2020年黑龙江省牡丹江市中考数学试卷一、填空题（每小题3分，满分24分）1．（3分）新冠肺炎疫情期间，全国各地约42000名医护人员驰援湖
北．请将数42000用科学记数法表示为．2．（3分）如图，在四边形ABCD中，连接AC，∠ACB＝∠CAD．请你添加一个条件，
使AB＝CD．（填一种情况即可）3．（3分）若一组数据21，14，x，y，9的众数和中位数分别是21和15，则这组数据的平均数为
．4．（3分）某种商品每件的进价为120元，标价为180元．为了拓展销路，商店准备打折销售．若使利润率为20%，则商店应打折．5
．（3分）AB是⊙O的弦，OM⊥AB，垂足为M，连接OA．若△AOM中有一个角是30°，OM＝2，则弦AB的长为．6．（3分）将
抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后，经过点（﹣2，5），则8a﹣4b﹣11的值是．7．（3分）如图，在Rt△ABC
中，∠C＝90°，点E在AC边上．将∠A沿直线BE翻折，点A落在点A''处，连接A''B，交AC于点F．若A''E⊥AE，cosA，则
．8．（3分）如图，在Rt△ABC中，CA＝CB，M是AB的中点，点D在BM上，AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EM
．则下列结论中：①BF＝CE；②∠AEM＝∠DEM；③AE﹣CEME；④DE2+DF2＝2DM2；⑤若AE平分∠BAC，则EF：B
F：1；⑥CF?DM＝BM?DE，正确的有．（只填序号）二、选择题（每小题3分，满分36分）9．（3分）下列运算正确的是（）
A．a2?a5＝a10B．（a﹣2）2＝a2﹣4C．a6÷a2＝a3D．（﹣a2）4＝a810．（3分）下列图形是中心对称图形的是
（）A．B．C．D．11．（3分）在函数y中，自变量x的取值范围是（）A．x≠3B．x≥0C．x≥3D．x＞312．（3分
）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最少是（）A．6B．5C．4D．
313．（3分）在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．若随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一
个小球，则两次取出小球标号的和等于5的概率为（）A．B．C．D．14．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD．若，∠
BDC＝50°，则∠ADC的度数是（）A．125°B．130°C．135°D．140°15．（3分）一列数1，5，11，19…
按此规律排列，第7个数是（）A．37B．41C．55D．7116．（3分）如图，点A在反比例函数y1（x＞0）的图象上，过点A
作AB⊥x轴，垂足为B，交反比例函数y2（x＞0）的图象于点C．P为y轴上一点，连接PA，PC．则△APC的面积为（）A．5B
．6C．11D．1217．（3分）若关于x的方程0的解为正数，则m的取值范围是（）A．m＜2B．m＜2且m≠0C．m＞2D．m
＞2且m≠418．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD对角线BD的中点，AD∥x轴且AD＝4，∠A＝60°，将菱形A
BCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是（）A．（0，2）B．（2，﹣4）C．（2，0）D．（0，2）
或（0，﹣2）19．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点E在BC边上，DF⊥AE，垂足为F．若DF＝6，则线段
EF的长为（）A．2B．3C．4D．520．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴交
于点C．若点B（4，0），则下列结论中，正确的个数是（）①abc＞0；②4a+b＞0；③M（x1，y1）与N（x2，y2）是抛
物线上两点，若0＜x1＜x2，则y1＞y2；④若抛物线的对称轴是直线x＝3，m为任意实数，则a（m﹣3）（m+3）≤b（3﹣m）；
⑤若AB≥3，则4b+3c＞0．A．5B．4C．3D．2三、解答题（满分60分）21．（5分）先化简，再求值：（1），其中x＝﹣t
an45°．22．（6分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为P．已知B（1，0），
C（0，﹣3）．请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式，并直接写出点P的坐标；（2）抛物线的对称轴与x轴交于点E，连接AP，AP的
垂直平分线交直线PE于点M，则线段EM的长为．注：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x，顶点坐标是（，）．23．
（6分）在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，S△ABC＝6．以BC为边作周长为18的矩形BCDE，M，N分别为AC，CD的中点，连
接MN．请你画出图形，并直接写出线段MN的长．24．（7分）某中学为了了解本校学生对排球、篮球、毽球、羽毛球和跳绳五项“大课间”活
动的喜欢情况，随机抽查了部分学生进行问卷调查（每名学生只选择一项），将调查结果整理并绘制成如图所示不完整的统计图表．请结合统计图表
解答下列问题：抽样调查学生喜欢大课间活动人数的统计表项目人数A排球6B篮球mC毽球10D羽毛球4E跳绳18（1）本次抽样调查的学生
有人，请补全条形统计图；（2）求扇形统计图中，喜欢毽球活动的学生人数所对应圆心角的度数；（3）全校有学生1800人，估计全校喜欢
跳绳活动的学生人数是多少？25．（8分）在一条公路上依次有A，B，C三地，甲车从A地出发，驶向C地，同时乙车从C地出发驶向B地，到
达B地停留0.5小时后，按原路原速返回C地，两车匀速行驶，甲车比乙车晚1.5小时到达C地．两车距各自出发地的路程y（千米）与时间x
（小时）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题：（1）甲车行驶速度是千米1时，B，C两地的路程为千米；（2）求乙车
从B地返回C地的过程中，y（千米）与x（小时）之间的函数关系式（不需要写出自变量x的取值范围）；（3）出发多少小时，行驶中的两车之
间的路程是15千米？请你直接写出答案．26．（8分）在等腰△ABC中，AB＝BC，点D，E在射线BA上，BD＝DE，过点E作EF∥
BC，交射线CA于点F．请解答下列问题：（1）当点E在线段AB上，CD是△ACB的角平分线时，如图①，求证：AE+BC＝CF；（提
示：延长CD，FE交于点M．）（2）当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的角平分线时，如图②；当点E在线段BA的延长线上，C
D是△ACB的外角平分线时，如图③，请直接写出线段AE，BC，CF之间的数量关系，不需要证明；（3）在（1）、（2）的条件下，若D
E＝2AE＝6，则CF＝．27．（10分）某商场准备购进A，B两种书包，每个A种书包比B种书包的进价少20元，用700元购进A种
书包的个数是用450元购进B种书包个数的2倍，A种书包每个标价是90元，B种书包每个标价是130元．请解答下列问题：（1）A，B两
种书包每个进价各是多少元？（2）若该商场购进B种书包的个数比A种书包的2倍还多5个，且A种书包不少于18个，购进A，B两种书包的总
费用不超过5450元，则该商场有哪几种进货方案？（3）该商场按（2）中获利最大的方案购进书包，在销售前，拿出5个书包赠送给某希望小
学，剩余的书包全部售出，其中两种书包共有4个样品，每种样品都打五折，商场仍获利1370元．请直接写出赠送的书包和样品中，B种书包各
有几个？28．（10分）如图，已知直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，线段OA的长是方程x2﹣7x﹣18＝0的一个根，OBOA
．请解答下列问题：（1）求点A，B的坐标；（2）直线EF交x轴负半轴于点E，交y轴正半轴于点F，交直线AB于点C．若C是EF的中点
，OE＝6，反比例函数y图象的一支经过点C，求k的值；（3）在（2）的条件下，过点C作CD⊥OE，垂足为D，点M在直线AB上，点N
在直线CD上．坐标平面内是否存在点P，使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形？若存在，请写出点P的个数，并直接写出其中两个点P的
坐标；若不存在，请说明理由．2020年黑龙江省牡丹江市中考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题3分，满分24分）1．（3分
）新冠肺炎疫情期间，全国各地约42000名医护人员驰援湖北．请将数42000用科学记数法表示为4.2×104．【解答】解：42
000＝4.2×104，故答案为：4.2×104．2．（3分）如图，在四边形ABCD中，连接AC，∠ACB＝∠CAD．请你添加一个
条件AD＝BC，使AB＝CD．（填一种情况即可）【解答】解：添加的条件：AD＝BC，理由是：∵∠ACB＝∠CAD，∴AD∥BC
，∵AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD．故答案为：AD＝BC．3．（3分）若一组数据21，14，x，y，9的众
数和中位数分别是21和15，则这组数据的平均数为16．【解答】解：∵一组数据21，14，x，y，9的中位数是15，∴x、y中必
有一个数是15，又∵一组数据21，14，x，y，9的众数是21，∴x、y中必有一个数是21，∴x、y所表示的数为15和21，∴16
，故答案为：16．4．（3分）某种商品每件的进价为120元，标价为180元．为了拓展销路，商店准备打折销售．若使利润率为20%，则
商店应打8折．【解答】解：设商店打x折，依题意，得：180120＝120×20%，解得：x＝8．故答案为：8．5．（3分）AB
是⊙O的弦，OM⊥AB，垂足为M，连接OA．若△AOM中有一个角是30°，OM＝2，则弦AB的长为12或4．【解答】解：∵OM
⊥AB，∴AM＝BM，若∠OAM＝30°，则tan∠OAM，∴AM＝6，∴AB＝2AM＝12；若∠AOM＝30°，则tan∠AOM
，∴AM＝2，∴AB＝2AM＝4．故答案为：12或4．6．（3分）将抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后，经过点（﹣2
，5），则8a﹣4b﹣11的值是﹣5．【解答】解：将抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后，表达式为：y＝ax2+b
x+2，∵经过点（﹣2，5），代入得：4a﹣2b＝3，则8a﹣4b﹣11＝2（4a﹣2b）﹣11＝2×3﹣11＝﹣5，故答案为：﹣
5．7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点E在AC边上．将∠A沿直线BE翻折，点A落在点A''处，连接A''B，交AC于
点F．若A''E⊥AE，cosA，则．【解答】解：∵∠C＝90°，cosA，∴，设AC＝4x，AB＝5x，则BC＝3x，∵AE⊥
AE′，∴∠AEA′＝90°，A′E∥BC，由于折叠，∴∠A′EB＝∠AEB＝（360﹣90）÷2＝135°，且△A′EF∽△BC
F，∴∠BEC＝45°，即△BCE为等腰直角三角形，∴EC＝3x，∴AE＝AC﹣EC＝x＝A′E，∴，故答案为：．8．（3分）如图
，在Rt△ABC中，CA＝CB，M是AB的中点，点D在BM上，AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EM．则下列结论中：①
BF＝CE；②∠AEM＝∠DEM；③AE﹣CEME；④DE2+DF2＝2DM2；⑤若AE平分∠BAC，则EF：BF：1；⑥CF?D
M＝BM?DE，正确的有①②③④⑤⑥．（只填序号）【解答】解：∵∠ACB＝90°，∴∠BCF+∠ACE＝90°，∵∠BCF+∠
CBF＝90°，∴∠ACE＝∠CBF，又∵∠BFD＝90°＝∠AEC，AC＝BC，∴△BCF≌△CAE（AAS），∴BF＝CE，故
①正确；由全等可得：AE＝CF，BF＝CE，∴AE﹣CE＝CF＝CE＝EF，连接FM，CM，∵点M是AB中点，∴CMAB＝BM＝A
M，CM⊥AB，在△BDF和△CDM中，∠BFD＝∠CMD，∠BDF＝∠CDM，∴∠DBF＝∠DCM，又BM＝CM，BF＝CE，∴
△BFM≌△CEM（SAS），∴FM＝EM，∠BMF＝∠CME，∵∠BMC＝90°，∴∠EMF＝90°，即△EMF为等腰直角三角形
，∴EFEM＝AE﹣CE，故③正确，∠MEF＝∠MFE＝45°，∵∠AEC＝90°，∴∠MEF＝∠AEM＝45°，故②正确，设AE
与CM交于点N，连接DN，∵∠DMF＝∠NME，FM＝EM，∠DFM＝∠DEM＝∠AEM＝45°，∴△DFM≌△NEM（ASA），
∴DF＝EN，DM＝MN，∴△DMN为等腰直角三角形，∴DNDM，而∠DEA＝90°，∴DE2+DF2＝DN2＝2DM2，故④正确
；∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝45°，∵AE平分∠BAC，∴∠DAE＝∠CAE＝22.5°，∠ADE＝67.5°，
∵∠DEM＝45°，∴∠EMD＝67.5°，即DE＝EM，∵AE＝AE，∠AED＝∠AEC，∠DAE＝∠CAE，∴△ADE≌△AC
E（ASA），∴DE＝CE，∵△MEF为等腰直角三角形，∴EFEM，∴，故⑤正确；∵∠CDM＝∠ADE，∠CMD＝∠AED＝90°
，∴△CDM∽ADE，∴，∵BM＝CM，AE＝CF，∴，∴CF?DM＝BM?DE，故⑥正确；故答案为：①②③④⑤⑥．二、选择题（每
小题3分，满分36分）9．（3分）下列运算正确的是（）A．a2?a5＝a10B．（a﹣2）2＝a2﹣4C．a6÷a2＝a3D．
（﹣a2）4＝a8【解答】解：A、a2?a5＝a7，故选项错误；B、（a﹣2）2＝a2﹣4a+4，故选项错误；C、a6÷a2＝a4
，故选项错误；D、（﹣a2）4＝a8，故选项正确；故选：D．10．（3分）下列图形是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答
】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；C、是中心对称图形，符合题意；D
、不是中心对称图形，不合题意；．故选：C．11．（3分）在函数y中，自变量x的取值范围是（）A．x≠3B．x≥0C．x≥3D．
x＞3【解答】解：由题意得，x﹣3≥0，解得x≥3．故选：C．12．（3分）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如
图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最少是（）A．6B．5C．4D．3【解答】解：仔细观察物体的主视图和左视图可知：该几何体
的下面最少要有2个小正方体，上面最少要有1个小正方体，故该几何体最少有3个小正方体组成．故选：D．13．（3分）在一个不透明的口袋
中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．若随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次取出小球标号的和等于
5的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：共有12种可能出现的结果，其中“和为5”的有
4种，∴P（和为5）．故选：C．14．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD．若，∠BDC＝50°，则∠ADC的度数是（
）A．125°B．130°C．135°D．140°【解答】解：连接OA，OB，OC，∵∠BDC＝50°，∴∠BOC＝2∠BDC
＝100°，∵，∴∠BOC＝∠AOC＝100°，∴∠ABC∠AOC＝50°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝130°．故选：B．1
5．（3分）一列数1，5，11，19…按此规律排列，第7个数是（）A．37B．41C．55D．71【解答】解：1＝1×2﹣1，
5＝2×3﹣1，11＝3×4﹣1，19＝4×5﹣1，…第n个数为n（n+1）﹣1，则第7个数是：55．故选：C．16．（3分）如图
，点A在反比例函数y1（x＞0）的图象上，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，交反比例函数y2（x＞0）的图象于点C．P为y轴上一点，连
接PA，PC．则△APC的面积为（）A．5B．6C．11D．12【解答】解：连接OA和OC，∵点P在y轴上，则△AOC和△AP
C面积相等，∵A在上，C在上，AB⊥x轴，∴S△AOC＝S△OAB﹣S△OBC＝6，∴△APC的面积为6，故选：B．17．（3分）
若关于x的方程0的解为正数，则m的取值范围是（）A．m＜2B．m＜2且m≠0C．m＞2D．m＞2且m≠4【解答】解：∵解方程，
去分母得：mx﹣2（x+1）＝0，整理得：（m﹣2）x＝2，∵方程有解，∴，∵分式方程的解为正数，∴，解得：m＞2，而x≠﹣1且x
≠0，则，，解得：m≠0，综上：m的取值范围是：m＞2．故选：C．18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD对角线B
D的中点，AD∥x轴且AD＝4，∠A＝60°，将菱形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是（）A．
（0，2）B．（2，﹣4）C．（2，0）D．（0，2）或（0，﹣2）【解答】解：根据菱形的对称性可得：当点D在x轴上时，A、B、C
均在坐标轴上，如图，∵∠BAD＝60°，AD＝4，∴∠OAD＝30°，∴OD＝2，∴AOOC，∴点C的坐标为（0，），同理：当点C
旋转到y轴正半轴时，点C的坐标为（0，），∴点C的坐标为（0，）或（0，），故选：D．19．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝
3，BC＝10，点E在BC边上，DF⊥AE，垂足为F．若DF＝6，则线段EF的长为（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：∵四
边形ABCD为矩形，∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝10，AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAF，∴△AFD∽△EBA，∴，∵DF＝6，∴
AF，∴，∴AE＝5，∴EF＝AF﹣AE＝8﹣5＝3．故选：B．20．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴正半轴交于A，
B两点，与y轴负半轴交于点C．若点B（4，0），则下列结论中，正确的个数是（）①abc＞0；②4a+b＞0；③M（x1，y1）
与N（x2，y2）是抛物线上两点，若0＜x1＜x2，则y1＞y2；④若抛物线的对称轴是直线x＝3，m为任意实数，则a（m﹣3）（m
+3）≤b（3﹣m）；⑤若AB≥3，则4b+3c＞0．A．5B．4C．3D．2【解答】解：如图，抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，
对称轴在y轴右侧，∴a＜0，c＜0，，∴b＞0，∴abc＞0，故①正确；如图，∵抛物线过点B（4，0），点A在x轴正半轴，∴对称轴
在直线x＝2右侧，即，∴，又a＜0，∴4a+b＞0，故②正确；∵M（x1，y1）与N（x2，y2）是抛物线上两点，0＜x1＜x2，
可得：抛物线y＝ax2+bx+c在上，y随x的增大而增大，在上，y随x的增大而减小，∴y1＞y2不一定成立，故③错误；若抛物线对称
轴为直线x＝3，则，即b＝﹣6a，则a（m﹣3）（m+3）﹣b（3﹣m）＝a（m﹣3）2≤0，∴a（m﹣3）（m+3）≤b（3﹣m
），故④正确；∵AB≥3，则点A的横坐标大于0或小于等于1，当x＝1时，代入，y＝a+b+c≥0，当x＝4时，16a+4b+c＝0
，∴a，则，整理得：4b+5c≥0，则4b+3c≥﹣2c，又c＜0，﹣2c＞0，∴4b+3c＞0，故⑤正确，故正确的有4个．故选：
B．三、解答题（满分60分）21．（5分）先化简，再求值：（1），其中x＝﹣tan45°．【解答】解：（1），当x＝﹣tan4
5°＝﹣1时，原式1．22．（6分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为P．已知B（
1，0），C（0，﹣3）．请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式，并直接写出点P的坐标；（2）抛物线的对称轴与x轴交于点E，连接A
P，AP的垂直平分线交直线PE于点M，则线段EM的长为．注：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x，顶点坐标是（
，）．【解答】解：（1）∵抛物线经过，代入得：，解得：，∴抛物线表达式为：y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴顶点P的坐标为（
﹣1，﹣4）；（2）∵直线PE为抛物线对称轴，∴E（﹣1，0），∵B（1，0），∴A（﹣3，0），∴AP，∵MN垂直平分AP，∴A
N＝NP，∠PNM＝90°，∵∠APE＝∠MPN，∴△PMN∽△PAE，∴，即，解得：PM，∴EM＝PE﹣PM＝4，故答案为：．2
3．（6分）在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，S△ABC＝6．以BC为边作周长为18的矩形BCDE，M，N分别为AC，CD的中点
，连接MN．请你画出图形，并直接写出线段MN的长．【解答】解：∵BC＝6，S△ABC＝6，∴△ABC中BC边上的高为6×2÷6＝2
，而矩形的周长为18，BC＝6，∴BE＝CD＝18÷2﹣6＝3，当矩形BCDE和△ABC在BC同侧时，过A作AF⊥BC，垂足为F
，与ED交于G，连接AD，可知AF＝2，DGBC＝3，∴AG＝GF﹣AF＝3﹣2＝1，∴AD，∵M，N分别为AC和CD中点，∴MN
AD；当矩形BCDE和△ABC在BC异侧时，过A作AF⊥ED，垂足为F，与BC交于G，连接AD，可知BG＝CG，AG＝2，GF＝3
，F为ED中点，∴AF＝5，DF＝3，∴AD，∵M，N分别为AC和CD中点，∴MNAD，综上：MN的长为或．24．（7分）某中学为
了了解本校学生对排球、篮球、毽球、羽毛球和跳绳五项“大课间”活动的喜欢情况，随机抽查了部分学生进行问卷调查（每名学生只选择一项），
将调查结果整理并绘制成如图所示不完整的统计图表．请结合统计图表解答下列问题：抽样调查学生喜欢大课间活动人数的统计表项目人数A排球6
B篮球mC毽球10D羽毛球4E跳绳18（1）本次抽样调查的学生有50人，请补全条形统计图；（2）求扇形统计图中，喜欢毽球活动的
学生人数所对应圆心角的度数；（3）全校有学生1800人，估计全校喜欢跳绳活动的学生人数是多少？【解答】解：（1）6÷12%＝50（
人），m＝50﹣18﹣4﹣10﹣6＝12（人），故答案为：50；补全条形统计图如图所示：（2）360°72°，答：喜欢“毽球”所在
的圆心角的度数为72°；（3）1800648（人），答：全校1800名学生中喜欢跳绳活动的有648人．25．（8分）在一条公路上依
次有A，B，C三地，甲车从A地出发，驶向C地，同时乙车从C地出发驶向B地，到达B地停留0.5小时后，按原路原速返回C地，两车匀速行
驶，甲车比乙车晚1.5小时到达C地．两车距各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列
问题：（1）甲车行驶速度是60千米1时，B，C两地的路程为360千米；（2）求乙车从B地返回C地的过程中，y（千米）与x（
小时）之间的函数关系式（不需要写出自变量x的取值范围）；（3）出发多少小时，行驶中的两车之间的路程是15千米？请你直接写出答案．【
解答】解：（1）由题意可得：F（10，600），∴甲车的行驶速度是：600÷10＝60千米/时，M的纵坐标为360，∴B，C两地之
间的距离为360千米，故答案为：60；360；（2）∵甲车比乙车晚1.5小时到达C地，∴点E（8.5，0），乙的速度为360×2÷
（10﹣0.5﹣1.5）＝90千米/小时，则360÷90＝4，∴M（4，360），N（4.5，360），设NE表达式为y＝kx+b
，将N和E代入，，解得：，∴y（千米）与x（小时）之间的函数关系式为：；（3）设出发x小时，行驶中的两车之间的路程是15千米，①在
乙车到B地之前时，600﹣S甲﹣S乙＝15，即600﹣60x﹣90x＝15，解得：x，②∵（600﹣360）÷60＝4小时，360
÷90＝4小时，∴甲乙同时到达B地，当乙在B地停留时，15÷60+4小时；③当乙车从B地开始往回走，追上甲车之前，15÷（90﹣6
0）+4.5＝5小时；④当乙车追上甲车并超过15km时，（30+15）÷（90﹣60）+4.5＝6小时；⑤当乙车回到C地时，甲车距
离C地15千米时，（600﹣15）÷60小时．综上：行驶中的两车之间的路程是15千米时，出发时间为小时或小时或5小时或6小时或小时
．26．（8分）在等腰△ABC中，AB＝BC，点D，E在射线BA上，BD＝DE，过点E作EF∥BC，交射线CA于点F．请解答下列问
题：（1）当点E在线段AB上，CD是△ACB的角平分线时，如图①，求证：AE+BC＝CF；（提示：延长CD，FE交于点M．）（2）
当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的角平分线时，如图②；当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的外角平分线时，如图③，
请直接写出线段AE，BC，CF之间的数量关系，不需要证明；（3）在（1）、（2）的条件下，若DE＝2AE＝6，则CF＝18或6
．【解答】解：（1）如图①，延长CD，FE交于点M．∵AB＝BC，EF∥BC，∴∠A＝∠BCA＝∠EFA，∴AE＝EF，∴MF∥B
C，∴∠MED＝∠B，∠M＝∠BCD，又∵∠FCM＝∠BCM，∴∠M＝∠FCM，∴CF＝MF，又∵BD＝DE，∴△MED≌△CBD
（AAS），∴ME＝BC，∴CF＝MF＝ME+EF＝BC+AE，即AE+BC＝CF；（2）当点E在线段BA的延长线上，CD是△AC
B的角平分线时，BC＝AE+CF，如图②，延长CD，EF交于点M．由①同理可证△MED≌△CBD（AAS），∴ME＝BC，由①证明
过程同理可得出MF＝CF，AE＝EF，∴BC＝ME＝EF+MF＝AE+CF；当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的外角平分线
时，AE＝CF+BC．如图③，延长CD交EF于点M，由上述证明过程易得△MED≌△CBD（AAS），BC＝EM，CF＝FM，又∵A
B＝BC，∴∠ACB＝∠CAB＝∠FAE，∵EF∥BC，∴∠F＝∠FCB，∴EF＝AE，∴AE＝FE＝FM+ME＝CF+BC；（3
）CF＝18或6，当DE＝2AE＝6时，图①中，由（1）得：AE＝3，BC＝AB＝BD+DE+AE＝15，∴CF＝AE+BC＝3+
15＝18；图②中，由（2）得：AE＝AD＝3，BC＝AB＝BD+AD＝9，∴CF＝BC﹣AE＝9﹣3＝6；图③中，DE小于AE，
故不存在．故答案为18或6．27．（10分）某商场准备购进A，B两种书包，每个A种书包比B种书包的进价少20元，用700元购进A种
书包的个数是用450元购进B种书包个数的2倍，A种书包每个标价是90元，B种书包每个标价是130元．请解答下列问题：（1）A，B两
种书包每个进价各是多少元？（2）若该商场购进B种书包的个数比A种书包的2倍还多5个，且A种书包不少于18个，购进A，B两种书包的总
费用不超过5450元，则该商场有哪几种进货方案？（3）该商场按（2）中获利最大的方案购进书包，在销售前，拿出5个书包赠送给某希望小
学，剩余的书包全部售出，其中两种书包共有4个样品，每种样品都打五折，商场仍获利1370元．请直接写出赠送的书包和样品中，B种书包各
有几个？【解答】解：（1）设每个A种书包的进价为x元，则每个B种书包的进价为（x+20）元，依题意，得：2，解得：x＝70，经检验
，x＝70是原方程的解，且符合题意，∴x+20＝90．答：每个A种书包的进价为70元，每个B种书包的进价为90元．（2）设该商场购
进m个A种书包，则购进（2m+5）个B种书包，依题意，得：，解得：18≤m≤20．又∵m为正整数，∴m可以为18，19，20，∴该
商场有3种进货方案，方案1：购买18个A种书包，41个B种书包；方案2：购买19个A种书包，43个B种书包；方案3：购买20个A种
书包，45个B种书包．（3）设销售利润为w元，则w＝（90﹣70）m+（130﹣90）（2m+5）＝100m+200．∵k＝100
＞0，∴w随m的增大而增大，∴当m＝20时，w取得最大值，此时2m+5＝45．设赠送的书包中B种书包有a个，样品中B种书包有b个，
则赠送的书包中A种书包有（5﹣a）个，样品中A种书包有（4﹣b）个，依题意，得：90×[20﹣（5﹣a）﹣（4﹣b）]+0.5×9
0（4﹣b）+130（45﹣a﹣b）+0.5×130b﹣70×20﹣90×45＝1370，∴b＝10﹣2a．∵a，b，（5﹣a），（4﹣b）均为正整数，∴．答：赠送的书包中B种书包有4个，样品中B种书包有2个．28．（10分）如图，已知直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，线段OA的长是方程x2﹣7x﹣18＝0的一个根，OBOA．请解答下列问题：（1）求点A，B的坐标；（2）直线EF交x轴负半轴于点E，交y轴正半轴于点F，交直线AB于点C．若C是EF的中点，OE＝6，反比例函数y图象的一支经过点C，求k的值；（3）在（2）的条件下，过点C作CD⊥OE，垂足为D，点M在直线AB上，点N在直线CD上．坐标平面内是否存在点P，使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形？若存在，请写出点P的个数，并直接写出其中两个点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵线段的长是方程的一个根，解得：x＝9或﹣2（舍），而点A在x轴正半轴，∴A（9，0），∵OBOA，∴B（0，），（2）∵OE＝6，∴E（﹣6，0），设直线AB的表达式为y＝kx+b，将点A和B的坐标代入，得：，解得：，∴AB的表达式为：，∵点C是EF的中点，∴点C的横坐标为﹣3，代入AB中，y＝6，则C（﹣3，6），∵反比例函数经过点C，则k＝﹣3×6＝﹣18；（3）存在点P，使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形，如图，共有5种情况，在四边形DM1P1N1中，M1和点A重合，∴M1（9，0），此时P1（9，12）；在四边形DP3BN3中，点B和M重合，可知M在直线y＝x+3上，联立：，解得：，∴M（1，4），∴P3（1，0），同理可得：P2（9，﹣12），P4（﹣7，4），P5（﹣15，0）．故存在点P使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形，点P的坐标为P1（9，12），P2（9，﹣12），P3（1，0），P4（﹣7，4），P5（﹣15，0）．第30页（共30页） |
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