初中数学反比例函数解答题专题训练含答案2

初中数学反比例函数解答题专题训练含答案2姓名：__________班级：__________考号：__________



一、解答题（共10题）

1、如图，将一把矩形直尺和一块等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，在轴上，点与点重合，点在上，交于点，反比例函数的图像恰好经过点，，若直尺的宽，三角板的斜边，则___________．



2、和双曲线在第一象限相交于点，过点A作轴，垂足为点B．有一动点P从原点出发沿y轴以每秒1个单位的速度向y轴的正方向运动，运动时间为t秒，过点P作轴，交直线于点C，交双曲线于点D．



（1）求直线和双曲线的函数解析式；

（2）设四边形的面积为S，当P在线段上运动时（P不与B点重合），求S与t之间的函数关系式；

（3）在图中第一象限的双曲线上是否存在点D，使以四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出此时t的值和D点的坐标；若不存在，请说明理由．

3、与双曲线交于，两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且．



（1）求的值并直接写出点的坐标；

（2）点是轴上的动点，连接，，求的最小值；

（3）是坐标轴上的点，是平面内一点，是否存在点，，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

4、xOy中，一次函数y＝x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于B，D两点，且AC＝BC．

（1）写出点A，B的坐标为：A（，），B（，）

（2）求出点D的坐标，并直接写出当反比例函数的值大于一次函数的值时对应x的取值范围；

（3）若P是x轴上一点，PM⊥x轴交一次函数于点M，交反比例函数于点N，当O，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点P的坐标．



5、的两边的长分别为3，8，C，D在y轴上，E是的中点，反比例函数的图象经过点E，与交于点F，且．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）在y轴上找一点P，使得，求此时点P的坐标．



6、的两边、分别在坐标轴上，且，，连接．反比例函数（）的图象经过线段的中点，并与、分别交于点、．一次函数的图象经过、两点．



（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式；

（2）点是轴上一动点，当的值最小时，点的坐标为______．

7、分别交轴，轴于、两点，交反比例函数的图象于、两点．若，且的面积为4



（1）求的值；

（2）当点的横坐标为时，求的面积．

8、中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与x轴相交于点B．



（1）求反比例函数的表达式；

（2）过点A的直线交反比例函数的图象于另一点C，交x轴正半轴于点D，当是以为底的等腰三角形时，求直线的函数表达式及点C的坐标．

9、“数形结合”思想的典型应用．

（理解）

（1）如图1，，垂足分别为C、D，E是的中点，连接．已知，．

①分别求线段、的长（用含a、b的代数式表示）；

②比较大小：__________（填“＜”、“＝”或“＞”），并用含a、b的代数式表示该大小关系．



（应用）

（2）如图2，在平面直角坐标系中，点M、N在反比例函数的图像上，横坐标分别为m、n．设，记．

①当时，__________；当时，________；

②通过归纳猜想，可得l的最小值是__________．请利用图2构造恰当的图形，并说明你的猜想成立．

10、为矩形，点、分别在轴和轴的正半轴上，点为的中点已知实数，一次函数的图像经过点、，反比例函数的图像经过点，求的值．





============参考答案============

一、解答题

1、



【分析】

利用等腰直角三角形特殊性质可求出，，，设，用含有的代数式表示点、点的坐标，再代入反比例函数关系式即可求出的值，进而确定的值．

【详解】

解：过点作，垂足为，则，



在中，，，

，

又，

，

设，则，

点，，，，

又反比例函数的图象恰好经过点，．

，

解得，，，

故答案为：-12．

【点睛】

本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，构造直角三角形，利用等腰直角三角形性质确定点、点的坐标是解决问题的关键．

2、1）直线的函数关系式是，双曲线的函数关系式是；（2）（3）当t=-1时，存在Q（，-1）使以A、B、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形；当t=+1时，存在Q（，+1）使以A、B、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形；当t=3-时，存在Q（，+1）使以A、B、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形．

【分析】

（1）把点A的坐标代入两个函数的解析式求出k和k′的值即可得到两个函数的解析式；

（2）由题意易得AB=1，OB=2，OP=t，结合（1）中所得两个函数的解析式可得：PC=，PD=，BP=，由此可得当点P在线段AB上（不与点B重合）时，CD=PD-PC=，这样S=S梯形ABCD=（AB+CD）·BP即可求得S与t间的函数关系式了；

（3）根据题意，分①CD在AB的下方，AB∥CD，且AB=CD，点Q与点D重合；②CD在AB上方，AB∥CD，且AB=CD，点Q与点D重合；③CD在AB下方，BQ∥AC，BQ=AC；根据这三种情况画出对应的图形（图2和图3）结合已知条件进行分析解答即可.

【详解】

解：（1）把A（1，2）代入和得：



∴直线的函数关系式是，双曲线的函数关系式是；

（2）∵A点坐标为（1，2），AB⊥y轴，

∴B点坐标为（0，2），

∴AB=1，OB=2，OP=t，

∵C，D分别是PD与直线，双曲线的交点，且PD∥x轴，

∴C点坐标为，D点坐标为，

∴PC=，PD=，BP=2-t，

∴当CD在AB下方时，CD=PD-PC=-．

∴；

（3）存在以下3种情形，具体如下：

①当CD在AB的下方，AB∥CD，且AB=CD，点Q与点D重合（如图2）时，四边形ABCQ是平行四边形，

∵CD=PD-PC=-=1，

∴，解得（舍去），

∴此时PD==，OP=t=-1，

∴当t=-1时，存在Q（，-1）使以A、B、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形；



②当CD在AB的上方，AB∥CD，且AB=CD，点Q与点D重合（如图2）时，四边形ACBQ是平行四边形，

∵CD=PC-PD，

∴，解得：（舍去），

∴此时PD==，OP=t=+1，

∴当t=+1时，存在Q（，+1）使以A、B、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形；

③当BQ∥AC，BQ=AC，且CD在AB下方时（如图3），此时四边形ACBQ是平行四边形，

此时Q点的坐标仍为（，+1），

过C作CG⊥AB交AB于G，过Q作QH⊥y轴交y轴于H，

∴∠QHB=∠AGC=90°，

又∵PC⊥y轴，AB⊥y轴，

∴四边形BPCG是矩形，

∴PB=CG，

∵HQ∥AB，BQ∥AC，

∴∠HQB=∠ABQ，∠ABQ=∠CAG，

∴∠HQB=∠GAC，

又∵BQ=AC

∴△ACG≌△QBH（AAS），



∴CG=BH=BP，，

∴OP=2OB-OH=4-（+1）=3-，

∴当t=3-时，存在Q（，+1）使以A、B、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形．

综上所述，当t=-1时，存在Q（，-1）使以A、B、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形；当t=+1时，存在Q（，+1）使以A、B、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形；当t=3-时，存在Q（，+1）使以A、B、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形．

【点睛】

本题主要考查了反比例函数与几何综合，平行四边形的性质，矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．

3、1），B(2，3)；（2）；（3）P（，0）或（0，）.

【分析】

（1）根据直线经过点A，可求出点A（-2，-3），因为点A在图象上，可求出k，根据点A和点B关于原点对称，即可求出点B；

（2）先根据利用相似三角形的性质求出点C，再根据对称性求出点B关于y轴的对称点B’，连接B’C，即B’C的长度是的最小值；

（3）先作出图形，分情况讨论，利用相似三角形的性质求解即可.

【详解】

（1）解：因为直线经过点，

所以，

所以m=-2，

所以点A（-2，-3），

因为点A在图象上，

所以，

因为与双曲线交于A，两点，

所以点A和点B关于原点对称，

所以点B(2，3)；

（2）过点B，C分别作BE⊥x轴，CF⊥x轴，作B关于y轴对称点B’，连接B’C，



因为BE⊥x轴，CF⊥x轴，

所以BE//CF，

所以,

所以，

因为，

所以，

因为B（2，3），

所以BE=3，

所以CF=1，

所以C点纵坐标是1，

将代入可得：x=6，

所以点C（6，1），

又因为点B’是点B关于y轴对称的点，

所以点B’（-2，3），

所以B’C=，

即的最小值是；

（3）解：①当点P在x轴上时，

当∠ABP=90°，四边形ABPQ是矩形时，过点B作BH⊥x轴，



因为∠OBP=90°，BH⊥OP,

所以，

所以，

所以,

所以，

所以，

所以，

所以点P（，0）；

②当点P在y轴上时，

当∠ABP=90°，四边形ABPQ是矩形时，过点B作BH⊥y轴，



因为∠OBP=90°，BH⊥OP,

所以，

所以，

所以,

所以，

所以，

所以，

所以点P（0，）

综合可得：P（，0）或（0，）.

【点睛】

本题主要考查正比例函数和反比例函数图象性质，相似三角形的性质，解决本题的关键是要熟练掌握正比例函数和反比例函数图象性质，相似三角形的性质.

4、1）?2，0；2，2；（2）0＜x＜2或x＜?4；（3）（2，0），（?2，0），（?2＋2，0），（?2?2，0）．

【分析】

（1）首先求出一次函数与坐标轴的交点，进而利用相似三角形的判定与性质得出B点坐标，进而得出答案；

（2）首先求出反比例函数解析式，进而得出D点坐标，再利用函数图象得出x的取值范围；

（3）利用平行四边形的性质，进而表示出MN的长，再解方程得出a的值，即可得出P点坐标．

【详解】

解：（1）如图1，过点B作BE⊥x轴于点E，



∵一次函数y＝x＋1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，

∴当x＝0时，y＝1；当y＝0时，x＝?2，

故A（?2，0），C（0，1），

∵CO⊥x轴于点O，BE⊥x轴于点E，

∴COBE，

∴△AOC∽△AEB，

∵AC＝BC，

∴AO＝OE＝2，

即B点横坐标为：2，

则y＝×2＋1＝2，

故B（2，2）；

故答案为：?2，0；2，2；

（2）∵B（2，2），

∴把B点代入y＝（k≠0），

解得：xy＝4，

即y＝，

将y＝x＋1与y＝联立可得：x＋1=

解得x1＝2，x2＝?4，则y1＝2，y2＝?1，

故D点坐标为：（?4，?1），

如图1所示：当反比例函数的值大于一次函数的值时对应x的取值范围为：0＜x＜2或x＜?4；

（3）如图2，由题意可得：COMN，只有CO＝MN时，O，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形，

当P点在B点右侧或D点右侧时，设P（a，0），则N（a，），M（a，a＋1），

故MN＝a＋1?＝CO＝1，

解得：a＝±2，

当P点在B点左侧或D点左侧时，设P（a，0），则N（a，），M（a，a＋1），

故MN＝?（a＋1）＝CO＝1，

解得：a＝?2＋2或?2?2，

综上所述：P点坐标为：（2，0），（?2，0），（?2＋2，0），（?2?2，0）．



【点睛】

此题主要考查了反比例函数综合以及相似三角形的判定与性质以及一元二次方程的解法等知识，正确表示MN的长是解题关键．

5、1）；（2）（0，14）或（0，-2）

【分析】

（1）根据矩形的性质和勾股定理得出，再结合得出CF的长，设E点坐标为（-4，a），则F点坐标为（-6，a-3），再根据E，F两点在反比例函数的图象上列出方程，解出a的值即可得出反比例函数的解析式；

（2）设P点坐标为（0，y），根据得出，从而确定点P的坐标；

【详解】

解：（1）矩形ABCD中，AB=3，BC=8，E为AD的中点，

∴AD=BC=8，CD=AB=3，

∵E为AD的中点，

∴DE=AE=4，

∴

∵，∴CF=6，

设E点坐标为（-4，a），则F点坐标为（-6，a-3），

∵E，F两点在反比例函数的图象上；

∴-4a=-6（a-3），解得a=9，∴E（-4，9），∴k=-4×9=-36，．

∴反比例函数的解析式为；

（2）∵a=9，∴C（0，6），

∵，

∴，

∵点P在y轴上，设P点坐标为（0，y），

∴PC=|6-y|

∴

∴y=14或-2；

∴点P的坐标为（0，14）或（0，-2）

【点睛】

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及矩形的性质，解题时注意：反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．

6、1）,；（2）

【分析】

（1）先求出B点的坐标，再由反比例函数过点，求出点的坐标，代入即可，

由矩形的性质可得、坐标，代入即可求出解析式；

（2）“将军饮马问题”，作关于轴的对称点，连接,直线与轴交点即为所求．

【详解】

（1）四边形是矩形，，



为线段的中点



将代入，得









将，代入，得：

，解得



（2）如图：作关于轴的对称点，连接交轴于点P



当三点共线时，有最小值



，

设直线的解析式为



将，代入，得

，解得



令，得



【点睛】

本题考查了矩形的性质，反比例函数性质，反比例函数和一次函数待定系数法求解析式，反比例函数图像上点的特点，线段和距离最值问题，正确的作辅助线，理解并记忆待定系数法求解的技巧是解题关键．

7、1）-6；（2）8

【分析】

（1）过作垂直于轴，垂足为，证明．根据相似三角形的性质可得，，由此可得，．再由反比例函数比例系数k的几何意义即可求得k值．

（2）先求得，，再利用待定系数法求得直线的解析式为．与反比例函数的解析式联立方程组，解方程组求得．再根据即可求解．

【详解】

（1）过作垂直于轴，垂足为，



∴，

∴．

∵，，

∴，，

∴，．

∴，，即．

（2）由（1）知，∴．

∵，∴，∴，．

设直线的解析式为，

将点、代入，得．

解得．

∴直线的解析式为．

联立方程组，解得，，

∴．

∴．

【点睛】

本题是一次函数与反比例函数的综合题，熟练运用反比例函数比例系数k的几何意义是解决问题的关键．

8、1）；（2），点C的坐标为

【分析】

（1）先求出A点坐标，再用待定系数法即可求解；

（2）根据已知条件求出B坐标，再求出D的坐标，然后用待定系数法求出解析式，再联立解析解出即可

【详解】

（1）将点的坐标代入一次函数表达式并解得：a＝2，

故，

将点A的坐标代入反比例函数表达式并解得：k＝6，

故反比例函数表达式为：y（x＞0）；

(2)∵

∴

∵是以为底的等腰三角形，

∴

设一次函数AD的表达式为：y＝kx+b

得：

解得：

∴解析式为：

联立反比例函数和直线AD的解析式得



解得（舍去）或

∴点C的坐标为．

【点睛】

本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，要注重数形结合，把函数转化成方程，体现了方程思想，综合性较强．

9、1）①，=；②＞，＞；（2）①，1；②l的最小值是1，理由见详解

【分析】

（1）①先证明，从而得，进而得CD的值，根据直角三角形的性质，直接得CE的值；②根据点到线之间，垂线段最短，即可得到结论；

（2）①把m，n的值直接代入=进行计算，即可；②过点M作x，y轴的平行线，过点N作x，y轴的平行线，如图所示，则A(n，)，B(m，)，画出图形，用矩形的面积表示，进而即可得到结论．

【详解】

解：（1）①∵，

∴∠ACD+∠A=∠ACD+∠BCD=90°，即：∠A=∠BCD，

又∵∠ADC=∠CDB=90°，

∴，

∴，即：，

∴，即：（负值舍去），

∵E是的中点，

∴==；

②∵，，

∴＞，即：＞．

故答案是：＞；

（2）①当时，==，

当时，==，

故答案是：，1；

②l的最小值是：1，理由如下：

由题意得：M(m，)，N(n，)，过点M作x，y轴的平行线，过点N作x，y轴的平行线，如图所示，则A(n，)，B(m，)，

==

=[（①的面积+②的面积）+②的面积+（②的面积+④的面积）+（①的面积+②的面积+③的面积+④的面积）]

=[（①的面积+②的面积）+（②的面积+④的面积）+（①的面积+②的面积）+（②的面积+④的面积）+③的面积]

=(1+1+1+1+③的面积)≥1，

∴l的最小值是1．

【点睛】

本题主要考查直角三角形的性质，反比例函数的图像和性质以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，反比例函数图像上点的坐标特征，是解题的关键．

10、



先根据一次函数求出点C的坐标，进而可表示出点B的横坐标，再代入反比例函数即可求得点B的坐标，再结合点D为AB的中点可得点D的坐标，最后将点D坐标代入一次函数即可求得答案．

【详解】

解：把代入，得．

∴．

∵轴，

∴点横坐标为．

把代入，得．

∴．

∵点为的中点，

∴．

∴．

∵点在直线上，

∴．

∴．

【点睛】

本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数、反比例函数解析式，坐标与图形性质，矩形的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．















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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※



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