2020年四川省凉山州中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，把正确选项的
字母填涂在答题卡上相应的位置．1．（4分）﹣12020＝（）A．1B．﹣1C．2020D．﹣20202．（4分）如图，下列几何
体的左视图不是矩形的是（）A．B．C．D．3．（4分）点P（2，3）关于x轴对称的点P''的坐标是（）A．（2，﹣3）B．
（﹣2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（3，2）4．（4分）已知一组数据1，0，3，﹣1，x，2，3的平均数是1，则这组数据的众数是（
）A．﹣1B．3C．﹣1和3D．1和35．（4分）一元二次方程x2＝2x的根为（）A．x＝0B．x＝2C．x＝0或x＝2D
．x＝0或x＝﹣26．（4分）下列等式成立的是（）A．±9B．|2|2C．（）﹣1＝﹣2D．（tan45°﹣1）0＝17．（4
分）若一次函数y＝（2m+1）x+m﹣3的图象不经过第二象限，则m的取值范围是（）A．mB．m＜3C．m＜3D．m≤38．（4
分）点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段AB＝12cm，则线段BD的长为（）A．10cmB．8cmC．10c
m或8cmD．2cm或4cm9．（4分）下列命题是真命题的是（）A．顶点在圆上的角叫圆周角B．三点确定一个圆C．圆的切线垂
直于半径D．三角形的内心到三角形三边的距离相等10．（4分）如图所示，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tanA的值为（）
A．B．C．2D．211．（4分）如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于⊙O，则AD：AB＝（）A．2：B．：C．：D
．：212．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有如下结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③3b﹣2c＜0；④am
2+bm≥a+b（m为实数）．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，
共20分）13．（4分）函数y中，自变量x的取值范围是．14．（4分）因式分解：a3﹣ab2＝．15．（4分）如图，?ABCD
的对角线AC、BD相交于点O，OE∥AB交AD于点E，若OA＝1，△AOE的周长等于5，则?ABCD的周长等于．16．（4分）如
图，点C、D分别是半圆AOB上的三等分点，若阴影部分的面积是π，则半圆的半径OA的长为．17．（4分）如图，矩形OABC的面积为
，对角线OB与双曲线y（k＞0，x＞0）相交于点D，且OB：OD＝5：3，则k的值为．三、解答题（本大题共5小题，共32分）解答
应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（5分）解方程：x1．19．（5分）化简求值：（2x+3）（2x﹣3）﹣（x+2）2+4
（x+3），其中x．20．（7分）如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零
件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？21．（7分）某校团委在“五?四”青年节举
办了一次“我的中国梦”作文大赛，分三批对全校20个班的作品进行评比．在第一批评比中，随机抽取A、B、C、D四个班的征集作品，对其数
量进行统计后，绘制如图两幅不完整的统计图．（1）第一批所抽取的4个班共征集到作品件；在扇形统计图中表示C班的扇形的圆心角的度数为
；（2）补全条形统计图；（3）第一批评比中，A班D班各有一件、B班C班各有两件作品获得一等奖．现要在获得一等奖的作品中随机抽取两
件在全校展出，用树状图或列表法求抽取的作品来自两个不同班级的概率．22．（8分）如图，AB是半圆AOB的直径，C是半圆上的一点，A
D平分∠BAC交半圆于点D，过点D作DH⊥AC与AC的延长线交于点H．（1）求证：DH是半圆的切线；（2）若DH＝2，sin∠BA
C，求半圆的直径．四、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）23．（5分）若不等式组恰有四个整数解，则a的取值范围是．2
4．（5分）如图，矩形ABCD中，AD＝12，AB＝8，E是AB上一点，且EB＝3，F是BC上一动点，若将△EBF沿EF对折后，点
B落在点P处，则点P到点D的最短距离为．五、解答题（本大题共4小题，共40分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．（8
分）如图，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发．（1）如图1，
连接AQ、CP．求证：△ABQ≌△CAP；（2）如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，AQ、CP相交于点M，∠QMC的大小
是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；（3）如图2，当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，直线AQ、CP相交于M，
∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．26．（10分）如图，已知直线l：y＝﹣x+5．（1）当反比例函
数y（k＞0，x＞0）的图象与直线l在第一象限内至少有一个交点时，求k的取值范围．（2）若反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象与直
线l在第一象限内相交于点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x2﹣x1＝3时，求k的值，并根据图象写出此时关于x的不等式﹣x+5
的解集．27．（10分）如图，⊙O的半径为R，其内接锐角三角形ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c．（1）求证：2R
；（2）若∠A＝60°，∠C＝45°，BC＝4，利用（1）的结论求AB的长和sin∠B的值．28．（12分）如图，二次函数y＝ax
2+bx+x的图象过O（0，0）、A（1，0）、B（，）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C
，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD的解析式；（3）在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作PQ⊥
x轴，交直线CD于Q，当线段PQ的长最大时，求点P的坐标．2020年四川省凉山州中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共
12小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置．1．（4分）﹣
12020＝（）A．1B．﹣1C．2020D．﹣2020【解答】解：﹣12020＝﹣1．故选：B．2．（4分）如图，下列几何体
的左视图不是矩形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、圆柱的左视图是矩形，故本选项不符合题意；B、三棱锥的左视图是三角形，故
本选项符合题意；C、三棱柱的左视图是矩形，故本选项不符合题意；D、正方体的左视图是正方形，故本选项不符合题意．故选：B．3．（4分
）点P（2，3）关于x轴对称的点P''的坐标是（）A．（2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（3，2）【解答】解：
点P（2，3）关于x轴对称的点P''的坐标是（2，﹣3）．故选：A．4．（4分）已知一组数据1，0，3，﹣1，x，2，3的平均数是1
，则这组数据的众数是（）A．﹣1B．3C．﹣1和3D．1和3【解答】解：∵数据1，0，3，﹣1，x，2，3的平均数是1，∴1+
0+3﹣1+x+2+3＝7×1，解得x＝﹣1，则这组数据为1，0，3，﹣1，﹣1，2，3，∴这组数据的众数为﹣1和3，故选：C．5
．（4分）一元二次方程x2＝2x的根为（）A．x＝0B．x＝2C．x＝0或x＝2D．x＝0或x＝﹣2【解答】解：∵x2＝2x，
∴x2﹣2x＝0，则x（x﹣2）＝0，∴x＝0或x﹣2＝0，解得x1＝0，x2＝2，故选：C．6．（4分）下列等式成立的是（）
A．±9B．|2|2C．（）﹣1＝﹣2D．（tan45°﹣1）0＝1【解答】解：A．9，此选项计算错误；B．|2|2，此选项错误；
C．（）﹣1＝﹣2，此选项正确；D．（tan45°﹣1）0无意义，此选项错误；故选：C．7．（4分）若一次函数y＝（2m+1）x+
m﹣3的图象不经过第二象限，则m的取值范围是（）A．mB．m＜3C．m＜3D．m≤3【解答】解：根据题意得，解得m≤3．故选：
D．8．（4分）点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段AB＝12cm，则线段BD的长为（）A．10cmB．8c
mC．10cm或8cmD．2cm或4cm【解答】解：∵C是线段AB的中点，AB＝12cm，∴AC＝BCAB12＝6（cm），点
D是线段AC的三等分点，①当ADAC时，如图，BD＝BC+CD＝BCAC＝6+4＝10（cm）；②当ADAC时，如图，BD＝BC+
CD′＝BCAC＝6+2＝8（cm）．所以线段BD的长为10cm或8cm，故选：C．9．（4分）下列命题是真命题的是（）A．顶
点在圆上的角叫圆周角B．三点确定一个圆C．圆的切线垂直于半径D．三角形的内心到三角形三边的距离相等【解答】解：A、顶点在圆上且两边
都与圆相交的角叫圆周角，原命题是假命题；B、不在同一直线上的三点确定一个圆，原命题是假命题；C、圆的切线垂直于过切点的半径，原命题
是假命题；D、三角形的内心到三角形三边的距离相等，是真命题；故选：D．10．（4分）如图所示，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，
则tanA的值为（）A．B．C．2D．2【解答】解：如图，连接BD，由网格的特点可得，BD⊥AC，AD2，BD，∴tanA，故
选：A．11．（4分）如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于⊙O，则AD：AB＝（）A．2：B．：C．：D．：2【解答
】解：连接OA、OB、OD，过O作OH⊥AB于H，如图所示：则AH＝BHAB，∵正方形ABCD和等边三角形AEF都内接于⊙O，∴∠
AOB＝120°，∠AOD＝90°，∵OA＝OD＝OB，∴△AOD是等腰直角三角形，∠AOH＝∠BOH120°＝60°，∴ADOA
，AH＝OA?sin60°OA，∴AB＝2AH＝2OAOA，∴，故选：B．12．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示
，有如下结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③3b﹣2c＜0；④am2+bm≥a+b（m为实数）．其中正确结论的个数是（）A．
1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①∵对称轴在y轴右侧，∴a、b异号，∴ab＜0，∵c＜0∴abc＞0故①正确；②∵对称轴x
1，∴2a+b＝0；故②正确；③∵2a+b＝0，∴ab，∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，∴b﹣b+c＞0∴3b﹣2c＜0故③正
确；④根据图象知，当x＝1时，y有最小值；当m为实数时，有am2+bm+c≥a+b+c，所以am2+bm≥a+b（m为实数）．故④
正确．本题正确的结论有：①②③④，4个；故选：D．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）13．（4分）函数y中，自变量
x的取值范围是x≥﹣1．【解答】解：由题意得，x+1≥0，解得x≥﹣1．故答案为：x≥﹣1．14．（4分）因式分解：a3﹣ab
2＝a（a+b）（a﹣b）．【解答】解：a3﹣ab2＝a（a2﹣b2）＝a（a+b）（a﹣b）．15．（4分）如图，?ABCD
的对角线AC、BD相交于点O，OE∥AB交AD于点E，若OA＝1，△AOE的周长等于5，则?ABCD的周长等于16．【解答】解
：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD，∵OE∥AB，∴OE是△ABD的中位线，∴AB＝2OE，AD
＝2AE，∵△AOE的周长等于5，∴OA+AE+OE＝5，∴AE+OE＝5﹣OA＝5﹣1＝4，∴AB+AD＝2AE+2OE＝8，∴
?ABCD的周长＝2×（AB+AD）＝2×8＝16；故答案为：16．16．（4分）如图，点C、D分别是半圆AOB上的三等分点，若阴
影部分的面积是π，则半圆的半径OA的长为3．【解答】解：连接OC、OD、CD．∵△COD和△CBD等底等高，∴S△COD＝S△
BCD．∵点C，D为半圆的三等分点，∴∠COD＝180°÷3＝60°，∴阴影部分的面积＝S扇形COD，∵阴影部分的面积是π，∴π，
∴r＝3，故答案为3．17．（4分）如图，矩形OABC的面积为，对角线OB与双曲线y（k＞0，x＞0）相交于点D，且OB：OD＝5
：3，则k的值为12．【解答】解：设D的坐标是（3m，3n），则B的坐标是（5m，5n）．∵矩形OABC的面积为，∴5m?5n
，∴mn．把D的坐标代入函数解析式得：3n，∴k＝9mn＝912．故答案为12．三、解答题（本大题共5小题，共32分）解答应写出文
字说明、证明过程或演算步骤．18．（5分）解方程：x1．【解答】解：去分母，得：6x﹣3（x﹣2）＝6+2（2x﹣1），去括号，得
：6x﹣3x+6＝6+4x﹣2，移项，得：6x﹣3x﹣4x＝6﹣6﹣2，合并同类项，得：﹣x＝﹣2，系数化为1，得：x＝2．19．
（5分）化简求值：（2x+3）（2x﹣3）﹣（x+2）2+4（x+3），其中x．【解答】解：原式＝4x2﹣9﹣（x2+4x+4）+
4x+12＝4x2﹣9﹣x2﹣4x﹣4+4x+12＝3x2﹣1，当x时，原式＝3×（）2﹣1＝3×2﹣1＝6﹣1＝5．20．（7分
）如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余
两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？【解答】解：∵四边形EGFH为正方形，∴BC∥EF，∴△AEF∽△ABC；
设正方形零件的边长为xmm，则KD＝EF＝x，AK＝80﹣x，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵AD⊥BC，∴，∴，解得：x
＝48．答：正方形零件的边长为48mm．21．（7分）某校团委在“五?四”青年节举办了一次“我的中国梦”作文大赛，分三批对全校20
个班的作品进行评比．在第一批评比中，随机抽取A、B、C、D四个班的征集作品，对其数量进行统计后，绘制如图两幅不完整的统计图．（1）
第一批所抽取的4个班共征集到作品24件；在扇形统计图中表示C班的扇形的圆心角的度数为150°；（2）补全条形统计图；（3）
第一批评比中，A班D班各有一件、B班C班各有两件作品获得一等奖．现要在获得一等奖的作品中随机抽取两件在全校展出，用树状图或列表法求
抽取的作品来自两个不同班级的概率．【解答】解：（1）第一批所抽取的4个班共征集到作品6÷25%＝24（件），则C班级作品数为24﹣
（4+6+4）＝10（件），∴在扇形统计图中表示C班的扇形的圆心角的度数为360°150°，故答案为：24、150°；（2）补全图
形如下：（3）列表如下：ABBCCDABABACACADABABBBCBCBDBBABBBCBCBDBCACBCBCCCDCCAC
BCBCCCDCDADBDBDCDCD由表可知，共有30种等可能结果，其中抽取的作品来自两个不同班级的有26种结果，∴抽取的作品来
自两个不同班级的概率为．22．（8分）如图，AB是半圆AOB的直径，C是半圆上的一点，AD平分∠BAC交半圆于点D，过点D作DH⊥
AC与AC的延长线交于点H．（1）求证：DH是半圆的切线；（2）若DH＝2，sin∠BAC，求半圆的直径．【解答】（1）证明：连接
OD，∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠OAD，∴∠CAD＝∠ADO，∴AH∥OD，∵DH⊥A
C，∴OD⊥DH，∴DH是半圆的切线；（2）解：连接BC交OD于E，∵AB是半圆AOB的直径，∴∠ACB＝90°，∴四边形CEDH
是矩形，∴CE＝DH＝2，∠DEC＝90°，∴OD⊥BC，∴BC＝2CE＝4，∵sin∠BAC，∴AB＝12，即半圆的直径为12．
四、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）23．（5分）若不等式组恰有四个整数解，则a的取值范围是a．【解答】解：解不
等式2x＜3（x﹣3）+1，得：x＞8，解不等式x+a，得：x＜2﹣4a，∵不等式组有4个整数解，∴12＜2﹣4a≤13，解得：a
，故答案为：a．24．（5分）如图，矩形ABCD中，AD＝12，AB＝8，E是AB上一点，且EB＝3，F是BC上一动点，若将△EB
F沿EF对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距离为10．【解答】解：如图，连接PD，DE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A
＝90°，∵AB＝8，BE＝3，∴AE＝5，∵AD＝12，∴DE13，由折叠得：EB＝EP＝3，∵EP+DP≥ED，∴当E、P、D
共线时，DP最小，∴DP＝DE﹣EP＝13﹣3＝10；故答案为：10．五、解答题（本大题共4小题，共40分）解答应写出文字说明、证
明过程或演算步骤．25．（8分）如图，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P、点Q以相同的速度，同时从点
A、点B出发．（1）如图1，连接AQ、CP．求证：△ABQ≌△CAP；（2）如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，AQ、C
P相交于点M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；（3）如图2，当点P、Q在AB、BC的延长线上运动
时，直线AQ、CP相交于M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．【解答】解：（1）证明：如图1，∵△
ABC是等边三角形∴∠ABQ＝∠CAP＝60°，AB＝CA，又∵点P、Q运动速度相同，∴AP＝BQ，在△ABQ与△CAP中，，∴△
ABQ≌△CAP（SAS）；（2）点P、Q在AB、BC边上运动的过程中，∠QMC不变．理由：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠A
CP，∵∠QMC是△ACM的外角，∴∠QMC＝∠ACP+∠MAC＝∠BAQ+∠MAC＝∠BAC∵∠BAC＝60°，∴∠QMC＝60
°；（3）如图2，点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变理由：同理可得，△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝
∠ACP，∵∠QMC是△APM的外角，∴∠QMC＝∠BAQ+∠APM，∴∠QMC＝∠ACP+∠APM＝180°﹣∠PAC＝180°
﹣60°＝120°，即若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，∠QMC的度数为120°．26．（10分）如图，已知直线
l：y＝﹣x+5．（1）当反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象与直线l在第一象限内至少有一个交点时，求k的取值范围．（2）若反比例
函数y（k＞0，x＞0）的图象与直线l在第一象限内相交于点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x2﹣x1＝3时，求k的值，并根据
图象写出此时关于x的不等式﹣x+5的解集．【解答】解：（1）将直线l的表达式与反比例函数表达式联立并整理得：x2﹣5x+k＝0，由
题意得：△＝25﹣4k≥0，解得：k，故k的取值范围0＜k；（2）设点A（m，﹣m+5），而x2﹣x1＝3，则点B（m+3，﹣m+
2），点A、B都在反比例函数上，故m（﹣m+5）＝（m+3）（﹣m+2），解得：m＝1，故点A、B的坐标分别为（1，4）、（4，1
）；将点A的坐标代入反比例函数表达式并解得：k＝4×1＝4，观察函数图象知，当﹣x+5时，0＜x＜1或x＞4．27．（10分）如图
，⊙O的半径为R，其内接锐角三角形ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c．（1）求证：2R；（2）若∠A＝60°，∠C
＝45°，BC＝4，利用（1）的结论求AB的长和sin∠B的值．【解答】（1）证明：作直径BE，连接CE，如图所示：则∠BCE＝90°，∠E＝∠A，∴sinA＝sinE，∴2R，同理：2R，2R，∴2R；（2）解：由（1）得：，即2R，∴AB4，2R8，过B作BH⊥AC于H，∵∠AHB＝∠BHC＝90°，∴AH＝AB?cos60°＝42，CHBC＝2，∴AC＝AH+CH＝2（），∴sin∠B．28．（12分）如图，二次函数y＝ax2+bx+x的图象过O（0，0）、A（1，0）、B（，）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD的解析式；（3）在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作PQ⊥x轴，交直线CD于Q，当线段PQ的长最大时，求点P的坐标．【解答】解：（1）将点O、A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为：yx2x；（2）由点B的坐标知，直线BO的倾斜角为30°，则OB中垂线（CD）与x负半轴的夹角为60°，故设CD的表达式为：yx+b，而OB中点的坐标为（，），将该点坐标代入CD表达式并解得：b，故直线CD的表达式为：yx；（3）设点P（x，x2x），则点Q（x，x），则PQx（x2x）x2x，∵0，故PQ有最大值，此时点P的坐标为（，）．第23页（共23页） |
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