF长为定值，
∵MN=2，
∴当EM+FN为最小值时，四边形MEFN的周长最小，
作直线y=1，将点F向左平移2个单位得到，作点E关于y=1的对称点，连接与直线y=1交于点M，过点F作FN∥，交直线y=1于点N，
由作图可知：，
又∵三点共线，
∴EM+FN=，此时，EM+FN的值最小，
∵点F为直线y=-2x+2与直线x=-1的交点，
∴F（-1，4），
∴（-3，4），
又∵E（-5，12），
∴（-5，-10），
延长F交线段E于点W，
∵F与直线y=1平行，
∴FW⊥E，
∵在中，由勾股定理得：EF=，
在中，由勾股定理得：=，
∴四边形MEFN的周长最小值=ME+FN+EF+MN=．
【点睛】
本题主要考查二次函数与平面几何的综合，掌握待定系数法，相似三角形的判定和性质，添加辅助线，利用轴对称图形的性质，构造线段和的最小值，是解题的关键．
2、1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）连接OD，然后根据切线的性质和平行线的性质，可以得到∠ODA=∠DAC，再根据OA=OD，可以得到∠OAD=∠ODA，从而可以得到∠DAC=∠OAD，结论得证；
（2）根据相似三角形的判定和性质，可以得到DB?DF=EF?AB，再根据等弧所对的弦相等，即可证明结论成立．
【详解】
解：（1）证明：连接OD，如图所示，
∵直线DE与⊙O相切于点D，AC⊥DE，
∴∠ODE=∠DEA=90°，
∴OD∥AC，
∴∠ODA=∠DAC，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠DAC=∠OAD，
∴AD平分∠BAC；
（2）证明：连接OF，BD，如图所示，
∵AC⊥DE，垂足为E，AB是⊙O的直径，
∴∠DEF=∠ADB=90°，
∵∠EFD+∠AFD=180°，∠AFD+∠DBA=180°，
∴∠EFD=∠DBA，
∴△EFD∽△DBA，
∴，
∴DB?DF=EF?AB，
由（1）知，AD平分∠BAC，
∴∠FAD=∠DAB，
∴DF=DB，
∴DF2=EF?AB．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质、切线的性质、角平分线的定义、平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
3、16
【分析】
过C作CE⊥AB于E，首先证明四边形CDBE为矩形，可得BD＝CE＝21，CD＝BE＝2，设AE＝x，则，求出x即可解决问题．
【详解】
解：过C作CE⊥AB于E，
∵CD⊥BD，AB⊥BD，
∴∠EBD＝∠CDB＝∠CEB＝90°，
∴四边形CDBE为矩形，
∴BD＝CE＝21，CD＝BE＝2，
设AE＝x，
∴，
解得：x＝14，
∴旗杆的高AB＝AE+BE＝14+2＝16米．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用物长：影长=定值，构建方程解决问题，属于中考常考题型．
4、1）见解析（2）见解析（3）底面半径为1，高为
【分析】
（1）根据直角三角形的性质即可求解；
（2）证明△BFH∽△DAH，即可求解；
（3）根据扇形与圆锥的特点及求出圆锥的底面半径，再根据勾股定理即可求出圆锥的高．
【详解】
（1）如图，当点H，B重合时，∵DH⊥AB
∴△ADB是直角三角形，
∵AC＝CD，
∴BC是△ADB的中线
∴BC=
∴AC=BC
（2）当θ＜45°时，DH交半圆、BC于点E，F，
∵AB是直径
∴∠ACB=90°
∵DH⊥AB
∴∠B+∠A=∠A+∠D=90°
∴∠B=∠D
∵∠BHF=∠DHA=90°
∴△BFH∽△DAH，
∴
∴BH?AH＝DH?FH；
（3）∵∠ABC=θ=45°
∴∠AOC=2∠ABC=90°
∵直径AB＝8，
∴半径OA=4，
设扇形OAC卷成圆锥的底面半径为r
∴
解得r=1
∴圆锥的高为．
【点睛】
此题主要考查圆内综合求解，解题的关键是熟知直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质及弧长的求解与圆锥的特点．
5、是9米．
【分析】
先求出AC的长度，由∥，得到，即可求出BC的长度．
【详解】
解：∵，，
∴m，
∵，，
∴∥，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵，
∴，
∴；
∴楼高是9米．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
6、1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）证明，得是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质进行证明即可；
（2）延长CP到点G，使PG=PN，连接BG，证明得,，再证明得CM=BG，从而可得结论；
（3）延长AM，QN，分别交BC于点E，F，由勾股定理求出，得，证明，根据相似三角形的性质可求出，，再证明，求出，，再利用可求出NF的值，最后根据QN=QF-NF计算即可
【详解】
解：（1）在中，，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴；
（2）延长CP到点G，使PG=PN，连接BG，如图，
∵PB=PQ，
∴
∴,
∵，
∴
在和中
∴
∴CM=BG
∵
∴
（3）延长AM，QN，分别交BC于点E，F，
∵,，，
∴
∴
∵
∴
又∵
∴
∴，即
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵Q为AB的中点
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质与运用，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
7、1）见解析；（2）
【分析】
（1）是的直径，可以得到，推出，再用平行线的判定和性质可求出；
（2）连接OF，得到，由于是的直径，得到，，，用平行线的判定得到，再用角之间的关系证明，再用相似三角形的性质，证明就可求出HF．
【详解】
如图
解：（1）证明：是的直径，
．
，
，
，
，
．
，
．
（2）连接OF，
AD是BC边上的高，
．
，
．
．
是的直径，
，
，
．
，
．
．
．
，
．
，
，
．
，
，
．
在中，，，，
，，
，
，
．
在中，，
，
，，
，
，
，
，
．
【点睛】
此题考查圆的性质和相似三角形的证明的综合运用，熟悉掌握相似三角形的性质和灵活作辅助线是解题的关键．
8、.
【分析】
将原三角形的三边分别扩大和2倍即可得．
【详解】
如图，△A1B1C1和△A2B2C2即为所求作三角形．
【点睛】
本题考查了作图﹣相似变换：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到．本题从∠ACB=135°，AC：BC=：1找到突破口．
9、1）；；；（2）；（3）．
【分析】
（1）本问体现“特殊”的情形，是一个确定的数值．如答图1，过E点作平行线，构造相似三角形，利用相似三角形和中位线的性质，分别将各相关线段均统一用EH来表示，最后求得比值；
（2）本问体现“一般”的情形，不再是一个确定的数值，但（1）问中的解题方法依然适用，如答图2所示．
（3）本问体现“类比”与“转化”的情形，将（1）（2）问中的解题方法推广转化到梯形中，如答图3所示．
【详解】
解：（1）依题意，过点作交于点，如图1所示．
则有，
∴，
∴．
∵，，
∴，
又∵为中点，
∴为的中位线，
∴．
．
故答案为：；；．
（2）如图2所示，作交于点，则．
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴．
∴．
故答案为：．
（3）如图3所示，过点作交的延长线于点，则有．
∵，
∴，
∴，
∴．
又，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题的设计独特：由平行四边形中的一个特殊的例子出发（第1问），推广到平行四边形中的一般情形（第2问），最后再通过类比、转化到梯形中去（第3问）．各种图形虽然形式不一，但运用的解题思想与解题方法却是一以贯之：即通过构造相似三角形，得到线段之间的比例关系，这个比例关系均统一用同一条线段来表达，这样就可以方便地求出线段的比值．本题体现了初中数学的类比、转化、从特殊到一般等思想方法，有利于学生触类旁通、举一反三．
10、1）；（2）见解析
【分析】
（1）根据，可得，根据比例式代入求值，进而可得；
（2）根据（1）的结论可得，结合已知条件即可证明，进而可得，进而判断．
【详解】
，
，
，
，
即，
解得；
（2），
，
，
，
又，
，
，
．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
11、1）见解析；（2）5
【分析】
（1）AD∥BC，DE=3，BC=6，．又∠EDF=∠BDA，即可证明△DFE∽△DAB．
（2）由△DFE∽△DAB，利用对应边成比例，将已知数值代入即可求得答案．
【详解】
证明：（1）∵AD∥BC，DE=3，BC=6，
∴，
∴，
∵BD=6，
∴DF=2．
∵DA=4，
∴．
∴．
又∵∠EDF=∠BDA，
∴△DFE∽△DAB．
（2）∵△DFE∽△DAB，
∴．
∵AB=5，
∴，
∴EF==2.5．
∵DE∥BC，
∴．
∴，
∴CF=5．
【点睛】
此题考查学生对梯形和相似三角形的判定与性质的理解和掌握，第（2）问也可利用△CFB≌△BAD求得线段CF的长
12、38
【分析】
过作于，易证，得，则，再由锐角三角函数求出，然后在中，由锐角三角函数定义求出的长即可．
【详解】
解：过作于，如图所示：
则，，
，
，
由题意得：，，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
即无人机飞行的距离约是．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，相似三角形的应用等知识，正确作出辅助线构造直角三角形，证明是解题的关键．
13、1）点F坐标为（4，2）；（2）P1（1，），P2（3，）；（3）2秒
【分析】
（1）先由抛物线求出，，再求出直线的解析式为，联立即可求点坐标；
（2）过点作轴于点，过点作轴交于点，证明，得，再由，得，可求，即为点纵坐标为，则可求得点P的坐标；
（3）过点作于点，轴于点，交于点，证明是等腰直角三角形，为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，则有，，，，，，求出，最后将点S的坐标代入二次函数解析式即可求得，则可得点的运动时间为．
【详解】
解：（1）在抛物线中，
令，则，
解得：或，
，，
令，则，
，
在直线中，令，则，
，
令，则，
，
设直线的解析式为，
将，代入，
得：，
，
∴直线的解析式为，
联立，
解得，
，
故答案为：；
（2）如图1，过点作轴于点，过点作轴于点，
，，
，
又∵，
，
，
，
，
，
，
，
，
点纵坐标为，
令，
解得：，（均满足），
∴点P的坐标为P1（1，），P2（3，）；
（3）如图2，过点作于点，轴于点，交于点，
由题意得，，
，，
，
∵在中，，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
为等腰直角三角形，
，
为等腰直角三角形，
，，
，
，
，，
，
将代入，
得，
解得：或（舍），
点的运动时间为．
【点睛】
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活运用平移、三角形相似、解直角三角形等相关知识是解题的关键．
14、9＋4）m
【分析】
过点C作CH⊥AB于点H，则CH＝BD，BH＝CD＝1m，由锐角三角函数定义求出BD＝CH＝AH，再证△EFG∽△ABG，得，求出AH＝（8＋4）m，即可求解．
【详解】
解：如图，过点C作CH⊥AB于点H，
则CH＝BD，BH＝CD＝1m，
由题意得：DF＝9m，
∴DG＝DF﹣FG＝6（m），
在Rt△ACH中，∠ACH＝30°，
∵tan∠ACH＝＝tan30°＝，
∴BD＝CH＝AH，
∵EF⊥FB，AB⊥FB，
∴∠EFG＝∠ABG＝90°．
由反射角等于入射角得∠EGF＝∠AGB，
∴△EFG∽△ABG，
∴，
即，
解得：AH＝（8＋4）m，
∴AB＝AH＋BH＝（9＋4）m，
即这棵古树的高AB为（9＋4）m．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用?仰角俯角问题，相似三角形的应用等知识，正确作出辅助线构造直角三角形，证明△EFG∽△ABG是解题的关键．
15、1）；（2）；（3）证明过程见解析；
【分析】
（1）作，，根据勾股定理和相似三角形的性质计算即可；
（2）判断出r的最小值范围，根据等面积法确定计算即可；
（3）设抛物线上任意一点为，证明P到x轴的距离与PA的距离相等即可；
【详解】
（1）如图所示，作，，
∵AM∥DE，，AB=AC，
∴，
∴，
由题可知，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）由几何关系得，当这个图的直径是三角形的一条高时，最短；
∵A到BC的距离为4，
∴，；
设C到AB的距离是m，
则，
∴，
∴，，
∵＞，
∴为最小值，
∴；
（3）设抛物线上任意一点为，因为抛物线的开口向上，顶点坐标为（3，2），所以对于抛物线上任意一点来说，纵坐标均为正数，
则P到x轴的距离为，
①，
∵，
∴，
∴，
将上式代入①得，
，
∴，
即说明抛物线上任意一点P均是△ABC的切接圆圆心．
【点睛】
本题主要考查了与圆有关的计算，结合相似三角形的性质、勾股定理计算是解题的关键．
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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