初中数学勾股定理逆定理简答题专题训练含答案姓名：__________班级：__________考号：__________
一、解答题（共15题）
1、已知某开发区有一块四边形的空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？
2、与轴交于、两点，与轴交于点．
（1）求抛物线顶点的坐标（用含的代数式表示），，两点的坐标；
（2）证明与的面积相等；
（3）是否存在使为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；若不存在，请说明理由．
3、中，，，，，是的中位线．求证：四边形是矩形．
4、△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5．在同一平面内，△ABC内部一点O到AB，AC，BC的距离都等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G．
（1）直接写出a的值；
（2）连接BO并延长，交AC于点M，过点M作MN⊥BC于点N．
①求证：∠BMA＝∠BMN；
②求直线MN与图形G的公共点个数．
5、?设CD是△ABC的边AB上的高，且CD2＝AD·DB，求证：∠ACB＝90°。
??
6、如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形ABCD），经
测量，在四边形ABCD中，AB=3m,BC=4m,CD=12m,DA=13m,∠B=90°.小区为美化
环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地共需花费多
少元？
7、如图，有一个直角三角形ABC，两直角边AC=6cm，BC=8cm，AD平分∠BAC，点E在斜边AB上且AE=AC。
⑴△BED是何特殊三角形？说明理由；
⑵求线段CD的长。
?
?
8、如图正方形网格中的△ABC,若小方格边长为1,请你根据所学的知识
(1)求△ABC的面积
(1)判断△ABC是什么形状?并说明理由.?????????
9、如图网格中的△ABC,若小方格边长为1,请你根据所学的知识
(1)求△ABC的面积
(2)判断△ABC是什么形状?并说明理由.
??
10、?已知，如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，
且∠A=90°，求四边形ABCD的面积。
?
11、如图，都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点。
⑴求证：△ACE≌△BCD；
⑵若AD=5，BD=12，求DE的长。
?
12、已知a、b、c为△ABC的三边，且，
???????试判断△ABC的形状。
13、已知如图所示，四边形ABCD中，求四边形ABCD的面积。
?
14、如图，∠C=90°，AC=3，BC=4，AD=12，BD=13，试判断AD与AB是否垂直？请说明理由．
?
15、如图，在Rt△ABC中，∠A=300，∠B=900，BC=6，Rt△DEF中，∠FDE=900，DE=DF=4，Rt△DEF沿AC从点A向点C。
当AD=_____时，FC//AB;
当AD=_____时，以线段AD、FC和BC为边的三角形是直角三角形；
是否存在某一位置，使∠FCA=150，若存在，求出AD的长，若不存在，试说明理由。
============参考答案============
一、解答题
1、7200
【分析】
依题意，需要求得四边形的面积才能求得结果．连接BD，在直角三角形ABD中可求得BD的长，由BD、CD、BC的长度关系可得三角形DBC为一直角三角形，DC为斜边；由此看，四边形ABCD由Rt△ABD和Rt△DBC构成，则容易求解．
【详解】
连接BD，
在Rt△ABD中，BD2＝AB2+AD2＝32+42＝52，
在△CBD中，CD2＝132BC2＝122，
而122+52＝132，
即BC2+BD2＝CD2，
∴∠DBC＝90°，
S四边形ABCD＝S△BAD+S△DBC＝，
＝；
所以需费用36×200＝7200（元）．
【点睛】
本题考查一般四边形面积、勾股定理逆定理等，关键在对一般四边形进行分割为特殊三角形进行求解．
2、1）点的坐标为，，两点的坐标为、；（2）见解析；（3）存在，和
【分析】
（1）将抛物线化为顶点式，则抛物线顶点的坐标为，令，解方程即可求出点、的坐标；
（2）分别表示出与的面积即可证明；
（3）用含的代数式分别表示出、、，再根据为直角三角形，分三种情况：当时，；时，；当时，由，，此种不存在，分别进行列方程计算即可得出答案．
【详解】
解：（1），
抛物线顶点的坐标为，
抛物线与轴交于、两点，
当时，，
，
，
解得，，
，两点的坐标为、；
（2）当时，，
点的坐标为，
，
过点作轴于，
则，，，
，
，
，
；
（3）存在使为直角三角形的抛物线．
过点作于点，则为直角三角形，，，
，
，
在中，，
在中，；
①如果是直角三角形，且时，，
即，解得，
，
．
存在抛物线使得是直角三角形；
②如果是直角三角形，且时，．
即，解得，
，
．
存在抛物线使得是△；
③，，
以为直角的直角三角形不存在，
综上，存在抛物线和使是直角三角形．
【点睛】
本题考查了二次函数的顶点式，勾股定理，用含参数m的代数式表示各线段长，再运用分类思是解题的关键.
3、
【分析】
根据中位线的性质得出、，进而得出四边形是平行四边形，再根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，且，则四边形是矩形．
【详解】
证明：∵是的中位线，
∴，．
∵，∴．
∴四边形是平行四边形．
∵，，，
∴．
∴是直角三角形，且．
∴四边形是矩形．
【点睛】
本题考查了三角形的中位线、勾股定理的逆定理，平行四边形的判定、矩形的判定等知识点，熟悉并运用以上性质定理是解题的关键．
4、1）1；（2）①见解析；②1个
【分析】
（1）根据题意可得三角形ABC是直角三角形，再根据切线长定理即可求出a的值；
（2）①根据题意可得点O是三角形ABC的内心，再根据三角形内角和即可得结论；
②作OE⊥MN于点E，根据角平分线的性质可得OD=OE，所以得OE为圆O的半径，进而可得MN为圆O的切线，即可得出结论．
【详解】
解：（1）如图，
∵AB=3，AC=4，BC=5，
∴AB2+AC2=BC2，
∴∠A=90°，
∴△ABC是直角三角形，
由题意可知：图形G是以O为圆心，a为半径的圆，AB，AC，BC与圆O相切，
设切点分别为F，D，Q，连接OF，OD，OQ，
∴OF⊥AB，OD⊥AC，OQ⊥BC，
∴四边形AFOD为正方形，
∴AF=AD=OF=OD=a，
根据切线长定理可知：BF=BQ=3-a，CD=CQ=4-a，
∴3-a+4-a=5，解得a=1；
（2）①由题意可知：点O是△ABC的内心，
∴∠ABM=∠CBM，
∵MA⊥AB，MB⊥BC，
∴∠A=∠BNM=90°，
∴∠BMA=∠BMN；
②如图，作OE⊥MN于点E，
∵∠BMA=∠BMN，OD⊥AC，
∴OD=OE，
∴OE为圆O的半径，
∴MN为圆O的切线，
∴直线MN与图形G的公共点个数为1．
【点睛】
本题考查了三角形的内切圆与内心，解决本题的关键是掌握三角形的内心定义．
5、?思维入门指导：要得到∠ACB＝90°，除了知道∠ADC＝∠BDC＝90°之外没有别的角的条件，但题中告诉了CD2＝AD·BD，提醒我们是否由AC2＋BC2＝AB2得到△ACB是直角三角形，从而得到∠ACB＝90°。
???解法一：∵CD⊥AB于D
???
???
???
???
???
???∴△ACB是直角三角形，∠ACB＝90°
???解法二：∵CD⊥AB于D
???
???
???
???
???∴△ACB是直角三角形，∠ACB＝90°
点拨：这两种解法的总体思路是一致的，只是在变形中采取了不同的方法。
6、
7、（1）直角三角形；（2）CD长为3cm；???
8、
9、解：（1）△ABC的面积=
?
（2）AB2=12+22=5
??AC2=22+42=20
??BC2=32+42=25????
∴AB2+AC2=BC2?∴△ABC为Rt△??
10、36
11、①通过SAS证明全等?②13
12、
13、36cm平方
14、解:与会互相垂直。
理由是：在中,
???
?????在中，
?????∵
????
?????∴
∴
即
15、（1）12－4，（2），（3）不存在.
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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