无穷级数一、数项级数讨论敛散性二、幂级数求收敛范围，将函数展开为幂级数，求和。1.数项级数及收敛定义：给定一个数列 u1,u2,u
3,?,un,? 将各项依?次相加,简记为?un,n?1即称上式为无穷级数，其中第n项un叫做级数的一般项
,级数的前n项和则称无穷级数称为级数的部分和.收敛,并称S为级数的和。等比级数(又称几何级数)(q称为公比)
.级数收敛, 其和为级数发散.a1?q;当q ?1时P-级数? 11? 1??? 1 ??2p 3p np当p?
1收敛，p?1发散。2.无穷级数的基本性质性质1.设c是非零常数，则级数 与有相同的敛散性。若 收敛于S,则收敛于
cS.性质2. 设有两个收敛级数????S??un,??S??un,vnn?1n?1?n?1?(un?v
n)n?1也收敛,其和为S??.则级数说明:性质2表明收敛级数可逐项相加或减.若两级数中一个收敛一个发散,则?(
un?vn)?n?1必发散.(用反证法可证)但若二级数都发散,不一定发散.性质3. 在级数前面加上或去掉有限项,不会影
响级数的敛散性.性质5：设收敛级数 则必有可见: 若级数的一般项不趋于0,则级数必发散.例1.判断下列级数的敛散性:1?
(1)?( ? n)n?11 2??n?1(2)n?2n2 3 1 n ?(3)??(4)?n?1n(n?1
)n?1n?13.正项级数审敛法设是两个正项级数,(比较审敛法)且存在则有(1)若强级数有(常数k>0),对一切
收敛,则弱级数也收敛;也发散.(2)若弱级数发散,则强级数?1例2 判别级数??的敛散性。n(n?1)n?1111??n
?1n(n?1)(n?1)2(比较审敛法的极限形式)设两正项级数满足lim un ?l,则有n?? vn(1)当0
n1解:?lim n1n?1n??1n1n2?根据比较审敛法的极限形式知?sinn?1发散比值审敛法(D’a
lembert判别法)为正项级数,且limun?1??,则设n?? un??1(1)当时,级数收敛;(2)
当??1或???时,级数发散..根值审敛法(Cauchy判别法) 设为正项limnun ??,则级数,
且n??注：??1时上述定理失效n2??n?1例4. 判别级数的敛散性.ne解:(n?1)2en?1limun?1??
limn??n?? unn2en1?n?1?2?1?1?lim? ?en??e?n?n2??en因此级数收敛
.n?14.交错级数及其审敛法设un?0,n?1,2,?,则各项符号正负相间的级数称为交错级数.(Leibn
itz 判别法) 若交错级数满足条件:1) un?un?1 (n?1,2,?);2) limun?0,n???
则级数?(?1)n?1un收敛。n?15.绝对收敛与条件收敛定义:对任意项级数数 绝对收敛；收敛,则称原级若若原级数收敛
,但取绝对值以后的级数发散,则称原级数条件收敛.绝对收敛的级数一定收敛.由绝对收敛概念和莱布尼兹定理知:交错级数???(?1
)n1 npn?1当0?p?1条件收敛;当p?1绝对收敛.? sinn?例5.证明下列级数绝对收敛: ?4
nn?1?sinn? 11?n?1收敛,?? ,证:而n444nn?sinn???收敛4nn?1? sinn?因此?绝对收
敛.4nn?1判断数项级数敛散的方法1、利用已知结论：等比级数、P-级数及级数性质2、利用必要条件：主要判别发散3、求部分和数列
的极限4、正项级数的审敛法比值审敛法（根值审敛法）比较审敛法（或极限形式）5、交错级数审敛法：莱布尼兹定理6、一般级数审敛法：先判
断是否绝对收敛，如果绝对收敛则一定收敛；否则判断是否条件收敛二、求幂级数收敛域1.Abel定理若幂级数?anxnn?0则
对满足不等式?的一切x幂级数都绝对收敛.时该幂级数发散,则对满足不等式反之,若当的一切x,该幂级数也发散.收敛发散
o发 散 x发 散收敛??n在a xx??3处收敛，则该级数例6.已知幂级数nn?0处是收敛还是发散？若收敛，是条件收敛
在x?1还是绝对收敛？x?3 处绝对收敛，解：由Abel定理，该幂级数在故在x?1 绝对收敛。处条件收敛,问该
级数收敛例7.已知半径是多少?答: 根据Abel定理可知,级数在收敛,时发散.故收敛半径为2.求收敛半径则若的系数满足R
? 1?;1)当?≠0时,2)当?＝0时, R??;R?0.3)当?＝∞时,an的收敛半径为R
? limn?? an?1例8..求幂级数的收敛半径及收敛域.1an?lim n 解: R?lim1n?? an?1 n?
?n?1收敛;对端点x=1,级数为交错级数对端点x=－1,级数为发散.故收敛域为(?1,1].的收敛域.例9
.解:令级数变为1an2n?1(n?1)?R? lim? limn?? an?1 n???2?lim2nn 1n2
nn??2n?1(n?1)当t=2时,级数为此级数发散;此级数条件收敛;当t=–2时,级数为因此级数的
收敛域为?2?t?2,故原级数的收敛域为?1?x?3.即三、求函数的幂级数展开式1、对函数作恒等变形（如
果需要的话）2、利用已知结论，用变量代换或求导积分得所求函数的幂级数3、写出收敛范围1?1?x?x2?x3???x
n??(?1,1)1?xx2 xnex ?sinx?(??,??)1?x? ??? ??2! n!x3 x5x2n?
1(??,??)2n?1x? ? ???(?1)3! 5!(2n?1)!??xn?12x?x3x(?1,1]ln
(1?x)?n???(?1)??2 3n?1展开成x?2的幂级数展开式y?1x1例10.求函数1?1?y
?1?x 2?（x?2)解：2 1?x?22(?1)n(x?2)n???x?221??nn?2(?
1) ()2n?1n?0n?0x?2 ?1? x?2?2?0?x?42四、求幂级数的和函数这是幂级数
展开问题的逆问题，利用已知结论或求导积分，求幂级数在收敛域内的和函数。xn ???1 ??n?0x?(?1,1)1?xxn?
?n?0x?ex?(??,??)n!微分方程一、微分方程的基本概念二、解微分方程一、微分方程的基本概念含未知函数及其导数
的方程叫做微分方程.方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶.例如： exy2 ?(1?2x)y?(1?x2
)y??2xy?一阶微分方程二阶微分方程微分方程的解 — 使方程成为恒等式的函数.通解— 解中所含独立的任意常数的个数与方
程的阶数相同.特解—不含任意常数的解,其图形称为积分曲线.定解条件 — 确定通解中任意常数的条件.初始条件(或边值条件):
例1.验证函数(C1,C2为常数)d2x是微分方程22k x?0的解.dt2d x解: dt2?k2x2k x?
?k2x?kx2 ?0x?C1coskt?C2sinkt是方程的解.二、解微分方程一阶微分方程可分离变
量，一阶线性高阶微分方程可降阶微分方程，二阶线性微分方程解的结构，二阶线性常系数齐次微分方程求解。分离变量方程的解法:①g(
y)dy? f(x)dx(1)分离变量??f(x)dx(2)两边积分②(3)得到通解称②为方程①的隐式通解,或通
积分.的通解.例2.求微分方程解: 分离变量得dy?3x2dxy因此可能增、两边积分减解.ln y ?x3?
ln C得即(C为任意常数)一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式: dy?P(x)y?Q(x)dx称为齐次方
程;称为非齐次方程.若Q(x)?0,若Q(x)?0,????????P(x)dxP(x)dx?y?
eQ(x)e dx?C例3.求方程y??1y?sinx的通解.x x解Q(x)?sinx,P(
x)?1,xx利用一阶线性方程的通解公式得：???1dx?sinx?1dx??y?e?e dx?C
?xx??x??sinx???lnxlnx?e?e dx?C???x? ?? 1??sinxdx?C
? ?1??cosx?C?.xxy(n) ? f(x)型的微分方程令z?y(n?1),z??f
(x)dx?C1因此即y(n?2)???????dx?C2?dx ?C1x?C2同理可得依次通过n次
积分,可得含n个任意常数的通解.y???e2x?cosx例5.求解?e2xcosx?dx?C解:
?y??1?1e2x2sinx?C1cosx ?C1x?C2y?1e2x4y?? f(x,y?
) 型的微分方程设y??p(x),原方程化为一阶方程p??(x,C1)y???(x,C1)设其通解为则得
再一次积分,得原方程的通解y???(x,C1)dx?C2(1?x2)y??2xy?例6.求解y?y x
?0?1,x?0?3代入方程得解:分离变量(1?x2)p??2xp积分得ln p ?ln(1?
x2)?lnC1 ,利用y? x?0?3,得C1?3,于是有y??3(1?x2)y?x3
?3x?C2两端再积分得x?0?1,得C2?1,因此所求特解为y?x3?3x?1利用y
y?? f(y,y?)型的微分方程令y??p(y),则y??dp?dp?dydy d
xdx故方程化为设其通解为p??(y,C1),即得分离变量后积分,得原方程的通解例7.求解解:则y??d
p ?dpdy ?pdpdx dydx dy代入方程得两端积分得lnp ?lny?lnC1 ,
即p?C1y,故所求通解为二阶线性齐次方程解的结构是二阶线性齐次方程的两个线定理1.性无关特解,则y?C1y
1(x)?C2y2(x)数)是该方程的通解.例如,方程 有特解且y2?tanx? 常数, 故方程的通解为y1二
阶线性常系数齐次微分方程求解y??py??qy?0 (p,q为常数)特征方程:r2?pr?q?0
,特征根 通解r xr x实根y?CeC e121 2r xy?(C ?C x)e11 2y?e?x(
C1cos?x?C2sin?x)例9. 求方程y??2y??3y?0的通解.解: 特征方程
r2?2r?3?0,特征根: r1??1,r2?3,因此原方程的通解为d2s? ds2 ?
s?0dtdt2例10.求解初值问题ds??2 st?0 ?4,dt t?0解:特征方程
r2?2r?1?0有重根r1?r2??1,因此原方程的通解为利用初始条件得s?(C1?C2
t)e?tC1?4, C2?2于是所求初值问题的解为的通解.例11.r2?2r?5?0,解: 特征方程特征根:r1,2 ?1?2i因此原方程通解为y?ex(C cos2x?C sin2x)3 4例12. 写出以y?3xe2x为一个特解的二阶常系数齐次线性方程.是一个特解，所以??2 是特征解：因y?3xe2x方程的重根，故特征方程为：(r?2)2 ?0?r2?4r?4?0所对应微分方程为y??4y??4y?0二阶线性非齐次方程解的结构设y(x)是二阶非齐次方程定理2.①的一个特解,Y(x)是相应齐次方程的通解,则y?Y(x)?y(x)是非齐次方程的通解.② |
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