初中数学勾股定理简答题专题训练含答案姓名：__________班级：__________考号：__________
一、解答题（共10题）
1、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E．
(1)求证:AC是⊙O的切线；
(2)若OB＝10，CD＝8，求CE的长．
2、Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝7cm，AC＝25cm.点P从点A沿AB方向以1cm/s的速度运动至点B，点Q从点B沿BC方向以6cm/s的速度运动至点C，P，Q两点同时出发．
(1)求BC的长；
(2)当点P，Q运动2s时，求P，Q两点之间的距离；
(3)P，Q两点运动几秒时，AP＝CQ?
3、ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点B作BE∥AC，且BE＝AC，连接EC．
（1）求证：四边形BECO是矩形；
（2）连接ED交AC于点F，连接BF，若AC＝12，AB＝10，求BF的长．
4、△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，交AC于点E，交AB于点F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BD=，BF=2，求阴影部分的面积(直接填空)．
5、中，点E在边上（不与端点A，D重合），点A关于直线的对称点为点F，连接，设．
（1）求的大小（用含的式子表示）；
（2）过点C作，垂足为G，连接．判断与的位置关系，并说明理由；
（3）将绕点B顺时针旋转得到，点E的对应点为点H，连接，．当为等腰三角形时，求的值．
6、中，点D是线段上AB上一点，BD＝6，连接CD，CD＝8．
（1）求证：；
（2）求的周长．
7、ABCD中，AB边上有一点E，AE＝3，EB＝1，在AC上有一点P，使EP＋BP最短，求EP＋BP的最短长度．
8、中，，与相交于，且，则之间一定有关系式：，请说明理由．
9、△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，MD⊥AB于D，求证：.
10、ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于E，CF∥AE交AD延长线于点F．
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）连接OE，若AD＝5，BE＝3，求线段OE的长．
============参考答案============
一、解答题
1、(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）连接OD，根据OB=OD，BD平分∠ABC，证得∠ODB=∠CBD，推出，得到∠ODA=∠C＝90°，由此得到结论；
（2）过点O作OF⊥BC于F，推出四边形ODCF是矩形，得到OF=CD=8，CF=OD=10，根据勾股定理求出BF，由垂径定理得到EF=BF=6，由此求出结果．
(1)
证明：连接OD，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD．
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD=∠CBD，
∴∠ODB=∠CBD．
∴，
∴∠ODA=∠C＝90°，
∵以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，
∴AC是⊙O的切线；
(2)
解：过点O作OF⊥BC于F，
∴∠OFC=∠ODC=∠C＝90°，
∴四边形ODCF是矩形，
∴OF=CD=8，CF=OD=10．
在Rt△OBF中，，
∴，
∵OF⊥BC，
∴EF=BF=6，
∴CE=CF-EF=10-6=4．
【点睛】
此题考查了切线的判定定理，垂径定理，矩形的判定及性质，勾股定理，解题的关键是正确掌握各定理并熟练应用解决问题．
2、1）BC＝24cm；（2）PQ＝13cm；（3）P，Q两点运动s时，AP＝CQ.
【分析】
(1)在Rt△ABC中,∠B＝90°,AB＝7cm,AC＝25cm根据勾股定理可得BC2＝AC2－AB2＝252－72＝242,求出BC＝24cm.
(2)连接PQ,由题意知BP＝7－2＝5(cm),BQ＝6×2＝12(cm),在Rt△BPQ中,由勾股定理得:
PQ＝BP2＋BQ2＝52＋122＝132,进而求出PQ＝13cm.
(3)设P，Q两点运动ts时,AP＝CQ,则可得t＝24－6t,解得t＝
【详解】
解:(1)∵在Rt△ABC中,∠B＝90°,AB＝7cm,AC＝25cm
∴BC2＝AC2－AB2＝252－72＝242,
∴BC＝24cm.
(2)连接PQ,
由题意知BP＝7－2＝5(cm),BQ＝6×2＝12(cm)，
在Rt△BPQ中,由勾股定理,得:
PQ＝BP2＋BQ2＝52＋122＝132,
∴PQ＝13cm.
(3)设P，Q两点运动ts时,
AP＝CQ,则t＝24－6t,
解得t＝.
答:P,Q两点运动s时,AP＝CQ.
【点睛】
本题主要考查勾股定理的应用,解决本题的关键是要熟练掌握利用勾股定理进行解答.
3、1）见解析；（2）BF的长为．
【分析】
（1）由菱形的性质得∠BOC=90°，OC=AC，推出BE=OC，则四边形BECO是平行四边形，再由∠BOC=90°，即可得出结论；
（2）由勾股定理求出OB=8，则BD=2OB=16，再证△ODF≌△CEF（ASA），得DF=EF，然后由直角三角形斜边上的中线性质即可求解．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BOC=90°，OC=OA=AC，
∵BE=AC，
∴BE=OC，
∵BE∥AC，
∴四边形BECO是平行四边形，
∵∠BOC=90°，
∴平行四边形BECO是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=AB=10，OC=AC=6，OB=OD，AC⊥BD，
在Rt△OBC中，由勾股定理得：OB==8，
∴BD=2OB=16，
由（1）得：四边形BECO是矩形，
∴BE=OC=6，∠OBE=∠ECO=90°，OB=CE，OB∥CE，
∴DE=，∠ODF=∠CEF，OD=CE，
在△ODF和△CEF中，
，
∴△ODF≌△CEF（ASA），
∴DF=EF，
∵∠DBE=90°，
∴BF=DE=，
故BF的长为．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质和勾股定理，证明四边形BECO为矩形是解题的关键．
4、1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）连接OD，利用角平分线和平行线之间的角度关系，得到OD//AC，所以OD⊥BC，从而得出BC与⊙O相切；
（2）利用直角三角形的勾股定理解得圆的半径，将阴影部分的面积转化为三角形面积与扇形面积之差，从而计算出阴影部分的面积．
【详解】
（1）证明：如图，连接OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠OAD，
∴∠CAD=∠ODA，
∴AC∥OD，
∴∠ODB=∠C=90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r，则OD=r，OB=r+2，
由（1）可知∠BDO=90°，
在Rt△BDO中，根据勾股定理可得：OD2+BD2=OB2，
即r2+（）2=(r+2)2，
解得：r=2，
在Rt△BOD中，tan∠BOD=，
∴∠BOD=60°，
故阴影部分的面积为：
S阴影=S△OBD-S扇形DOF=×OD×BD-．
【点睛】
本题主要考查与圆有关的位置关系、勾股定理、扇形面积计算以及三角函数，掌握知识点是解题关键．
5、(1)
(2)DG//CF．理由见解析．
(3)．
【分析】
(1)作辅助线BF，用垂直平分线的性质，推导边相等、角相等．再用三角形内角和为算出．
(2)作辅助线BF、AC，先导角证明是等腰直角三角形、是等腰直角三角形．再证明、，最后用内错角相等，两直线平行，证得DG//CF．
(3)为等腰三角形，要分三种情况讨论：①FH=BH②BF=FH③BF=BH，根据题目具体条件，舍掉了②、③种，第①种用正弦函数定义求出比值即可．
【详解】
(1)解：连接BF，设AF和BE相交于点N．
点A关于直线BE的对称点为点F
BE是AF的垂直平分线
，AB=BF
四边形ABCD是正方形
AB=BC，
．
(2)位置关系：平行．
理由：连接BF，AC，DG
设DC和FG的交点为点M，AF和BE相交于点N
由(1)可知，
是等腰直角三角形
四边形ABCD是正方形
是等腰直角三角形
垂直平分AF
在和中，
在和中，
CF//DG
(3)为等腰三角形有三种情况：①FH=BH②BF=FH③BF=BH，要分三种情况讨论：
①当FH=BH时，作于点M
由(1)可知：AB=BF，
四边形ABCD是正方形
设AB=BF=BC=a
将绕点B顺时针旋转得到
FH=BH
是等腰三角形，
在和中，
BM=AE=
②当BF=FH时，
设FH与BC交点为O
绕点B顺时针旋转得到
由(1)可知：
此时，与重合，与题目不符，故舍去
③当BF=BH时，
由(1)可知：AB=BF
设AB=BF=a
四边形ABCD是正方形
AB=BC=a
BF=BH
BF=BH=BC=a
而题目中，BC、BH分别为直角三角形BCH的直角边和斜边，不能相等，与题目不符，故舍去．
故答案为：
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理(三角形内角和为)、平行线证明(内错角相等，两直线平行)、相似三角形证明(两组对应角分别相等的两个三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似)、等腰直角三角形三边比例关系()、正弦函数定义式(对边：斜边)．
6、1）见解析；（2）．
【分析】
（1）由BC=10，CD=8，BD=6，计算得出BD2+DC2=BC2，根据勾股定理的逆定理即可证明CD⊥AB；（2）设AD=x，则AB=AC=x+6，在Rt△ACD中，利用勾股定理求出x，得出AC，继而可得出△ABC的周长．
【详解】
解：（1）在△BCD中，BC=10，CD=8，BD=6，
∵62+82=102∴BD2+DC2=BC2，∴△BCD是直角三角形，∠BDC=90°，∴CD⊥AB；（2）设AD=x，则AC=AB=x+6，在Rt△ADC中，∵AC2=AD2+DC2，∴82+x2=（x+6）2，解得：x=．∴△ABC的周长为：（+6）×2+10=．
【点睛】
本题考查了勾股定理及其逆定理的知识，解题的关键是利用勾股定理求出AD的长度，得出腰的长度．
7、5
试题分析:本题先根据”小马饮水问题”模型先找出点B关于直线AC对称点,根据正方形的性质可知点B,D关于直线AC的对称,所以连接DE,DE与AC的交点P,此时DE的长度即是EP＋BP最短距离,再根据勾股定理:DE=.
解：如图，连接BD交AC于O，连接ED与AC交于点P，连接BP.
易知BD⊥AC，
且BO＝OD，∴BP＝PD，则BP＋EP＝ED，此时最短．
∵AE＝3，AD＝1＋3＝4，由勾股定理得
ED2＝AE2＋AD2＝32＋42＝25＝52，
∴ED＝BP＋EP＝5.
8、
【详解】
整体分析：
分别在Rt△ABO，Rt△BCO，Rt△CDO，Rt△DAO中用勾股定理表示出斜边的长即可求解.
解：在Rt△ABO和Rt△CDO中
∵；，
∴.
在Rt△DAO和Rt△BCO中
∵；.
∴，
∴.
9、
【分析】
连接AM得到三个直角三角形，运用勾股定理分别表示出AD2、AM2、BM2进行代换就可以最后得到所要证明的结果．
【详解】
证明：连接MA，
∵MD⊥AB，
∴AD2=AM2-MD2，BM2=BD2+MD2，
∵∠C=90°，
∴AM2=AC2+CM2
∵M为BC中点，
∴BM=MC．
∴AD2=AC2+BD2
【点睛】
本题考查了勾股定理，三次运用勾股定理进行代换计算即可求出结果，另外准确作出辅助线也是正确解出的重要因素．
10、1）见解析?（2）
【分析】
（1）根据菱形的性质得到AD∥BC，推出四边形AECF是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得出结论；
（2）根据已知条件得到AE=4，CE=8，求得AC=，从而得出答案．
【详解】
解:（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，
即AF∥EC，
∵CF∥AE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴平行四边形AECF是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD为菱形，四边形AECF为矩形，且BE=3，AD=5，
∴AB=BC=AD=5，DF=BE=3，
∴AE==4，
CE=BE+BC=8，
∴，
∵对角线AC，BD交于点O，
∴OA=OC，
∵四边形AECF为矩形，
∴点O是对角线AC与EF的交点，
∴．
【点睛】
本题考查了矩形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理．正确识别图形是解题的关键．
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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