2020年河北省中考数学试卷一、选择题（本大题有16个小题，共42分．1～10小题各3分，11～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）1．（3分）（2020?河北）如图，在平面内作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有（）A．0条B．1条C
．2条D．无数条2．（3分）（2020?河北）墨迹覆盖了等式“x3x＝x2（x≠0）”中的运算符号，则覆盖的是（）A．+B．﹣
C．×D．÷3．（3分）（2020?河北）对于①x﹣3xy＝x（1﹣3y），②（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，从左到右的变形
，表述正确的是（）A．都是因式分解B．都是乘法运算C．①是因式分解，②是乘法运算D．①是乘法运算，②是因式分解4．（3分）（2
020?河北）如图的两个几何体分别由7个和6个相同的小正方体搭成，比较两个几何体的三视图，正确的是（）A．仅主视图不同B．仅俯
视图不同C．仅左视图不同D．主视图、左视图和俯视图都相同5．（3分）（2020?河北）如图是小颖前三次购买苹果单价的统计图，第四次
又买的苹果单价是a元/千克，发现这四个单价的中位数恰好也是众数，则a＝（）A．9B．8C．7D．66．（3分）（2020?河北
）如图1，已知∠ABC，用尺规作它的角平分线．如图2，步骤如下，第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E
；第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P；第三步：画射线BP．射线BP即为所求．下列正确的是（
）A．a，b均无限制B．a＞0，bDE的长C．a有最小限制，b无限制D．a≥0，bDE的长7．（3分）（2020?河北）若a≠b，
则下列分式化简正确的是（）A．B．C．D．8．（3分）（2020?河北）在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的
位似图形是（）A．四边形NPMQB．四边形NPMRC．四边形NHMQD．四边形NHMR9．（3分）（2020?河北）若8×10
×12，则k＝（）A．12B．10C．8D．610．（3分）（2020?河北）如图，将△ABC绕边AC的中点O顺时针旋转180
°．嘉淇发现，旋转后的△CDA与△ABC构成平行四边形，并推理如下：小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵CB＝AD，”和“∴
四边形…”之间作补充，下列正确的是（）A．嘉淇推理严谨，不必补充B．应补充：且AB＝CDC．应补充：且AB∥CDD．应补充：且
OA＝OC11．（2分）（2020?河北）若k为正整数，则（）A．k2kB．k2k+1C．2kkD．k2+k12．（2分）（2
020?河北）如图，从笔直的公路l旁一点P出发，向西走6km到达l；从P出发向北走6km也到达l．下列说法错误的是（）A．从点
P向北偏西45°走3km到达lB．公路l的走向是南偏西45°C．公路l的走向是北偏东45°D．从点P向北走3km后，再向西走3km
到达l13．（2分）（2020?河北）已知光速为300000千米/秒，光经过t秒（1≤t≤10）传播的距离用科学记数法表示为a×1
0n千米，则n可能为（）A．5B．6C．5或6D．5或6或714．（2分）（2020?河北）有一题目：“已知：点O为△ABC的
外心，∠BOC＝130°，求∠A．”嘉嘉的解答为：画△ABC以及它的外接圆O，连接OB，OC．如图，由∠BOC＝2∠A＝130°，
得∠A＝65°．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠A还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是（）A．淇淇说的对，且∠A的另一个值
是115°B．淇淇说的不对，∠A就得65°C．嘉嘉求的结果不对，∠A应得50°D．两人都不对，∠A应有3个不同值15．（2分）（2
020?河北）如图，现要在抛物线y＝x（4﹣x）上找点P（a，b），针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，甲：若b＝5
，则点P的个数为0；乙：若b＝4，则点P的个数为1；丙：若b＝3，则点P的个数为1．下列判断正确的是（）A．乙错，丙对B．甲和
乙都错C．乙对，丙错D．甲错，丙对16．（2分）（2020?河北）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．
现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三
角形，则选取的三块纸片的面积分别是（）A．1，4，5B．2，3，5C．3，4，5D．2，2，4二、填空题（本大题有3个小题，共
12分．17～18小题各3分；19小题有3个空，每空2分）17．（3分）（2020?河北）已知：ab，则ab＝．18．（3分）（
2020?河北）正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍，则n＝．19．（6分）（2020?河北）如图是8个台阶的示意图，每个
台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作Tm（m为1～8的整数）．函数y（x＜0）的图象为曲线L．（1）若L过点T1，
则k＝；（2）若L过点T4，则它必定还过另一点Tm，则m＝；（3）若曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则
k的整数值有个．三、解答题（本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．（8分）（2020?河北）
已知两个有理数：﹣9和5．（1）计算：；（2）若再添一个负整数m，且﹣9，5与m这三个数的平均数仍小于m，求m的值．21．（8分）
（2020?河北）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上a2，同时B区就会自动减去3a，且均显示化简后的结果．已知A，
B两区初始显示的分别是25和﹣16，如图．如，第一次按键后，A，B两区分别显示：（1）从初始状态按2次后，分别求A，B两区显示的结
果；（2）从初始状态按4次后，计算A，B两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由．22．（9分）（2020?河北）如图，点
O为AB中点，分别延长OA到点C，OB到点D，使OC＝OD．以点O为圆心，分别以OA，OC为半径在CD上方作两个半圆．点P为小半圆
上任一点（不与点A，B重合），连接OP并延长交大半圆于点E，连接AE，CP．（1）①求证：△AOE≌△POC；②写出∠l，∠2和∠
C三者间的数量关系，并说明理由．（2）若OC＝2OA＝2，当∠C最大时，直接指出CP与小半圆的位置关系，并求此时S扇形EOD（答案
保留π）．23．（9分）（2020?河北）用承重指数w衡量水平放置的长方体木板的最大承重量．实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的
木板，实验发现：木板承重指数W与木板厚度x（厘米）的平方成正比，当x＝3时，W＝3．（1）求W与x的函数关系式．（2）如图，选一块
厚度为6厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板（不计分割损耗）．设薄板的厚度为x（厘米），Q＝W厚﹣W薄．①求Q与
x的函数关系式；②x为何值时，Q是W薄的3倍？[注：（1）及（2）中的①不必写x的取值范围]24．（10分）（2020?河北）表格
中的两组对应值满足一次函数y＝kx+b，现画出了它的图象为直线l，如图．而某同学为观察k，b对图象的影响，将上面函数中的k与b交换
位置后得另一个一次函数，设其图象为直线l''．x﹣10y﹣21（1）求直线l的解析式；（2）请在图上画出直线l''（不要求列表计算）
，并求直线l''被直线l和y轴所截线段的长；（3）设直线y＝a与直线l，l′及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写
出a的值．25．（10分）（2020?河北）如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴﹣3和5的位置上，沿数轴做移动游戏．每次移动游戏规
则：裁判先捂住一枚硬币，再让两人猜向上一面是正是反，而后根据所猜结果进行移动．①若都对或都错，则甲向东移动1个单位，同时乙向西移动
1个单位；②若甲对乙错，则甲向东移动4个单位，同时乙向东移动2个单位；③若甲错乙对，则甲向西移动2个单位，同时乙向西移动4个单位．
（1）经过第一次移动游戏，求甲的位置停留在正半轴上的概率P；（2）从如图的位置开始，若完成了10次移动游戏，发现甲、乙每次所猜结果
均为一对一错．设乙猜对n次，且他最终停留的位置对应的数为m，试用含n的代数式表示m，并求该位置距离原点O最近时n的值；（3）从如图
的位置开始，若进行了k次移动游戏后，甲与乙的位置相距2个单位，直接写出k的值．26．（12分）（2020?河北）如图1和图2，在△
ABC中，AB＝AC，BC＝8，tanC．点K在AC边上，点M，N分别在AB，BC上，且AM＝CN＝2．点P从点M出发沿折线MB﹣
BN匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持∠APQ＝∠B．（1）当点P在BC上时，求点P与点A的最短距离；
（2）若点P在MB上，且PQ将△ABC的面积分成上下4：5两部分时，求MP的长；（3）设点P移动的路程为x，当0≤x≤3及3≤x≤
9时，分别求点P到直线AC的距离（用含x的式子表示）；（4）在点P处设计并安装一扫描器，按定角∠APQ扫描△APQ区域（含边界），
扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒．若AK，请直接写出点K被扫描到的总时长．2020年河北省中考数学试卷参考答案与试题解析一、
选择题（本大题有16个小题，共42分．1～10小题各3分，11～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
）1．（3分）（2020?河北）如图，在平面内作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有（）A．0条B．1条C．2条D．无数条【解答
】解：在平面内，与已知直线垂直的直线有无数条，所以作已知直线的垂线，可作无数条．故选：D．2．（3分）（2020?河北）墨迹覆盖了
等式“x3x＝x2（x≠0）”中的运算符号，则覆盖的是（）A．+B．﹣C．×D．÷【解答】解：∵x3x＝x2（x≠0），∴覆盖
的是：÷．故选：D．3．（3分）（2020?河北）对于①x﹣3xy＝x（1﹣3y），②（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，从左到
右的变形，表述正确的是（）A．都是因式分解B．都是乘法运算C．①是因式分解，②是乘法运算D．①是乘法运算，②是因式分解【解答】
解：①x﹣3xy＝x（1﹣3y），从左到右的变形是因式分解；②（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，从左到右的变形是整式的乘法，不
是因式分解；所以①是因式分解，②是乘法运算．故选：C．4．（3分）（2020?河北）如图的两个几何体分别由7个和6个相同的小正方体
搭成，比较两个几何体的三视图，正确的是（）A．仅主视图不同B．仅俯视图不同C．仅左视图不同D．主视图、左视图和俯视图都相同【解
答】解：从正面看，两个几何体均为第一层和第二层都是两个小正方形，故主视图相同；从左面看，两个几何体均为第一层和第二层都是两个小正方
形，故左视图相同；从上面看，两个几何体均为第一层和第二层都是两个小正方形，故俯视图相同．故选：D．5．（3分）（2020?河北）如
图是小颖前三次购买苹果单价的统计图，第四次又买的苹果单价是a元/千克，发现这四个单价的中位数恰好也是众数，则a＝（）A．9B．
8C．7D．6【解答】解：由统计图可知，前三次的中位数是8，∵第四次又买的苹果单价是a元/千克，这四个单价的中位数恰好也是众数，∴
a＝8，故选：B．6．（3分）（2020?河北）如图1，已知∠ABC，用尺规作它的角平分线．如图2，步骤如下，第一步：以B为圆心，
以a为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E；第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P；第三步：画
射线BP．射线BP即为所求．下列正确的是（）A．a，b均无限制B．a＞0，bDE的长C．a有最小限制，b无限制D．a≥0，bD
E的长【解答】解：以B为圆心画弧时，半径a必须大于0，分别以D，E为圆心，以b为半径画弧时，b必须大于DE，否则没有交点，故选：B
．7．（3分）（2020?河北）若a≠b，则下列分式化简正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：∵a≠b，∴，故选项A错误；，
故选项B错误；，故选项C错误；，故选项D正确；故选：D．8．（3分）（2020?河北）在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形
ABCD的位似图形是（）A．四边形NPMQB．四边形NPMRC．四边形NHMQD．四边形NHMR【解答】解：∵以点O为位似中心
，∴点C对应点M，设网格中每个小方格的边长为1，则OC，OM2，OD，OB，OA，OR，OQ＝2，OP2，OH3，ON2，∵2，∴
点D对应点Q，点B对应点P，点A对应点N，∴以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是四边形NPMQ，故选：A．9．（3分）（2
020?河北）若8×10×12，则k＝（）A．12B．10C．8D．6【解答】解：方程两边都乘以k，得（92﹣1）（112﹣1
）＝8×10×12k，∴（9+1）（9﹣1）（11+1）（11﹣1）＝8×10×12k，∴80×120＝8×10×12k，∴k＝1
0．经检验k＝10是原方程的解．故选：B．10．（3分）（2020?河北）如图，将△ABC绕边AC的中点O顺时针旋转180°．嘉淇
发现，旋转后的△CDA与△ABC构成平行四边形，并推理如下：小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵CB＝AD，”和“∴四边形…
”之间作补充，下列正确的是（）A．嘉淇推理严谨，不必补充B．应补充：且AB＝CDC．应补充：且AB∥CDD．应补充：且OA＝O
C【解答】解：∵CB＝AD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故选：B．11．（2分）（2020?河北）若k为正整数，则（
）A．k2kB．k2k+1C．2kkD．k2+k【解答】解：（（k?k）k＝（k2）k＝k2k，故选：A．12．（2分）（20
20?河北）如图，从笔直的公路l旁一点P出发，向西走6km到达l；从P出发向北走6km也到达l．下列说法错误的是（）A．从点P
向北偏西45°走3km到达lB．公路l的走向是南偏西45°C．公路l的走向是北偏东45°D．从点P向北走3km后，再向西走3km到
达l【解答】解：如图，由题意可得△PAB是腰长6km的等腰直角三角形，则AB＝6km，则PC＝3km，则从点P向北偏西45°走3k
m到达l，选项A错误；则公路l的走向是南偏西45°或北偏东45°，选项B，C正确；则从点P向北走3km后，再向西走3km到达l，选
项D正确．故选：A．13．（2分）（2020?河北）已知光速为300000千米/秒，光经过t秒（1≤t≤10）传播的距离用科学记数
法表示为a×10n千米，则n可能为（）A．5B．6C．5或6D．5或6或7【解答】解：当t＝1时，光传播的距离为1×30000
0＝300000＝3×105（千米），则n＝5；当t＝10时，光传播的距离为10×300000＝3000000＝3×106（千米
），则n＝6．因为1≤t≤10，所以n可能为5或6，故选：C．14．（2分）（2020?河北）有一题目：“已知：点O为△ABC的
外心，∠BOC＝130°，求∠A．”嘉嘉的解答为：画△ABC以及它的外接圆O，连接OB，OC．如图，由∠BOC＝2∠A＝130°，
得∠A＝65°．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠A还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是（）A．淇淇说的对，且∠A的另一个值
是115°B．淇淇说的不对，∠A就得65°C．嘉嘉求的结果不对，∠A应得50°D．两人都不对，∠A应有3个不同值【解答】解：如图所
示：∠A还应有另一个不同的值∠A′与∠A互补．故∠A′＝180°﹣65°＝115°．故选：A．15．（2分）（2020?河北）如图
，现要在抛物线y＝x（4﹣x）上找点P（a，b），针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，甲：若b＝5，则点P的个数为0
；乙：若b＝4，则点P的个数为1；丙：若b＝3，则点P的个数为1．下列判断正确的是（）A．乙错，丙对B．甲和乙都错C．乙对，丙
错D．甲错，丙对【解答】解：y＝x（4﹣x）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，∴抛物线的顶点坐标为（2，4），∴在抛物线上的点P
的纵坐标最大为4，∴甲、乙的说法正确；若b＝3，则抛物线上纵坐标为3的点有2个，∴丙的说法不正确；故选：C．16．（2分）（202
0?河北）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其
中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（）A．1，4，5
B．2，3，5C．3，4，5D．2，2，4【解答】解：当选取的三块纸片的面积分别是1，4，5时，围成的直角三角形的面积是，当选取的
三块纸片的面积分别是2，3，5时，围成的直角三角形的面积是；当选取的三块纸片的面积分别是3，4，5时，围成的三角形不是直角三角形；
当选取的三块纸片的面积分别是2，2，4时，围成的直角三角形的面积是，∵，∴所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的
面积分别是2，3，5，故选：B．二、填空题（本大题有3个小题，共12分．17～18小题各3分；19小题有3个空，每空2分）17．（
3分）（2020?河北）已知：ab，则ab＝6．【解答】解：原式＝3ab，故a＝3，b＝2，则ab＝6．故答案为：6．18．（
3分）（2020?河北）正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍，则n＝12．【解答】解：正六边形的一个内角为：，∵正六边形
的一个内角是正n边形一个外角的4倍，∴正n边形一个外角为：120°÷4＝30°，∴n＝360°÷30°＝12．故答案为：12．19
．（6分）（2020?河北）如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作Tm（m为1～8的整数
）．函数y（x＜0）的图象为曲线L．（1）若L过点T1，则k＝﹣16；（2）若L过点T4，则它必定还过另一点Tm，则m＝5
；（3）若曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则k的整数值有7个．【解答】解：（1）∵每个台阶的高和宽分别
是1和2，∴T1（﹣16，1），T2（﹣14，2），T3（﹣12，3），T4（﹣10，4），T5（﹣8，5），T6（﹣6，6），T
7（﹣4，7），T8（﹣2，8），∵L过点T1，∴k＝﹣16×1＝﹣16，故答案为：﹣16；（2）∵L过点T4，∴k＝﹣10×4＝
﹣40，∴反比例函数解析式为：y，当x＝﹣8时，y＝5，∴T5在反比例函数图象上，∴m＝5，故答案为：5；（3）若曲线L过点T1（
﹣16，1），T8（﹣2，8）时，k＝﹣16，若曲线L过点T2（﹣14，2），T7（﹣4，7）时，k＝﹣14×2＝﹣28，若曲线L
过点T3（﹣12，3），T5（﹣8，5）时，k＝﹣12×3＝﹣36，若曲线L过点T4（﹣10，4），T5（﹣8，5）时，k＝﹣40
，∵曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，∴﹣36＜k＜﹣28，∴整数k＝﹣35，﹣34，﹣33，﹣32，﹣31
，﹣30，﹣29共7个，∴答案为：7．三、解答题（本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．（8分
）（2020?河北）已知两个有理数：﹣9和5．（1）计算：；（2）若再添一个负整数m，且﹣9，5与m这三个数的平均数仍小于m，求m
的值．【解答】解：（1）2；（2）根据题意得，m，∴﹣4+m＜3m，∴m﹣3m＜4，∴﹣2m＜4，∴m＞﹣2，∵m是负整数，∴m＝
﹣1．21．（8分）（2020?河北）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上a2，同时B区就会自动减去3a，且均显示化
简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是25和﹣16，如图．如，第一次按键后，A，B两区分别显示：（1）从初始状态按2次后，分别
求A，B两区显示的结果；（2）从初始状态按4次后，计算A，B两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由．【解答】解：（1）A
区显示的结果为：25+2a2，B区显示的结果为：﹣16﹣6a；（2）这个和不能为负数，理由：根据题意得，25+4a2+（﹣16﹣1
2a）＝25+4a2﹣16﹣12a＝4a2﹣12a+9；∵（2a﹣3）2≥0，∴这个和不能为负数．22．（9分）（2020?河北）
如图，点O为AB中点，分别延长OA到点C，OB到点D，使OC＝OD．以点O为圆心，分别以OA，OC为半径在CD上方作两个半圆．点P
为小半圆上任一点（不与点A，B重合），连接OP并延长交大半圆于点E，连接AE，CP．（1）①求证：△AOE≌△POC；②写出∠l，
∠2和∠C三者间的数量关系，并说明理由．（2）若OC＝2OA＝2，当∠C最大时，直接指出CP与小半圆的位置关系，并求此时S扇形EO
D（答案保留π）．【解答】解：（1）①在△AOE和△POC中，，∴△AOE≌△POC（SAS）；②∵△AOE≌△POC，∴∠E＝∠
C，∵∠1+∠E＝∠2，∴∠1+∠C＝∠2；（2）当∠C最大时，CP与小半圆相切，如图，∵OC＝2OA＝2，∴OC＝2OP，∵CP
与小半圆相切，∴∠OPC＝90°，∴∠OCP＝30°，∴∠DOE＝∠OPC+∠OCP＝120°，∴．23．（9分）（2020?河北
）用承重指数w衡量水平放置的长方体木板的最大承重量．实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板承重指数W与木板厚度
x（厘米）的平方成正比，当x＝3时，W＝3．（1）求W与x的函数关系式．（2）如图，选一块厚度为6厘米的木板，把它分割成与原来同长
同宽但薄厚不同的两块板（不计分割损耗）．设薄板的厚度为x（厘米），Q＝W厚﹣W薄．①求Q与x的函数关系式；②x为何值时，Q是W薄的
3倍？[注：（1）及（2）中的①不必写x的取值范围]【解答】解：（1）设W＝kx2（k≠0）．∵当x＝3时，W＝3，∴3＝9k，解
得k，∴W与x的函数关系式为Wx2；（2）①设薄板的厚度为x厘米，则厚板的厚度为（6﹣x）厘米，∴Q＝W厚﹣W薄（6﹣x）2x2＝
﹣4x+12，即Q与x的函数关系式为Q＝﹣4x+12；②∵Q是W薄的3倍，∴﹣4x+12＝3x2，整理得，x2+4x﹣12＝0，解
得，x1＝2，x2＝﹣6（不合题意舍去），故x为2时，Q是W薄的3倍．24．（10分）（2020?河北）表格中的两组对应值满足一次
函数y＝kx+b，现画出了它的图象为直线l，如图．而某同学为观察k，b对图象的影响，将上面函数中的k与b交换位置后得另一个一次函数
，设其图象为直线l''．x﹣10y﹣21（1）求直线l的解析式；（2）请在图上画出直线l''（不要求列表计算），并求直线l''被直线l
和y轴所截线段的长；（3）设直线y＝a与直线l，l′及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写出a的值．【解答】解：
（1）∵直线l：y＝kx+b中，当x＝﹣1时，y＝﹣2；当x＝0时，y＝1，∴，解得，∴直线l的解析式为y＝3x+1；∴直线l′的
解析式为y＝x+3；（2）如图，解得，∴两直线的交点为（1，4），∵直线l′：y＝x+3与y轴的交点为（0，3），∴直线l''被直线
l和y轴所截线段的长为：；（3）把y＝a代入y＝3x+1得，a＝3x+1，解得x；把y＝a代入y＝x+3得，a＝x+3，解得x＝a
﹣3；当a﹣30时，a，当（a﹣3+0）时，a＝7，当（0）＝a﹣3时，a，∴直线y＝a与直线l，l′及y轴有三个不同的交点，且其
中两点关于第三点对称，则a的值为或7或．25．（10分）（2020?河北）如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴﹣3和5的位置上，沿
数轴做移动游戏．每次移动游戏规则：裁判先捂住一枚硬币，再让两人猜向上一面是正是反，而后根据所猜结果进行移动．①若都对或都错，则甲向
东移动1个单位，同时乙向西移动1个单位；②若甲对乙错，则甲向东移动4个单位，同时乙向东移动2个单位；③若甲错乙对，则甲向西移动2个
单位，同时乙向西移动4个单位．（1）经过第一次移动游戏，求甲的位置停留在正半轴上的概率P；（2）从如图的位置开始，若完成了10次移
动游戏，发现甲、乙每次所猜结果均为一对一错．设乙猜对n次，且他最终停留的位置对应的数为m，试用含n的代数式表示m，并求该位置距离原
点O最近时n的值；（3）从如图的位置开始，若进行了k次移动游戏后，甲与乙的位置相距2个单位，直接写出k的值．【解答】解：（1）∵经
过第一次移动游戏，甲的位置停留在正半轴上，∴必须甲对乙错，因为一共有四种情形，都对或都错，甲对乙错，甲错乙对，∴P甲对乙错．（2）
由题意m＝5﹣4n+2（10﹣n）＝25﹣6n．n＝4时，离原点最近．（3）不妨设甲连续k次正确后两人相距2个单位，则有|8+2k
﹣4k|＝2，解得k＝3或5．如果k次中，有1次两人都对都错，则有|6+2（k﹣1）﹣4（k﹣1）|＝2，解得k＝3或5，如果k次
中，有2次两人都对都错，则有|4+2（k﹣2）﹣4（k﹣2）|＝2，解得k＝3或5，…，综上所述，满足条件的k的值为3或5．26．
（12分）（2020?河北）如图1和图2，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，tanC．点K在AC边上，点M，N分别在AB，BC上
，且AM＝CN＝2．点P从点M出发沿折线MB﹣BN匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持∠APQ＝∠B．（
1）当点P在BC上时，求点P与点A的最短距离；（2）若点P在MB上，且PQ将△ABC的面积分成上下4：5两部分时，求MP的长；（3
）设点P移动的路程为x，当0≤x≤3及3≤x≤9时，分别求点P到直线AC的距离（用含x的式子表示）；（4）在点P处设计并安装一扫描器，按定角∠APQ扫描△APQ区域（含边界），扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒．若AK，请直接写出点K被扫描到的总时长．【解答】解：（1）如图1中，过点A作AH⊥BC于H．∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝CH＝4，∠B＝∠C，∴tan∠B＝tan∠C，∴AH＝3，AB＝AC5．∴当点P在BC上时，点P到A的最短距离为3．（2）如图1中，∵∠APQ＝∠B，∴PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，∵PQ将△ABC的面积分成上下4：5，∴（）2，∴，∴AP，∴PM＝AP＝AM2．（3）当0≤x≤3时，如图1﹣1中，过点P作PJ⊥CA交CA的延长线于J．∵PQ∥BC，∴，∠AQP＝∠C，∴，∴PQ（x+2），∵sin∠AQP＝sin∠C，∴PJ＝PQ?sin∠AQP（x+2）．当3≤x≤9时，如图2中，过点P作PJ⊥AC于J．同法可得PJ＝PC?sin∠C（11﹣x）．（4）由题意点P的运动速度单位长度/秒．当3＜x≤9时，设CQ＝y．∵∠APC＝∠B+∠BAP＝∠APQ+∠CPQ，∠APQ＝∠B，∴∠BAP＝∠CPQ，∵∠B＝∠C，∴△ABP∽△PCQ，∴，∴，∴y（x﹣7）2，∵0，∴x＝7时，y有最大值，最大值，∵AK，∴CK＝5当y时，（x﹣7）2，解得x＝7±，∴点K被扫描到的总时长＝（6﹣3）23秒．方法二：①点P在AB上的时候，有11/4个单位长度都能扫描到点K；②在BN阶段，当x在3～5.5（即7﹣1.5）的过程，是能扫到K点的，在5.5～8.5（即7+1.5）的过程是扫不到点K的，但在8.5～9（即点M到N全部的路程）能扫到点K．所以扫到的时间是[（9﹣8.5）+（5.5﹣3）]23（秒）．第26页（共26页） |
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