初中数学平行四边形解答题专项训练含答案姓名：__________班级：__________考号：__________
一、解答题（共14题）
1、在ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，连接DE、DF．
（1）如图1，若AC＝BC，求证：四边形DECF为菱形；
（2）如图2，过C作CGAB交DE延长线于点G，连接EF，AG，在不添加任何辅助线的情况下，写出图中所有与ADG面积相等的平行四边形．
2、△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上的一点，点E是AC的中点.
(1)实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母(保留作图痕迹，不写作法).
①作∠DAC的平分线AM；
②连接BE并延长交AM于点F；
③连接FC．
(2)猜想与证明：猜想四边形ABCF的形状，并说明理由.
3、?ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且BE平分∠ABC，EF∥AB．求证：四边形ABFE是菱形．
4、Rt△ABC中，∠BAC＝90°，过点A的直线MN∥BC，点E为BC边上一点，过点E作DE⊥AC，交直线MN于点D，垂足为F．连接AE．
（1）求证：BE＝AD；
（2）当点E在BC的中点时，四边形AECD是什么特殊的四边形？说明理由．
（3）若点E为BC的中点，当∠B满足什么条件时，四边形AECD是正方形？说明理由．
5、1，四边形ABCD是平行四边形，E,F是对角线AC上的两点，AE=CF.
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）如果AE=EF=FC,请直接写出图中2所有面积等于四边形DEBF的面积的三角形.
6、为直径的经过的中点，于点．
（1）求证：是的切线；
（2）当，时，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和）．
7、□ABCD中，已知AB＞BC．
（1）实践与操作：作∠ADC的平分线交AB于点E，在DC上截取DF=AD，连接EF；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）猜想并证明：猜想四边形AEFD的形状，并给予证明．
8、是平行四边形，E，F分别是边，上的点，．证明．
9、是平行四边形，且分别交对角线于点E，F．
（1）求证：；
（2）当四边形分别是矩形和菱形时，请分别说出四边形的形状．（无需说明理由）
10、中，平分交于点，交的延长线于点为延长线上一点，．
（1）求证；
（2）求的度数．
11、中，点、分别在边、上，且．
（1）探究四边形的形状，并说明理由；
（2）连接，分别交、于点、，连接交于点．若，，求的长．
12、ABC的BC边为直径画圆，交AC于点D，于点F，连接OF，且．
（1）求证：DF是的切线；
（2）求线段OF的长度．
13、中，点O是的中点，连接并延长交的延长线于点E，连接、．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，判断四边形的形状，并说明理由．
14、中，，是直角三角形，，，连接，点是的中点，连接．
（1）当，点在边上时，如图①所示，求证：．
（2）当，把绕点逆时针旋转，顶点B落在边AD上时，如图②所示，当，点B在边AE上时，如图③所示，猜想图②、图③中线段和又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．
============参考答案============
一、解答题
1、1）见解析；（2）DECF，DEFB，EGCF，AEFD
【分析】
（1）根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；
（2）利用等高模型即可解决问题．
【详解】
解：（1）∵D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，
∴DE、DF分别是△ABC中BC边、AC边上的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，DF∥AC，DF＝AC，
∵DE∥FC，DF∥EC，
∴四边形DECF为平行四边形，
又∵AC＝BC，
∴DF＝DE，
∴为菱形；
（2）∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴与ADG面积相等的平行四边形有：
DECF，DEFB，EGCF，AEFD．
【点睛】
本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定和性质、三角形中位线定理，等高模型等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，属于中考常考题型．
2、1）详见解析；（2）四边形ABCF是平行四边形．
【分析】
（1）利用尺规作出∠DAC的平分线AM即可，连接BE延长BE交AM于F，连接FC；
（2）只要证明△AEF≌△CEB即可解决问题．
【详解】
解：（1）如图所示：
（2）四边形ABCF是平行四边形．
理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB．
∴∠DAC＝∠ABC+∠ACB＝2∠ACB．
由作图可知∠DAC＝2∠FAC，
∴∠ACB＝∠FAC．
∴AF∥BC．
∵点E是AC的中点，
∴AE＝CE．
在△AEF和△CEB中,∠FAE=∠ECB，AE＝CE，∠AEF＝∠CEB，
∴△AEF≌△CEB（ASA），
∴AF＝BC．
又∵AF∥BC，
∴四边形ABCF是平行四边形．
【点睛】
本题考查了角平分线的作法、全等三角形的判定、平行四边形的判定，熟练掌握并灵活运用是解题的关键.
3、
【分析】
先证四边形ABFE是平行四边形，由平行线的性质和角平分线的性质证AB＝AE，依据有一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．
【详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
又∵EF∥AB，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠FBE，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBF，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∴平行四边形ABFE是菱形．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、菱形的判定，解题关键是熟练运用相关知识进行推理证明，特别注意角平分线加平行，可证等腰三角形．
4、1）见解析；（2）菱形，见解析；（3）∠B＝45°，见解析
【分析】
（1）MN∥BC，得出四边形ADEB是平行四边形，即可得出结论；
（2）先证明AECD是平行四边形，由斜边中线得到AE＝EC，可证明AECD是菱形；
（3）当△ABC是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质得出AE⊥BC，即可得出四边形AECD是正方形．
【详解】
（1）证明：∵DE⊥AC，
∴∠EFC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝∠EFC，
∴AB∥DE，
∵MN∥BC，
∴BE∥AD，
∴四边形ADEB是平行四边形，
∴BE＝AD；
（2）结论：四边形AECD是菱形．
理由：当点E在BC的中点时，
而四边形ADEB是平行四边形，
∴四边形AECD是平行四边形，
又∵，
∴四边形AECD是菱形．
（3）解：当∠B＝45°时，四边形AECD是正方形．
理由：∵∠BAC＝90°，∠B＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵E为AB的中点，
∴AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
四边形AECD是菱形，
∴四边形AECD是正方形；
故答案为：45°．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质与判定，菱形的判定，正方形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
5、1）见解析；（2）△ADF，△CDE，△CBE，△ABF.
【分析】
（1）由四边形ABCD是平行四边形得出OA=OC,OB=OD，因为AE=CF可推出OE=OF，由对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证结论；
（2）AE=EF=FC可知，故而可推面积等于四边形DEBF的面积的三角形有：△ADF，△CDE，△CBE，△ABF.
【详解】
（1）证明：
连接BD交AC于点O，
∵平行四边形ABCD
∴OA=OC,OB=OD
∵AE=CF
∴OE=OF
∴四边形DEBF为平行四边形；
（2）由AE=EF=FC可知
故面积等于四边形DEBF的面积的三角形有：△ADF，△CDE，△CBE，△ABF；
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质及判定，以及三角形面积，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键.
6、1）见解析；（2）
【分析】
（1）连接，根据中位线定理，可得，由已知，可得，进而可得是的切线；
（2））过点作，连接，根据已知条件求得扇形的圆心角的度数，进而求得扇形面积，求得的面积，根据阴影扇形即可求得阴影部分面积．
【详解】
（1）连接，如图，
点是的中点，点是的中点，
，
，
，
点在上，
是的半径，
是的切线；
（2）过点作，连接，
是直径，
，
，
垂直平分，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
阴影扇形．
【点睛】
本题考查了圆的切线的判定，求弓形面积，等腰三角形的性质，中位线的性质，添加辅助线是解题的关键．
7、1）详见解析；（2）四边形AEFD是菱形，理由详见解析.
【分析】
（1）由角平分线的作法容易得出结果，在AD上截取AF=AB，连接EF；画出图形即可；（2）先利用证明四边形AEFD是平行四边形，然后利用AD=DF可判断□AEFD是菱形．．
【详解】
解：（1）如图所示：
（2）猜想：四边形AEFD是菱形．证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥DC，∴∠CDE=∠DEA，∵DE平分∠ADC，∴∠CDE=∠ADE，∴∠ADE=∠DEA，∴AD=AE，又∵AD=DF，∴DF=AE且DF∥AE，∴四边形AEFD是平行四边形，∵AD=DF，∴□AEFD是菱形．
考点：角平分线的画法；平行四边形的性质；菱形的判定.
8、
【分析】
方法一：证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得结论；方法二：证明，利用全等三角形的性质即可得结论．
【详解】
方法一
证明：∵四边形是平行四边形，
∴．
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
∴．
方法二
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，．
∵，
∴．即．
∴．
∴．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质及其判定方法，熟练运用平行四边形的性质及判定方法是解决问题的关键．
9、1）证明见解析；（2）四边形BEDF是平行四边形与菱形．
【分析】
（1）根据平行线的性质可得，即可得出，根据平行四边形的性质可得，，利用AAS即可证明；
（2）当四边形ABCD为矩形时，根据全等三角形的性质可得BE=DF，即可证明四边形BEDF是平行四边形；当四边形ABCD为菱形时，根据菱形的性质，利用SAS可证明△ABE≌△ADE，可得BE=DE，即可证明四边形BEDF是菱形．
【详解】
（1）∵
∴
∴
∵四边形是平行四边形
∴，，
∴
在△ABE和△CDF中，
∴．
（2）如图，当四边形ABCD为矩形时，连接DE、BF，
同（1）可知，
∴BE=DF，
∵BE//DF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
如图，当四边形ABCD是菱形时，连接DE、BF，
同理可知四边形BEDF是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠BAE=∠DAE，
在△ABE和△ADE中，，
∴△ABE≌△ADE，
∴BE=DE，
∴四边形BEDF是菱形．
综上所述：当四边形分别是矩形和菱形时，四边形分别是平行四边形与菱形．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及菱形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
10、1）见解析；（2）130°
【分析】
（1）由邻补角的定义及题意可得到∠ADE=∠BCE，即可判定AD∥BC；
（2）根据题意及由三角形的外角定理得到∠DGE=∠E=25°，由平行线的性质得到∠EBC=∠GDE=25°，根据角平分线的定义得到∠ABE=∠EBC=25°，再根据对顶角相等及三角形的内角和求解即可．
【详解】
解：（1）证明：∵∠ADE+∠BCF=180°，∠BCE+∠BCF=180°，
∴∠ADE=∠BCE，
∴AD∥BC；
（2）∵∠ADC=∠E+∠DGE，∠ADC=2∠E=50°，
∴∠DGE=∠E=25°，
由（1）得，AD∥BC，
∴∠EBC=∠DGE=25°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC=25°，
∵∠AGB=∠DGE=25°，∠A+∠ABE+∠AGB=180°，
∴∠A=180°-25°-25°=130°．
【点睛】
此题考查了多边形的内角与外角及平行线的判定与性质，熟记三角形的内角和、外角定理及平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
11、1）平行四边形，见解析；（2）16
【分析】
（1）利用平行四边形的判定定理，两组对边分别平行是平行四边形即可证明；
（2）根据，找到边与边的等量关系，再利用三角形相似，建立等式进行求解即可．
【详解】
（1）四边形为平行四边形．
理由如下：
∵四边形为平行四边形
∴
∵
∴
∵四边形为平行四边形
∴
∴
∴
∵
∴四边形为平行四边形
（2）设，∵
∴，
∵四边形为平行四边形
∴，，
∵
，
∴
∴
∵
∴．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定定理、相似三角形的判定定理，解题的关键是：熟练掌握相关定理，能进行相关的证明．
12、1）见解析；（2）．
【分析】
（1）连接OD，先说明是等边三角形得到，说明，进而得到即可证明；
（2）根据三角形中位线的判定与性质、直角三角形的性质得到，最后运用勾股定理解答即可．
【详解】
（1）证明：连接OD
∵是等边三角形
∴
∵
∴是等边三角形
∴
∴OD//AB
∵
∴
∴
∴DF是的切线；
（2）∵OD//AB，
∴OD为的中位线
∴
∵，
∴
∴
由勾股定理，得：
∴在中，．
【点睛】
本题主要考查了圆的切线的证明、三角形中位线的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
13、1）证明见详解；（2）四边形ACDE是菱形，理由见详解．
【分析】
（1）利用平行四边形的性质，即可判定，即可得到，再根据CD∥AE，即可证得四边形ACDE是平行四边形；
（2）利用（1）的结论和平行四边形的性质可得AC=CD，由此即可判定是菱形．
【详解】
（1）证明：在ABCD中，AB∥CD，
∴，
∵点O为AD的中点，
∴，
在与中，
∵，
，
，
∴，
∴，
又∵BE∥CD，
∴四边形ACDE是平行四边形；
（2）解：由（1）知四边形ACDE是平行四边形，，
∵，
∴，
∴四边形ACDE是菱形．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质和判定、三角形全等、菱形的判定等，熟练掌握判定定理并融会贯通是解题的关键．
14、1）见详解；（2）图②中，图③中，理由见详解．
【分析】
（1）由题意易得，则有，然后可得，，进而可得AD垂直平分BC，则CD=BD，最后问题可求证；
（2）取CD的中点H，连接AH、EH、FH，如图②，由题意易得，则有EH垂直平分AD，∠HFA=∠CBA=45°，进而可得∠EHF=∠EAF=45°，然后可得点A、E、F、H四点共圆，则根据圆的基本性质可求解；如图③，取BC的中点G，连接GF并延长，使得GM=CD，连接DM、EM、EG，AG，则有四边形CGMD是平行四边形，DM=CG=AC，进而可得△ACD≌△DME，则有CD=EM，∠EMD=∠DCA，然后可得△EMG是等边三角形，最后问题可求解．
【详解】
（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∵，
∴AD垂直平分BC，
∴CD=BD，
∴；
（2）解：图②中，图③中，理由如下：
图②：取CD的中点H，连接AH、EH、FH，如图②，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴EH垂直平分AD，∠HFA=∠CBA=45°，
∴∠EHF=∠EAF=45°，
∴点A、E、F、H四点共圆，
∵∠HFA=∠EAF=45°，
∴，
∴；
图③：如图③，取BC的中点G，连接GF并延长，使得GM=CD，连接DM、EM、EG，AG，
∵，，
∴△ADE是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴△AGC是等边三角形，
∴AC=CG，
∵点是的中点，
∴，
∴四边形CGMD是平行四边形，
∴，∠GCD=∠DMG，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴△ACD≌△DME（SAS），
∴CD=EM，∠EMD=∠DCA，
∴，
∴，
∴△EMG是等边三角形，
∵点是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴GF=MF，
∴EF⊥GM，
∴．
【点睛】
本题主要考查等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质、平行四边形的性质与判定及三角函数、圆的基本性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质、平行四边形的性质与判定及三角函数、圆的基本性质是解题的关键．
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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