初中数学勾股定理综合题专题训练姓名：__________班级：__________考号：__________
一、综合题（共10题）
1、如图已知：等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1、h2、h3，则△ABC高为h。若点P在一边BC上如图（1），此时h3=0。可得结论h1+h2+h3=h。（1）请直接应用上述信息解决下列问题：
当点P在△ABC内如图（2），点P在△ABC外如图（3）时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明，若不成立，h1、h2、h3?与h之间又有怎样的关系？请写出你的??猜想，不需证明.
（2）若不用上述信息，你能用其他方法证明吗？
图（1）??????图（2）????图（3）?
2、如图(1)，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE、BG．
???(1)试猜想线段BG和AE的关系（位置关系及数量关系），请直接写出你得到的结论：
(2)将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一角度a后(0°
(3)若BC＝DE＝m，正方形DEFG绕点JD逆时针方向旋转角度a(0°
3、?如图，在△ABC中，AB=AC=13厘米，BC=10厘米，AD⊥BC于点D，动点P从点A出发以每秒1厘米的速度在线段AD上向终点D运动。设动点运动时间为t秒。
（1）求AD的长。
（2）当△PDC的面积为15平方厘米时，求t的值。
（3）动点M从点C出发以每秒2厘米的速度在射线CB上运动。点M与点P同时出发，且当点P运动到终点D时，点M也停止运动。是否存在，使得S△PMD＝S△ABC？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由。（）
4、如图①，在矩形纸片ABCD中，AB=+1，AD=．
（1）如图②，将矩形纸片向上方翻折，使点D恰好落在AB边上的D′处，压平折痕交CD于点E，则折痕AE的长为?；
（2）如图③，再将四边形BCED′沿D′E向左翻折，压平后得四边形B′C′ED′，B′C′交AE于点F，则四边形B′FED′的面积为?；
（3）如图④，将图②中的△AED′绕点E顺时针旋转α角，得△A′ED″，使得EA′恰好经过顶点B，求弧D′D″的长．（结果保留π）
5、如图，矩形的中，，，动点、分别以、的速度从点、同时出发，点从点向点移动.
(1)若点从点移动到点停止，点、分别从点、同时出发，问经过时、两点之间的距离是多少？
(2)若点从点移动到点停止，点随之停止移动，点、分别从点、同时出发，问经过多长时间、两点之间的距离是？
(3)若点沿着移动，点、分别从点、同时出发，点从点移动到点停止时，点随之也停止移动，试探求经过多长时间△的面积为？
6、已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE中点，连结DF、CF.
（1）如图1，当点D在AB上，点E在AC上，请直接写出此时线段DF、CF的数量关系和位置关系（不用证明）；
（2）如图2，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°时，请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立，并证明你的判断；
（3）如图3，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转90°时，若AD=1，AC=，求此时线段CF的长（直接写出结果）.
7、如图，已知△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，，
点D为AB边上一点．
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）求证：△ADE是直角三角形；
（3）已知△ADE的面积为，，求的长．
8、已知：如图，中，，于，平分，
且于，与相交于点是边的中点，
连结与相交于点．
（1）判断AC与图中的那条线段相等，并证明你的结论；
（2）若的长为，求BG的长.
?
9、?与是共顶点的等边三角形.直线BE与直线AD交于点M，点D、E不在的边上.
（1）当点E在外部时（如图1），写出AD与BE的数量关系.
（2）若CD
（3）如图3，当B、C、D三点在同一条直线上，且BC=CD时，写出BM，ME与BC之间的数量关系.
10、我们规定：有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为60°的凸四边形叫做“准筝形”．如图1，四边形ABCD中，若，∠A=60°，则四边形ABCD是“准筝形”．
??（1）如图2，CH是△ABC的高线，∠A=45°，∠ABC=120°，．求CH；
（2）在（1）条件下，设D是△ABC所在平面内一点，当四边形ABCD是“准筝形”时，请直接写出四边形ABCD的面积；
??（3）如图3，四边形ABCD中，BC=2，CD=4，AC=6，∠BCD=120°，且，试判断四边形ABCD是不是“准筝形”，并说明理由．
?
============参考答案============
一、综合题
1、(1)?证明：延长EP，过B作BG垂直EP于G
?????????
2、
3、解：（1）∵AB=AC，AD⊥BC
???∴BD=BC=5cm，且∠ADB=90
∴
即AD的长为12cm。??---3分
（2）AP=t，PD=12-t，
又由，得
解得，????????---4分
（3）假设存在t，使得S△PMD＝S△ABC。
①若点M在线段CD上，即时，PD=12－t，DM=5－2t
由S△PMD＝S△ABC，即
（舍去）；???（2分）
②若点M在射线DB上，即。
由S△PMD＝S△ABC??得?????????
；.?（2分）
综上，存在t的值为或11.5或3，使得S△PMD＝S△ABC???（1分）
4、（1）。
（2）。
（3）∵∠C=90°，BC=，EC=1，∴。∴∠BEC=60°。
由翻折可知：∠DEA=45°，∴∠AEA′=75°=∠D′ED″。
∴
【解析】
???∵由（1）知AD′=，∴BD′=1。
∵将四边形BCED′沿D′E向左翻折，压平后得四边形B′C′ED′，∴B′D′=BD′=1。
∵由（1）知AD′=AD=D′E=DE=，∴四边形ADED′是正方形。
∴B′F=AB′=﹣1。
∴S梯形B′FED′=（B′F+D′E）?B′D′=（﹣1+）×1=。
（3）根据直角三角形的性质求出∠BEC的度数，由翻折变换的性质可得出∠DEA的度数，故可得出∠AEA′=75°=∠D′ED″，由弧长公式即可得出结论。
5、
6、（1）相等和垂直；（2）成立，理由见试题解析；（3）．
【解析】（1）∵∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE中点，∴DF=BE，CF=BE，∴DF=CF．
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°，∵BF=DF，∴∠DBF=∠BDF，
∵∠DFE=∠ABE+∠BDF，∴∠DFE=2∠DBF，同理得：∠CFE=2∠CBF，
∴∠EFD+∠EFC=2∠DBF+2∠CBF=2∠ABC=90°，∴DF=CF，且DF⊥CF．
（2）（1）中的结论仍然成立．
证明：如图，此时点D落在AC上，延长DF交BC于点G．
∵∠ADE=∠ACB=90°，∴DE∥BC．∴∠DEF=∠GBF，∠EDF=∠BGF．
∵F为BE中点，∴EF=BF．∴△DEF≌△GBF．∴DE=GB，DF=GF．
∵AD=DE，∴AD=GB，∵AC=BC，∴AC﹣AD=BC﹣GB，∴DC=GC．∵∠ACB=90°，∴△DCG是等腰直角三角形，∵DF=GF，∴DF=CF，DF⊥CF．
（3）延长DF交BA于点H，
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴AC=BC，AD=DE．∴∠AED=∠ABC=45°，
∵由旋转可以得出，∠CAE=∠BAD=90°，∵AE∥BC，∴∠AEB=∠CBE，∴∠DEF=∠HBF．
∵F是BE的中点，∴EF=BF，∴△DEF≌△HBF，∴ED=HB，
∵AC=，在Rt△ABC中，由勾股定理，得：AB=4，
∵AD=1，∴ED=BH=1，∴AH=3，在Rt△HAD中由勾股定理，得：DH=，
∴DF=，∴CF=，∴线段CF的长为．
7、1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）17cm
【解析】（1）∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∴，∵，∴，即，∴≌
（2）∵≌，∴，∵和都是等腰直角三角形，
∴，∴，∴是直角三角形
（3）由题意得：，在中，由勾股定理得：
（4），
∴，∴
由(1)得：≌,∴，∴.
8、（1）证明：，∴，
∵，
是等腰直角三角形．
．………..…………………2分
∵于，∴，
∵，．
．
．………..…………………3分
（2）解：平分，．
∵于，∴，
又∵BE=BE,．
．………..…………………4分
连结．是等腰直角三角形，．
又是边的中点，
垂直平分，．
,
∴，∴是等腰直角三角形，
∵的长为，∴EG=,
利用勾股定理得：,∴，
∴，∴BG的长为.………..…………………6分
9、??（1）AD=BE
（2）不变,?
可证：
?.
（3）（或）
10、（1）设，
?∵∠ABC=120°，CH是△ABC的高线，
?∴，
∴，
?又∵∠A=45°，∴，∵，∴，
解得：，
?∴；?
（2）在（1）条件下，四边形ABCD的面积是，或．---10分
????下面计算过程供阅卷教师参考：
①如图2-1，，∠BAD=60°，
?作CG垂直BD的延长线于点G，则，
?易得：∠CBG=60°=∠CBH，
?而，∴△CBG≌△CBH，∴，
?作AK⊥BD于K，则易得：，
∴，，
?∴；
????②如图2-2，，∠BCD=60°，
?作CG垂直BD的延长线于点G，则，
?易得：，易得：，
?∴，，
?∴；
????③如图2-3，，∠ADC=60°，
?作DM⊥AC于M，
易得：，
?∴，
???，
?∴；
（3）如图2，延长BC至点E，使，连结DE，
???∵，∴，∴△DCE是等边三角形，
???∴，，
∵，，，∴
又∵，∴△ACD≌△BED（SSS）
∴，∴，
∴△ABD是等边三角形，∴，，
∴四边形ABCD是“准筝形”；
?
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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