2020年江苏省常州市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．（2分
）（2020?常州）2的相反数是（）A．﹣2B．C．D．22．（2分）（2020?常州）计算m6÷m2的结果是（）A．m3
B．m4C．m8D．m123．（2分）（2020?常州）如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．圆柱B．三棱柱C．四棱柱D．
四棱锥4．（2分）（2020?常州）8的立方根为（）A．B．C．2D．±25．（2分）（2020?常州）如果x＜y，那么下列不
等式正确的是（）A．2x＜2yB．﹣2x＜﹣2yC．x﹣1＞y﹣1D．x+1＞y+16．（2分）（2020?常州）如图，直线a
、b被直线c所截，a∥b，∠1＝140°，则∠2的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°7．（2分）（2020?常
州）如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则
MH长的最大值是（）A．3B．4C．5D．68．（2分）（2020?常州）如图，点D是?OABC内一点，CD与x轴平行，BD与
y轴平行，BD，∠ADB＝135°，S△ABD＝2．若反比例函数y（x＞0）的图象经过A、D两点，则k的值是（）A．2B．4C
．3D．6二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把笞案直接填写在答题卡相应位置上）9．（2分）（
2020?常州）计算：|﹣2|+（π﹣1）0＝．10．（2分）（2020?常州）若代数式有意义，则实数x的取值范围是．11．（
2分）（2020?常州）地球的半径大约为6400km．数据6400用科学记数法表示为．12．（2分）（2020?常州）分解因式：
x3﹣x＝．13．（2分）（2020?常州）若一次函数y＝kx+2的函数值y随自变量x增大而增大，则实数k的取值范围是．14．
（2分）（2020?常州）若关于x的方程x2+ax﹣2＝0有一个根是1，则a＝．15．（2分）（2020?常州）如图，在△ABC
中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F．若△AFC是等边三角形，则∠B＝°．16．（2分）（2020?常州）数学家笛卡尔
在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短．在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝120°．
如图，建立平面直角坐标系xOy，使得边AB在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是．17．（2分）（2020?常州）如
图，点C在线段AB上，且AC＝2BC，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE、BCFG，连接EC、EG，则tan∠C
EG＝．18．（2分）（2020?常州）如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝6，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，在直
线DE和直线BC上分别取点F、G，连接BF、DG．若BF＝3DG，且直线BF与直线DG互相垂直，则BG的长为．三、解答题（本大题
共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（6分）（2020?常
州）先化简，再求值：（x+1）2﹣x（x+1），其中x＝2．20．（8分）（2020?常州）解方程和不等式组：（1）2；（2）．2
1．（8分）（2020?常州）为了解某校学生对球类运动的喜爱情况，调查小组就打排球、打乒乓球、打篮球、踢足球四项球类运动对该校学生
进行了“你最喜爱的球类运动”的抽样调查，并根据调查结果绘制成如图统计图．（1）本次抽样调查的样本容量是；（2）补全条形统计图；（
3）该校共有2000名学生，请你估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数．22．（8分）（2020?常州）在3张相同的小纸条上分别标上1
、2、3这3个号码，做成3支签，放在一个不透明的盒子中．（1）搅匀后从中随机抽出1支签，抽到1号签的概率是；（2）搅匀后先从中随
机抽出1支签（不放回），再从余下的2支签中随机抽出1支签，求抽到的2支签上签号的和为奇数的概率．23．（8分）（2020?常州）已
知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA∥FB，EA＝FB，AB＝CD．（1）求证：∠E＝∠F；（2）若∠A＝40°，∠D＝8
0°，求∠E的度数．24．（8分）（2020?常州）某水果店销售苹果和梨，购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千
克梨共需22元．（1）求每千克苹果和每千克梨的售价；（2）如果购买苹果和梨共15千克，且总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹
果？25．（8分）（2020?常州）如图，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y（x＞0）的图象交于点A（a，4）．点B为x轴正半
轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，交正比例函数的图象于点D．（1）求a的值及正比例函数y＝kx的表达式；（2）若
BD＝10，求△ACD的面积．26．（10分）（2020?常州）如图1，点B在线段CE上，Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC＝∠
CEF＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．（1）点F到直线CA的距离是；（2）固定△ABC，将△CEF绕点C按顺时针方向旋转3
0°，使得CF与CA重合，并停止旋转．①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，
不要求写画法）．该图形的面积为；②如图2，在旋转过程中，线段CF与AB交于点O，当OE＝OB时，求OF的长．27．（10分）（2
020?常州）如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点（Q在P、H之间）．我们把点P称为⊙
I关于直线a的“远点“，把PQ?PH的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，
4）．半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D．①过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点（填“A”．“B
”、“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为；②若直线n的函数表达式为yx+4．求⊙O关于直线n的“特征数”；（2）在平面
直角坐标系xOy中，直线l经过点M（1，4），点F是坐标平面内一点，以F为圆心，为半径作⊙F．若⊙F与直线1相离，点N（﹣1，0）
是⊙F关于直线1的“远点”．且⊙F关于直线l的“特征数”是4，求直线l的函数表达式．28．（10分）（2020?常州）如图，二次函
数y＝x2+bx+3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，抛物线过点C（1，0），且顶点为D，连接AC、B
C、BD、CD．（1）填空：b＝；（2）点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线PC交直线BD于点Q．若∠CQD＝∠ACB，
求点P的坐标；（3）点E在直线AC上，点E关于直线BD对称的点为F，点F关于直线BC对称的点为G，连接AG．当点F在x轴上时，直接
写出AG的长．2020年江苏省常州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出
的四个选项中，只有一项是正确的）1．（2分）（2020?常州）2的相反数是（）A．﹣2B．C．D．2【解答】解：2的相反数是﹣
2．故选：A．2．（2分）（2020?常州）计算m6÷m2的结果是（）A．m3B．m4C．m8D．m12【解答】解：m6÷m2
＝m6﹣2＝m4．故选：B．3．（2分）（2020?常州）如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．圆柱B．三棱柱C．四棱柱D
．四棱锥【解答】解：该几何体的主视图为矩形，左视图为矩形，俯视图是一个正方形，则可得出该几何体是四棱柱．故选：C．4．（2分）（2
020?常州）8的立方根为（）A．B．C．2D．±2【解答】解：8的立方根是2，故选：C．5．（2分）（2020?常州）如果x
＜y，那么下列不等式正确的是（）A．2x＜2yB．﹣2x＜﹣2yC．x﹣1＞y﹣1D．x+1＞y+1【解答】解：A、∵x＜y，
∴2x＜2y，故本选项符合题意；B、∵x＜y，∴﹣2x＞﹣2y，故本选项不符合题意；C、∵x＜y，∴x﹣1＜y﹣1，故本选项不符合
题意；D、∵x＜y，∴x+1＜y+1，故本选项不符合题意；故选：A．6．（2分）（2020?常州）如图，直线a、b被直线c所截，a
∥b，∠1＝140°，则∠2的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【解答】解：∵∠1+∠3＝180°，∠1＝40
°，∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣140°＝40°∵a∥b，∴∠2＝∠3＝40°．故选：B．7．（2分）（2020?常州）如图
，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的
最大值是（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：∵CH⊥AB，垂足为H，∴∠CHB＝90°，∵点M是BC的中点．∴MHBC，∵
BC的最大值是直径的长，⊙O的半径是3，∴MH的最大值为3，故选：A．8．（2分）（2020?常州）如图，点D是?OABC内一点，
CD与x轴平行，BD与y轴平行，BD，∠ADB＝135°，S△ABD＝2．若反比例函数y（x＞0）的图象经过A、D两点，则k的值是
（）A．2B．4C．3D．6【解答】解：作AM⊥y轴于M，延长BD，交AM于E，设BC与y轴的交点为N，∵四边形OABC是平行
四边形，∴OA∥BC，OA＝BC，∴∠AOM＝∠CNM，∵BD∥y轴，∴∠CBD＝∠CNM，∴∠AOM＝∠CBD，∵CD与x轴平行
，BD与y轴平行，∴∠CDB＝90°，BE⊥AM，∴∠CDB＝∠AMO，∴△AOM≌△CBD（AAS），∴OM＝BD，∵S△ABD
2，BD，∴AE＝2，∵∠ADB＝135°，∴∠ADE＝45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝AE＝2，∴D的纵坐标为3，设
A（m，），则D（m﹣2，3），∵反比例函数y（x＞0）的图象经过A、D两点，∴km＝（m﹣2）×3，解得m＝3，∴km＝6．故选
：D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把笞案直接填写在答题卡相应位置上）9．（2分）（20
20?常州）计算：|﹣2|+（π﹣1）0＝3．【解答】解：|﹣2|+（π﹣1）0＝2+1＝3，故答案为：3．10．（2分）（2
020?常州）若代数式有意义，则实数x的取值范围是x≠1．【解答】解：依题意得：x﹣1≠0，解得x≠1，故答案为：x≠1．11
．（2分）（2020?常州）地球的半径大约为6400km．数据6400用科学记数法表示为6.4×103．【解答】解：将6400
用科学记数法表示为6.4×103．故答案为：6.4×103．12．（2分）（2020?常州）分解因式：x3﹣x＝x（x+1）（x
﹣1）．【解答】解：x3﹣x，＝x（x2﹣1），＝x（x+1）（x﹣1）．故答案为：x（x+1）（x﹣1）．13．（2分）（20
20?常州）若一次函数y＝kx+2的函数值y随自变量x增大而增大，则实数k的取值范围是k＞0．【解答】解：∵一次函数y＝kx+
2，函数值y随x的值增大而增大，∴k＞0．故答案为：k＞0．14．（2分）（2020?常州）若关于x的方程x2+ax﹣2＝0有一个
根是1，则a＝1．【解答】解：∵关于x的方程x2+ax﹣2＝0有一个根是1，∴把x＝1代入方程得：1+a﹣2＝0，解得：a＝1
，故答案为：1．15．（2分）（2020?常州）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F．若△AFC是等边三
角形，则∠B＝30°．【解答】解：∵EF垂直平分BC，∴BF＝CF，∴∠B＝∠BCF，∵△ACF为等边三角形，∴∠AFC＝60
°，∴∠B＝∠BCF＝30°．故答案为：30．16．（2分）（2020?常州）数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主
张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短．在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝120°．如图，建立平面直角坐标系xOy，使得边A
B在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是（2，）．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，且AB＝2，∴CD＝AD＝A
B＝2，∵∠DAB＝120°，∴∠OAD＝60°，Rt△AOD中，∠ADO＝30°，∴OAAD1，OD，∴C（2，），故答案为：（
2，）．17．（2分）（2020?常州）如图，点C在线段AB上，且AC＝2BC，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACD
E、BCFG，连接EC、EG，则tan∠CEG＝．【解答】解：连接CG，在正方形ACDE、BCFG中，∠ECA＝∠GCB＝45
°，∴∠ECG＝90°，设AC＝2，BC＝1，∴CE＝2，CG，∴tan∠GEC，故答案为：．18．（2分）（2020?常州）如图
，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝6，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，在直线DE和直线BC上分别取点F、G，连接BF、D
G．若BF＝3DG，且直线BF与直线DG互相垂直，则BG的长为4或2．【解答】解：如图，过点B作BT⊥BF交ED的延长线于T，
过点B作BH⊥DT于H．∵DG⊥BF，BT⊥BF，∴DG∥BT，∵AD＝DB，AE＝EC，∴DE∥BC，∴四边形DGBT是平行四边
形，∴BG＝DT，DG＝BT，∠BDH＝∠ABC＝45°，∵AD＝DB＝3，∴BH＝DH＝3，∵∠TBF＝∠BHF＝90°，∴∠T
BH+∠FBH＝90°，∠FBH+∠F＝90°，∴∠TBH＝∠F，∴tan∠F＝tan∠TBH，∴，∴TH＝1，∴DT＝TH+DH
＝1+3＝4，∴BG＝4．当点F在ED的延长线上时，同法可得DT＝BG＝3﹣1＝2．故答案为4或2．三、解答题（本大题共10小题，
共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（6分）（2020?常州）先化简，
再求值：（x+1）2﹣x（x+1），其中x＝2．【解答】解：（x+1）2﹣x（x+1）＝x2+2x+1﹣x2﹣x＝x+1，当x＝2
时，原式＝2+1＝3．20．（8分）（2020?常州）解方程和不等式组：（1）2；（2）．【解答】解：（1）方程两边都乘以x﹣1得
：x﹣2＝2（x﹣1），解得：x＝0，检验：把x＝0代入x﹣1得：x﹣1≠0，所以x＝0是原方程的解，即原方程的解是：x＝0；（2
），∵解不等式①得：x＜3，解不等式②得：x≥﹣2，∴不等式组的解集是：﹣2≤x＜3．21．（8分）（2020?常州）为了解某校学
生对球类运动的喜爱情况，调查小组就打排球、打乒乓球、打篮球、踢足球四项球类运动对该校学生进行了“你最喜爱的球类运动”的抽样调查，并
根据调查结果绘制成如图统计图．（1）本次抽样调查的样本容量是100；（2）补全条形统计图；（3）该校共有2000名学生，请你估
计该校最喜爱“打篮球”的学生人数．【解答】解：（1）本次抽样调查的总人数是：25÷25%＝100（人），则样本容量是100；故答案
为：100；（2）打乒乓球的人数有：100×35%＝35（人），踢足球的人数有：100﹣25﹣35﹣15＝25（人），补全统计图如
下：（3）根据题意得：2000300（人），答：估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数有300人．22．（8分）（2020?常州）在3
张相同的小纸条上分别标上1、2、3这3个号码，做成3支签，放在一个不透明的盒子中．（1）搅匀后从中随机抽出1支签，抽到1号签的概率
是；（2）搅匀后先从中随机抽出1支签（不放回），再从余下的2支签中随机抽出1支签，求抽到的2支签上签号的和为奇数的概率．【解答
】解：（1）共有3种可能出现的结果，其中“抽到1号”的有1种，因此“抽到1号”的概率为，故答案为：；（2）用列表法表示所有可能出现
的结果情况如下：共有6种可能出现的结果，其中“和为奇数”的有4种，∴P（和为奇数）．23．（8分）（2020?常州）已知：如图，点
A、B、C、D在一条直线上，EA∥FB，EA＝FB，AB＝CD．（1）求证：∠E＝∠F；（2）若∠A＝40°，∠D＝80°，求∠E
的度数．【解答】证明：（1）∵EA∥FB，∴∠A＝∠FBD，∵AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC，即AC＝BD，在△EAC与△F
BD中，，∴△EAC≌△FBD（SAS），∴∠E＝∠F；（2）∵△EAC≌△FBD，∴∠ECA＝∠D＝80°，∵∠A＝40°，∴∠
E＝180°﹣40°﹣80°＝60°，答：∠E的度数为60°．24．（8分）（2020?常州）某水果店销售苹果和梨，购买1千克苹果
和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元．（1）求每千克苹果和每千克梨的售价；（2）如果购买苹果和梨共15千克，且
总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹果？【解答】解：（1）设每千克苹果的售价为x元，每千克梨的售价为y元，依题意，得：，解得
：．答：每千克苹果的售价为8元，每千克梨的售价为6元．（2）设购买m千克苹果，则购买（15﹣m）千克梨，依题意，得：8m+6（15
﹣m）≤100，解得：m≤5．答：最多购买5千克苹果．25．（8分）（2020?常州）如图，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y
（x＞0）的图象交于点A（a，4）．点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，交正比例函数的图象于点D．（
1）求a的值及正比例函数y＝kx的表达式；（2）若BD＝10，求△ACD的面积．【解答】解：（1）把点A（a，4）代入反比例函数y
（x＞0）得，a2，∴点A（2，4），代入y＝kx得，k＝2，∴正比例函数的关系式为y＝2x，答：a＝2，正比例函数的关系式为y＝
2x；（2）当BD＝10＝y时，代入y＝2x得，x＝5，∴OB＝5，当x＝5代入y得，y，即BC，∴CD＝BD﹣BC＝10，∴S△
ACD（5﹣2）＝12.6，26．（10分）（2020?常州）如图1，点B在线段CE上，Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC＝∠C
EF＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．（1）点F到直线CA的距离是1；（2）固定△ABC，将△CEF绕点C按顺时针方向旋转
30°，使得CF与CA重合，并停止旋转．①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹
，不要求写画法）．该图形的面积为；②如图2，在旋转过程中，线段CF与AB交于点O，当OE＝OB时，求OF的长．【解答】解：（1
）如图1中，作FD⊥AC于D，∵Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．∴∠ACB＝6
0°，∠FCE＝∠BAC＝30°，AC＝CF，∴∠ACF＝30°，∴∠BAC＝∠FCD，在△ABC和△CDF中，，∴△ABC≌△C
DF（AAS），∴FD＝BC＝1，故答案为1；（2）线段EF经旋转运动所形成的平面图形如图所示，此时点E落在CF上的点H处．S阴＝
S△EFC+S扇形ACF﹣S扇形CEH﹣S△AHC＝S扇形ACF﹣S扇形ECH．故答案为．（3）如图2中，过点E作EH⊥CF于H．
设OB＝OE＝x．在Rt△ECF中，∵EF＝1，∠ECF＝30°，EH⊥CF，∴ECEF，EH，CHEH，在Rt△BOC中，OC，
∴OH＝CH﹣OC，在Rt△EOH中，则有x2＝（）2+（）2，解得x或（不合题意舍弃），∴OC，∵CF＝2EF＝2，∴OF＝CF
﹣OC＝2．27．（10分）（2020?常州）如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点（Q
在P、H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点“，把PQ?PH的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．（1）如图2，在平面直角坐
标系xOy中，点E的坐标为（0，4）．半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D．①过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m
的“远点”是点D（填“A”．“B”、“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为6；②若直线n的函数表达式为yx+4．求
⊙O关于直线n的“特征数”；（2）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（1，4），点F是坐标平面内一点，以F为圆心，为半径作⊙
F．若⊙F与直线1相离，点N（﹣1，0）是⊙F关于直线1的“远点”．且⊙F关于直线l的“特征数”是4，求直线l的函数表达式．【解答
】解：（1）①由题意，点D是⊙O关于直线m的“远点”，⊙O关于直线m的特征数＝DB?DE＝2×5＝20，故答案为D，20．②如图1
﹣1中，过点O作OH⊥直线n于H，交⊙O于Q，P．设直线yx+4交x轴于F（，0），交y轴于E（0，4），∴OE＝4，OF∴tan
∠FEO，∴∠FEO＝30°，∴OHOE＝2，∴PH＝OH+OP＝3，∴⊙O关于直线n的“特征数”＝PQ?PH＝2×3＝6．（2）
如图2﹣1中，设直线l的解析式为y＝kx+b．当k＞0时，过点F作FH⊥直线l于H，交⊙F于E，N．由题意，EN＝2，EN?NH＝
4，∴NH，∵N（﹣1，0），M（1，4），∴MN2，∴HM，∴△MNH是等腰直角三角形，∵MN的中点K（0，2），∴KN＝HK＝
KM，∴H（﹣2，3），把H（﹣2，3），M（1，4）代入y＝kx+b，则有，解得，∴直线l的解析式为yx，当k＜0时，同法可知直
线i经过H′（2，1），可得直线l的解析式为y＝﹣3x+7．综上所述，满足条件的直线l的解析式为yx或y＝﹣3x+7．28．（10
分）（2020?常州）如图，二次函数y＝x2+bx+3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，抛物线过点C（
1，0），且顶点为D，连接AC、BC、BD、CD．（1）填空：b＝﹣4；（2）点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线PC
交直线BD于点Q．若∠CQD＝∠ACB，求点P的坐标；（3）点E在直线AC上，点E关于直线BD对称的点为F，点F关于直线BC对称的
点为G，连接AG．当点F在x轴上时，直接写出AG的长．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+3的图象过点C（1，0），∴0＝1
+b+3，∴b＝﹣4，故答案为：﹣4；（2）∵b＝4，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3∵抛物线y＝x2﹣4x+3的图象与y轴交于
点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，∴点A（0，3），3＝x2﹣4x，∴x1＝0（舍去），x2＝4，∴点B（4，3），∵
y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴顶点D坐标（2，﹣1），如图1，当点Q在点D上方时，过点C作CE⊥AB于E，设BD与x轴交
于点F，∵点A（0，3），点B（4，3），点C（1，0），CE⊥AB，∴点E（1，3），CE＝BE＝3，AE＝1，∴∠EBC＝∠E
CB＝45°，tan∠ACE，∴∠BCF＝45°，∵点B（4，3），点C（1，0），点D（2，﹣1），∴BC3，CD，BD2，∵B
C2+CD2＝20＝BD2，∴∠BCD＝90°，∴tan∠DBCtan∠ACE，∴∠ACE＝∠DBC，∴∠ACE+∠ECB＝∠DB
C+∠BCF，∴∠ACB＝∠CFD，又∵∠CQD＝∠ACB，∴点F与点Q重合，∴点P是直线CF与抛物线的交点，∴0＝x2﹣4x+3，∴x1＝1，x2＝3，∴点P（3，0）；当点Q在点D下方上，过点C作CH⊥DB于H，在线段BH的延长线上截取HF＝QH，连接CQ交抛物线于点P，∵CH⊥DB，HF＝QH，∴CF＝CQ，∴∠CFD＝∠CQD，∴∠CQD＝∠ACB，∵CH⊥BD，∵点B（4，3），点D（2，﹣1），∴直线BD解析式为：y＝2x﹣5，∴点F（，0），∴直线CH解析式为：yx，∴，解得，∴点H坐标为（，），∵FH＝QH，∴点Q（，），∴直线CQ解析式为：yx，联立方程组，解得：或，∴点P（，）；综上所述：点P的坐标为（3，0）或（，）；（3）如图，设直线AC与BD的交点为N，作CH⊥BD于H，过点N作MN⊥x轴，过点E作EM⊥MN，连接CG，GF，∵点A（0，3），点C（1，0），∴直线AC解析式为：y＝﹣3x+3，∴，∴，∴点N坐标为（，），∵点H坐标为（，），∴CH2＝（1）2+（）2，HN2＝（）2+（）2，∴CH＝HN，∴∠CNH＝45°，∵点E关于直线BD对称的点为F，∴EN＝NF，∠ENB＝∠FNB＝45°，∴∠ENF＝90°，∴∠ENM+∠FNM＝90°，又∵∠ENM+∠MEN＝90°，∴∠MEN＝∠FNM，∴△EMN≌△NKF（AAS）∴EM＝NK，MN＝KF，∴点E的横坐标为，∴点E（，），∴MNKF，∴CF1＝6，∵点F关于直线BC对称的点为G，∴FC＝CG＝6，∠BCF＝∠GCB＝45°，∴∠GCF＝90°，∴点G（1，6），∴AG．第28页（共28页） |
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