2020年湖南省长沙市中考数学试卷一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共12个小
题，每小题3分，共36分）1．（3分）（2020?长沙）（﹣2）3的值等于（）A．﹣6B．6C．8D．﹣82．（3分）（202
0?长沙）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）（2020?长沙）为了将“新冠”疫情对
国民经济的影响降至最低，中国政府采取积极的财政税收政策，切实减轻企业负担，以促进我国进出口企业平稳发展．据国家统计局相关数据显示，
2020年1月至5月，全国累计办理出口退税632400000000元，其中数字632400000000用科学记数法表示为（）A
．6.324×1011B．6.324×1010C．632.4×109D．0.6324×10124．（3分）（2020?长沙）下列运
算正确的是（）A．B．x8÷x2＝x6C．D．（a5）2＝a75．（3分）（2020?长沙）2019年10月，《长沙晚报》对外
发布长沙高铁西站设计方案．该方案以“三湘四水，杜娟花开”为设计理念，塑造出“杜娟花开”的美丽姿态．该高铁站建设初期需要运送大量土石
方．某运输公司承担了运送总量为106m3土石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度v（单位：m3/天）与完成运送任务所需时间t（
单位：天）之间的函数关系式是（）A．vB．v＝106tC．vt2D．v＝106t26．（3分）（2020?长沙）从一艘船上测得
海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角为30°时，船离灯塔的水平距离是（）A．42米B．14米C．21米D．42米7．（3分）（20
20?长沙）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．8．（3分）（2020?长沙）一个不透明袋子中装有1个红球，
2个绿球，除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，然后放回摇匀，再随机摸出一个．下列说法中，错误的是（）A．第一次摸出的球是红
球，第二次摸出的球一定是绿球B．第一次摸出的球是红球，第二次摸出的不一定是红球C．第一次摸出的球是红球的概率是D．两次摸出的球都是
红球的概率是9．（3分）（2020?长沙）2020年3月14日，是人类第一个“国际数学日”．这个节日的昵称是“π（Day）”．国际
数学日之所以定在3月14日，是因为“3.14”是与圆周率数值最接近的数字．在古代，一个国家所算得的圆周率的精确程度，可以作为衡量这
个国家当时数学与科技发展水平的一个主要标志．我国南北朝时的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第7位的科学巨匠，该成果
领先世界一千多年．以下对于圆周率的四个表述：①圆周率是一个有理数；②圆周率是一个无理数；③圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于
该圆的周长与直径的比；④圆周率是一个与圆的大小有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比．其中表述正确的序号是（）A．②③B．①③
C．①④D．②④10．（3分）（2020?长沙）如图：一块直角三角板的60°角的顶点A与直角顶点C分别在两平行线FD、GH上，斜边
AB平分∠CAD，交直线GH于点E，则∠ECB的大小为（）A．60°B．45°C．30°D．25°11．（3分）（2020?长
沙）随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平
均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同．设更新技术前每天生
产x万件产品，依题意得（）A．B．C．D．12．（3分）（2020?长沙）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐
虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可
食用率”P与加工煎炸时间t（单位：分钟）近似满足的函数关系为：p＝at2+bt+c（a≠0，a，b，c是常数），如图记录了三次实验
的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为（）A．3.50分钟B．4.05分钟C．3.75分钟D．
4.25分钟二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）13．（3分）（2020?长沙）长沙地铁3号线、5号线即将试运行，
为了解市民每周乘坐地铁出行的次数，某校园小记者随机调查了100名市民，得到如下统计表：次数7次及以上654321次及以下人数812
31241564这次调查中的众数和中位数分别是，．14．（3分）（2020?长沙）某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首
先发给A、B、C三个同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多），然后依次完成以下三个步骤：第一步，A同学拿出二
张扑克牌给B同学；第二步，C同学拿出三张扑克牌给B同学；第三步，A同学手中此时有多少张扑克牌，B同学就拿出多少张扑克牌给A同学．请
你确定，最终B同学手中剩余的扑克牌的张数为．15．（3分）（2020?长沙）已知圆锥的母线长为3，底面半径为1，该圆锥的侧面展开
图的面积为．16．（3分）（2020?长沙）如图，点P在以MN为直径的半圆上运动（点P不与M，N重合），PQ⊥MN，NE平分∠M
NP，交PM于点E，交PQ于点F．（1）．（2）若PN2＝PM?MN，则．三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每
小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过
程或演算步骤）17．（6分）（2020?长沙）计算：|﹣3|﹣（1）0cos45°+（）﹣1．18．（6分）（2020?长沙）先化
简再求值：?，其中x＝4．19．（6分）（2020?长沙）人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法
：已知：∠AOB．求作：∠AOB的平分线．作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．（2）分别以点M
，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．（3）画射线OC，射线OC即为所求（如图）．请你根据提供的材料
完成下面问题．（1）这种作已知角的平分线的方法的依据是．（填序号）①SSS②SAS③AAS④ASA（2）请你证明OC为∠AOB的
平分线．20．（8分）（2020?长沙）2020年3月，中共中央、国务院颁布了《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》．长沙市
教育局发布了“普通中小学校劳动教育状况评价指标”．为了解某校学生一周劳动次数的情况，随机抽取若干学生进行调查，得到如图统计图表：（
1）这次调查活动共抽取人；（2）m＝，n＝；（3）请将条形统计图补充完整；（4）若该校学生总人数为3000人，根据调查结果，
请你估计该校一周劳动4次及以上的学生人数．21．（8分）（2020?长沙）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的直
线互相垂直，垂足为D，AC平分∠DAB．（1）求证：DC为⊙O的切线．（2）若AD＝3，DC，求⊙O的半径．22．（9分）（202
0?长沙）今年6月以来，我国多地遭遇强降雨，引发洪涝灾害，人民的生活受到了极大的影响．“一方有难，八方支援”，某市筹集了大量的生活
物资，用A，B两种型号的货车，分两批运往受灾严重的地区．具体运输情况如下：第一批第二批A型货车的辆数（单位：辆）12B型货车的辆数
（单位：辆）35累计运输物资的吨数（单位：吨）2850备注：第一批、第二批每辆货车均满载（1）求A、B两种型号货车每辆满载分别能运
多少吨生活物资？（2）该市后续又筹集了62.4吨生活物资，现已联系了3辆A种型号货车．试问至少还需联系多少辆B种型号货车才能一次性
将这批生活物资运往目的地？23．（9分）（2020?长沙）在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在
BC边上的点F．（1）求证：△ABF∽△FCE；（2）若AB＝2，AD＝4，求EC的长；（3）若AE﹣DE＝2EC，记∠BAF＝α
，∠FAE＝β，求tanα+tanβ的值．24．（10分）（2020?长沙）我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点
对称，则把该函数称之为“H函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“H点”．根据该约定，完成下列各题．（1）在下列关于x的函数中
，是“H函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“H函数”的打“×”．①y＝2x（）；②y（m≠0）（）；③y＝3x﹣
1（）．（2）若点A（1，m）与点B（n，﹣4）是关于x的“H函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）的一对“H点”，且该函数的对称
轴始终位于直线x＝2的右侧，求a，b，c的值或取值范围．（3）若关于x的“H函数”y＝ax2+2bx+3c（a，b，c是常数）同时
满足下列两个条件：①a+b+c＝0，②（2c+b﹣a）（2c+b+3a）＜0，求该“H函数”截x轴得到的线段长度的取值范围．25．
（10分）（2020?长沙）如图，半径为4的⊙O中，弦AB的长度为4，点C是劣弧上的一个动点，点D是弦AC的中点，点E是弦BC的中
点，连接DE、OD、OE．（1）求∠AOB的度数；（2）当点C沿着劣弧从点A开始，逆时针运动到点B时，求△ODE的外心P所经过的路
径的长度；（3）分别记△ODE，△CDE的面积为S1，S2，当S12﹣S22＝21时，求弦AC的长度．2020年湖南省长沙市中考数
学试卷参考答案与试题解析一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共12个小
题，每小题3分，共36分）1．（3分）（2020?长沙）（﹣2）3的值等于（）A．﹣6B．6C．8D．﹣8【解答】解：（﹣2）
3＝﹣8，故选：D．2．（3分）（2020?长沙）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解
：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意；C、既不是轴对
称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：B．3．（3分）（202
0?长沙）为了将“新冠”疫情对国民经济的影响降至最低，中国政府采取积极的财政税收政策，切实减轻企业负担，以促进我国进出口企业平稳发
展．据国家统计局相关数据显示，2020年1月至5月，全国累计办理出口退税632400000000元，其中数字63240000000
0用科学记数法表示为（）A．6.324×1011B．6.324×1010C．632.4×109D．0.6324×1012【解答
】解：632400000000＝6.324×1011，故选：A．4．（3分）（2020?长沙）下列运算正确的是（）A．B
．x8÷x2＝x6C．D．（a5）2＝a7【解答】解：A、与不是同类项，不能合并，计算错误，故本选项不符合题意．B、原式＝x8﹣2
＝x6，计算正确，故本选项符合题意．C、原式，计算错误，故本选项不符合题意．D、原式＝a5×2＝a10，计算错误，故本选项不符合题
意．故选：B．5．（3分）（2020?长沙）2019年10月，《长沙晚报》对外发布长沙高铁西站设计方案．该方案以“三湘四水，杜娟花
开”为设计理念，塑造出“杜娟花开”的美丽姿态．该高铁站建设初期需要运送大量土石方．某运输公司承担了运送总量为106m3土石方的任务
，该运输公司平均运送土石方的速度v（单位：m3/天）与完成运送任务所需时间t（单位：天）之间的函数关系式是（）A．vB．v＝1
06tC．vt2D．v＝106t2【解答】解：∵运送土石方总量＝平均运送土石方的速度v×完成运送任务所需时间t，∴106＝vt，∴
v，故选：A．6．（3分）（2020?长沙）从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角为30°时，船离灯塔的水平距离是（）
A．42米B．14米C．21米D．42米【解答】解：根据题意可得：船离海岸线的距离为42÷tan30°＝42（米）故选：A．7．（
3分）（2020?长沙）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：由不等式组，得﹣2≤x＜2，故该不等
式组的解集在数轴表示为：故选：D．8．（3分）（2020?长沙）一个不透明袋子中装有1个红球，2个绿球，除颜色外无其他差别．从中随
机摸出一个球，然后放回摇匀，再随机摸出一个．下列说法中，错误的是（）A．第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球一定是绿球B．第一
次摸出的球是红球，第二次摸出的不一定是红球C．第一次摸出的球是红球的概率是D．两次摸出的球都是红球的概率是【解答】解：A、第一次摸
出的球是红球，第二次摸出的球不一定是绿球，故本选项错误；B、第一次摸出的球是红球，第二次摸出的不一定是红球，故本选项正确；C、∵不
透明袋子中装有1个红球，2个绿球，∴第一次摸出的球是红球的概率是，故本选项正确；D、共用9种等情况数，分别是红红、红绿、红绿、绿红
、绿绿、绿绿、绿红、绿绿、绿绿，则两次摸出的球都是红球的概率是，故本选项正确；故选：A．9．（3分）（2020?长沙）2020年3
月14日，是人类第一个“国际数学日”．这个节日的昵称是“π（Day）”．国际数学日之所以定在3月14日，是因为“3.14”是与圆周
率数值最接近的数字．在古代，一个国家所算得的圆周率的精确程度，可以作为衡量这个国家当时数学与科技发展水平的一个主要标志．我国南北朝
时的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第7位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年．以下对于圆周率的四个表述：①圆周率是
一个有理数；②圆周率是一个无理数；③圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比；④圆周率是一个与圆的大小有关的常
数，它等于该圆的周长与半径的比．其中表述正确的序号是（）A．②③B．①③C．①④D．②④【解答】解：因为圆周率是一个无理数，是
一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比，所以表述正确的序号是②③；故选：A．10．（3分）（2020?长沙）如图：一
块直角三角板的60°角的顶点A与直角顶点C分别在两平行线FD、GH上，斜边AB平分∠CAD，交直线GH于点E，则∠ECB的大小为（
）A．60°B．45°C．30°D．25°【解答】解：∵AB平分∠CAD，∴∠CAD＝2∠BAC＝120°，又∵DF∥HG，∴
∠ACE＝180°﹣∠DAC＝180°﹣120°＝60°，又∵∠ACB＝90°，∴∠ECB＝∠ACB﹣∠ACE＝90°﹣60°＝3
0°，故选：C．11．（3分）（2020?长沙）随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G产
品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产4
00万件产品所需时间相同．设更新技术前每天生产x万件产品，依题意得（）A．B．C．D．【解答】解：设更新技术前每天生产x万件产
品，则更新技术后每天生产（x+30）万件产品，依题意，得：．故选：B．12．（3分）（2020?长沙）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆
腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用
率”．在特定条件下，“可食用率”P与加工煎炸时间t（单位：分钟）近似满足的函数关系为：p＝at2+bt+c（a≠0，a，b，c是常
数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为（）A．3.50分钟B．4.05
分钟C．3.75分钟D．4.25分钟【解答】解：将图象中的三个点（3，0.8）、（4，0.9）、（5，0.6）代入函数关系p＝at
2+bt+c中，，解得，所以函数关系式为：p＝﹣0.2t2+1.5t﹣1.9，由题意可知：加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横
坐标：t3.75，则当t＝3.75分钟时，可以得到最佳时间．故选：C．二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）13．（
3分）（2020?长沙）长沙地铁3号线、5号线即将试运行，为了解市民每周乘坐地铁出行的次数，某校园小记者随机调查了100名市民，得
到如下统计表：次数7次及以上654321次及以下人数81231241564这次调查中的众数和中位数分别是5，5．【解答】解
：这次调查中的众数是5，这次调查中的中位数是，故答案为：5；5．14．（3分）（2020?长沙）某数学老师在课外活动中做了一个有趣
的游戏：首先发给A、B、C三个同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多），然后依次完成以下三个步骤：第一步，A
同学拿出二张扑克牌给B同学；第二步，C同学拿出三张扑克牌给B同学；第三步，A同学手中此时有多少张扑克牌，B同学就拿出多少张扑克牌给
A同学．请你确定，最终B同学手中剩余的扑克牌的张数为7．【解答】解：设每人有牌x张，B同学从A同学处拿来二张扑克牌，又从C同学
处拿来三张扑克牌后，则B同学有（x+2+3）张牌，A同学有（x﹣2）张牌，那么给A同学后B同学手中剩余的扑克牌的张数为：x+2+3
﹣（x﹣2）＝x+5﹣x+2＝7．故答案为：7．15．（3分）（2020?长沙）已知圆锥的母线长为3，底面半径为1，该圆锥的侧面展
开图的面积为3π．【解答】解：∵圆锥的侧面展开图是扇形，∴S侧＝πrl＝3×1π＝3π，∴该圆锥的侧面展开图的面积为3π．故答
案为：3π．16．（3分）（2020?长沙）如图，点P在以MN为直径的半圆上运动（点P不与M，N重合），PQ⊥MN，NE平分∠MN
P，交PM于点E，交PQ于点F．（1）1．（2）若PN2＝PM?MN，则．【解答】解：（1）∵MN为⊙O的直径，∴∠MPN
＝90°，∵PQ⊥MN，∴∠PQN＝∠MPN＝90°，∵NE平分∠PNM，∴∠MNE＝∠PNE，∴△PEN∽△QFN，∴，即①，∵
∠PNQ+∠NPQ＝∠PNQ+∠PMQ＝90°，∴∠NPQ＝∠PMQ，∵∠PQN＝∠PQM＝90°，∴△NPQ∽△PMQ，∴②，∴
①×②得，∵QF＝PQ﹣PF，∴1，∴1，故答案为：1；（2）∵∠PNQ＝∠MNP，∠NQP＝∠NPQ，∴△NPQ∽△NMP，∴，
∴PN2＝QN?MN，∵PN2＝PM?MN，∴PM＝QN，∴，∵tan∠M，∴，∴，∴NQ2＝MQ2+MQ?NQ，即，设，则x2+
x﹣1＝0，解得，x，或x0（舍去），∴，故答案为：．三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题
每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6
分）（2020?长沙）计算：|﹣3|﹣（1）0cos45°+（）﹣1．【解答】解：原式＝3﹣14＝2+1+4＝7．18．（6分）（
2020?长沙）先化简再求值：?，其中x＝4．【解答】解：?，当x＝4时，原式3．19．（6分）（2020?长沙）人教版初中数
学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法：已知：∠AOB．求作：∠AOB的平分线．作法：（1）以点O为圆心，适
当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．（2）分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．（
3）画射线OC，射线OC即为所求（如图）．请你根据提供的材料完成下面问题．（1）这种作已知角的平分线的方法的依据是①．（填序号
）①SSS②SAS③AAS④ASA（2）请你证明OC为∠AOB的平分线．【解答】解：（1）这种作已知角的平分线的方法的依据是①SS
S．故答案为：①（2）由基本作图方法可得：OM＝ON，OC＝OC，MC＝NC，则在△OMC和△ONC中，，∴△OMC≌△ONC（S
SS），∴∠AOC＝∠BOC，即OC为∠AOB的平分线．20．（8分）（2020?长沙）2020年3月，中共中央、国务院颁布了《关
于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》．长沙市教育局发布了“普通中小学校劳动教育状况评价指标”．为了解某校学生一周劳动次数的情况
，随机抽取若干学生进行调查，得到如图统计图表：（1）这次调查活动共抽取200人；（2）m＝86，n＝27；（3）请将条
形统计图补充完整；（4）若该校学生总人数为3000人，根据调查结果，请你估计该校一周劳动4次及以上的学生人数．【解答】解：（1）2
0÷10%＝200（人），故答案为：200；（2）200×43%＝86（人），54÷200＝27%，即，n＝27，故答案为：86，
27；（3）200×20%＝40（人），补全条形统计图如图所示：（4）3000×27%＝810（人），答：该校3000名学生中一周
劳动4次及以上的有810人．21．（8分）（2020?长沙）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的直线互相垂直，垂
足为D，AC平分∠DAB．（1）求证：DC为⊙O的切线．（2）若AD＝3，DC，求⊙O的半径．【解答】解：（1）如图，连接OC，∵
OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠OAC，∴∠OCA＝∠DAC，∴AD∥OC，∵AD⊥DC，∴O
C⊥DC，又OC是⊙O的半径，∴DC为⊙O的切线；（2）过点O作OE⊥AC于点E，在Rt△ADC中，AD＝3，DC，∴tan∠DA
C，∴∠DAC＝30°，∴AC＝2DC＝2，∵OE⊥AC，根据垂径定理，得AE＝ECAC，∵∠EAO＝∠DAC＝30°，∴OA2，
∴⊙O的半径为2．22．（9分）（2020?长沙）今年6月以来，我国多地遭遇强降雨，引发洪涝灾害，人民的生活受到了极大的影响．“一
方有难，八方支援”，某市筹集了大量的生活物资，用A，B两种型号的货车，分两批运往受灾严重的地区．具体运输情况如下：第一批第二批A型
货车的辆数（单位：辆）12B型货车的辆数（单位：辆）35累计运输物资的吨数（单位：吨）2850备注：第一批、第二批每辆货车均满载（
1）求A、B两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资？（2）该市后续又筹集了62.4吨生活物资，现已联系了3辆A种型号货车．试问
至少还需联系多少辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地？【解答】解：（1）设A种型号货车每辆满载能运x吨生活物资，B种型
号货车每辆满载能运y吨生活物资，依题意，得：，解得：．答：A种型号货车每辆满载能运10吨生活物资，B种型号货车每辆满载能运6吨生活
物资．（2）设还需联系m辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地，依题意，得：10×3+6m≥62.4，解得：m≥5.4，
又∵m为正整数，∴m的最小值为6．答：至少还需联系6辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地．23．（9分）（2020?长
沙）在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．（1）求证：△ABF∽△FCE；（2）
若AB＝2，AD＝4，求EC的长；（3）若AE﹣DE＝2EC，记∠BAF＝α，∠FAE＝β，求tanα+tanβ的值．【解答】（1
）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，由翻折可知，∠D＝∠AFE＝90°，∴∠AFB+∠EFC＝90°，∠E
FC+∠CEF＝90°，∴∠AFB＝∠FEC，∴△ABF∽△FCE．（2）设EC＝x，由翻折可知，AD＝AF＝4，∴BF2，∴CF
＝BC﹣BF＝2，∵△ABF∽△FCE，∴，∴，∴x，∴EC．（3）∵△ABF∽△FCE，∴，∴tanα+tanβ，设AB＝CD＝
a，BC＝AD＝b，DE＝x，∴AE＝DE+2CE＝x+2（a﹣x）＝2a﹣x，∵AD＝AF＝b，DE＝EF＝x，∠B＝∠C＝∠D
＝90°，∴BF，CF，∵AD2+DE2＝AE2，∴b2+x2＝（2a﹣x）2，∴a2﹣axb2，∵△ABF∽△FCE，∴，∴，∴
a2﹣ax?，∴b2?，整理得，16a4﹣24a2b2+9b4＝0，∴（4a2﹣3b2）2＝0，∴，∴tanα+tanβ．24．（
10分）（2020?长沙）我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H函数”，其图象上关于原点
对称的两点叫做一对“H点”．根据该约定，完成下列各题．（1）在下列关于x的函数中，是“H函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”
，不是“H函数”的打“×”．①y＝2x（√）；②y（m≠0）（√）；③y＝3x﹣1（×）．（2）若点A（1，m）与点B
（n，﹣4）是关于x的“H函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）的一对“H点”，且该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，求a，b，
c的值或取值范围．（3）若关于x的“H函数”y＝ax2+2bx+3c（a，b，c是常数）同时满足下列两个条件：①a+b+c＝0，②
（2c+b﹣a）（2c+b+3a）＜0，求该“H函数”截x轴得到的线段长度的取值范围．【解答】解：（1）①y＝2x是“H函数”．②
y（m≠0）是“H函数”．③y＝3x﹣1不是“H函数”．故答案为：√，√，×．（2）∵A，B是“H点”，∴A，B关于原点对称，∴m
＝4，n＝﹣1，∴A（1，4），B（﹣1，﹣4），代入y＝ax2+bx+c（a≠0）得，∴，∵该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右
侧，∴2，∴2，∴﹣1＜a＜0，∵a+c＝0，∴0＜c＜1，综上所述，﹣1＜a＜0，b＝4，0＜c＜1．（3）∵y＝ax2+2bx
+3c是“H函数”，∴设H（p，q）和（﹣p，﹣q），代入得到，解得ap2+3c＝0，2bp＝q，∵p2＞0，∴a，c异号，∴ac
＜0，∵a+b+c＝0，∴b＝﹣a﹣c，∵（2c+b﹣a）（2c+b+3a）＜0，∴（2c﹣a﹣c﹣a）（2c﹣a﹣c+3a）＜0
，∴（c﹣2a）（c+2a）＜0，∴c2＜4a2，∴4，∴﹣22，设t，则﹣2＜t＜0，设函数与x轴交于（x1，0），（x2，0）
，∴x1，x2是方程ax2+2bx+3c＝0的两根，∴|x1﹣x2|＝2＝2，∵﹣2＜t＜0，∴2＜|x1﹣x2|＜2．25．（10分）（2020?长沙）如图，半径为4的⊙O中，弦AB的长度为4，点C是劣弧上的一个动点，点D是弦AC的中点，点E是弦BC的中点，连接DE、OD、OE．（1）求∠AOB的度数；（2）当点C沿着劣弧从点A开始，逆时针运动到点B时，求△ODE的外心P所经过的路径的长度；（3）分别记△ODE，△CDE的面积为S1，S2，当S12﹣S22＝21时，求弦AC的长度．【解答】解：（1）如图1中，过点O作OH⊥AB于H．∵OA＝OB＝4，OH⊥AB，∴AH＝HBAB＝2，∠AOH＝∠BOH，∴sin∠AOH，∴∠AOH＝60°，∴∠AOB＝2∠AOH＝120°．（2）如图2中，连接OC．∵OA＝OC＝OB，AD＝DC，CE＝EB，∴OD⊥AC，OE⊥CB，∴∠ODC＝∠OEC＝90°，∴∠ODC+∠OEC＝180°，∴O，D，C，E四点共圆，∴OC是直径，∴OC的中点P是△OED的外接圆的圆心，∴OPOC＝2，∴点P的运动路径的长．（3）如图3中，若AC＜BC，连接OC交AB于J，过点O作OH⊥AB于H，过点C作CK⊥AB于K．∵AD＝CD，CE＝EB，∴DE∥AB，AB＝2DE，∴△CDE∽△CAB，∴（）2，∴S△ABC＝4S2，∵S△ADO＝S△ODC，S△OBE＝S△OEC，∴S四边形ODCES四边形OACB，∴S1+S2（4S2+4）＝2S2+2，∴S1＝S2+2，∵S12﹣S22＝21，∴S22+4S2+12﹣S22＝21，∴S2，∴S△ABC＝3AB×CK，∴CK，∵OH⊥AB，CK⊥AB，∴OH∥CK，∴△CKJ∽△OHJ，∴，∴，∴CJ4，OJ4，∴JK，JH，∴KH，∴AK＝AH﹣KH＝2，∴AC．若AC＞BC时，同法可得AC，综上所述，AC的长为或．第26页（共26页） |
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