2020年山东省菏泽市中考数学试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正
确选项的序号涂在答题卡的相应位置．）1．（3分）下列各数中，绝对值最小的数是（）A．﹣5B．C．﹣1D．2．（3分）函数y的自
变量x的取值范围是（）A．x≠5B．x＞2且x≠5C．x≥2D．x≥2且x≠53．（3分）在平面直角坐标系中，将点P（﹣3，2
）向右平移3个单位得到点P''，则点P''关于x轴的对称点的坐标为（）A．（0，﹣2）B．（0，2）C．（﹣6，2）D．（﹣6，﹣
2）4．（3分）一个几何体由大小相同的小立方块搭成，它的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则该几何体
的主视图为（）A．B．C．D．5．（3分）如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件
是（）A．互相平分B．相等C．互相垂直D．互相垂直平分6．（3分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转角α，得到△ADE，若点E恰
好在CB的延长线上，则∠BED等于（）A．B．αC．αD．180°﹣α7．（3分）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的
方程x2﹣4x+k＝0的两个根，则k的值为（）A．3B．4C．3或4D．78．（3分）一次函数y＝acx+b与二次函数y＝ax
2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把
最后结果填写在答题卡的相应区域内．）9．（3分）计算（4）（4）的结果是．10．（3分）方程的解是．11．（3分）如图，在△A
BC中，∠ACB＝90°，点D为AB边的中点，连接CD，若BC＝4，CD＝3，则cos∠DCB的值为．12．（3分）从﹣1，2，
﹣3，4这四个数中任取两个不同的数分别作为a，b的值，得到反比例函数y，则这些反比例函数中，其图象在二、四象限的概率是．13．（
3分）如图，在菱形OABC中，OB是对角线，OA＝OB＝2，⊙O与边AB相切于点D，则图中阴影部分的面积为．14．（3分）如图，
矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，点P在对角线BD上，且BP＝BA，连接AP并延长，交DC的延长线于点Q，连接BQ，则BQ的长
为．三、解答题（本题共78分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内．）15．计算：2﹣1+|3|+2sin45°﹣（﹣2）20
20?（）2020．16．先化简，再求值：（2a），其中a满足a2+2a﹣3＝0．17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E
在AC的延长线上，ED⊥AB于点D，若BC＝ED，求证：CE＝DB．18．某兴趣小组为了测量大楼CD的高度，先沿着斜坡AB走了52
米到达坡顶点B处，然后在点B处测得大楼顶点C的仰角为53°，已知斜坡AB的坡度为i＝1：2.4，点A到大楼的距离AD为72米，求大
楼的高度CD．（参考数据：sin53°，cos53°，tan53°）19．某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生
竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A：60≤x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：90≤x≤1
00，并绘制出如图不完整的统计图．（1）求被抽取的学生成绩在C：80≤x＜90组的有多少人？（2）所抽取学生成绩的中位数落在哪个组
内？（3）若该学校有1500名学生，估计这次竞赛成绩在A：60≤x＜70组的学生有多少人？20．如图，一次函数y＝kx+b的图象与
反比例函数y的图象相交于A（1，2），B（n，﹣1）两点．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）直线AB交x轴于点C，点P是
x轴上的点，若△ACP的面积是4，求点P的坐标．21．今年史上最长的寒假结束后，学生复学，某学校为了增强学生体质，鼓励学生在不聚集
的情况下加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元
．（1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元？（2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不能超过260元；若要求
购买跳绳的数量多于20根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案．22．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交
于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．（1）求证：DE⊥AC；（2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．23．如图1，四边
形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD+CD．（1）过点A作AE∥DC交BD于点E，求证：AE＝BE；（2
）如图2，将△ABD沿AB翻折得到△ABD''．①求证：BD''∥CD；②若AD''∥BC，求证：CD2＝2OD?BD．24．如图，抛物
线y＝ax2+bx﹣6与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，OA＝2，OB＝4，直线l是抛物线的对称轴，在直线l右侧的抛物线上
有一动点D，连接AD，BD，BC，CD．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点D在x轴的下方，当△BCD的面积是时，求△ABD的面
积；（3）在（2）的条件下，点M是x轴上一点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点，以BD为一边的四边
形是平行四边形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．2020年山东省菏泽市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大
题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置．）1．
（3分）下列各数中，绝对值最小的数是（）A．﹣5B．C．﹣1D．【解答】解：∵|﹣5|＝5，||，|﹣1|＝1，||，∴绝对值
最小的数是．故选：B．2．（3分）函数y的自变量x的取值范围是（）A．x≠5B．x＞2且x≠5C．x≥2D．x≥2且x≠5【解
答】解：由题意得x﹣2≥0且x﹣5≠0，解得x≥2且x≠5．故选：D．3．（3分）在平面直角坐标系中，将点P（﹣3，2）向右平移3
个单位得到点P''，则点P''关于x轴的对称点的坐标为（）A．（0，﹣2）B．（0，2）C．（﹣6，2）D．（﹣6，﹣2）【解答】
解：∵将点P（﹣3，2）向右平移3个单位得到点P''，∴点P''的坐标是（0，2），∴点P''关于x轴的对称点的坐标是（0，﹣2）．故选
：A．4．（3分）一个几何体由大小相同的小立方块搭成，它的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则该几何
体的主视图为（）A．B．C．D．【解答】解：从正面看所得到的图形为．故选：A．5．（3分）如果顺次连接四边形的各边中点得到的四
边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是（）A．互相平分B．相等C．互相垂直D．互相垂直平分【解答】解：由矩形的性质
知，矩形的四角为直角，即每组邻边互相垂直，故原四边形的对角线应互相垂直．故选：C．6．（3分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转角α
，得到△ADE，若点E恰好在CB的延长线上，则∠BED等于（）A．B．αC．αD．180°﹣α【解答】解：∵∠ABC＝∠ADE
，∠ABC+∠ABE＝180°，∴∠ABE+∠ADE＝180°，∴∠BAD+∠BED＝180°，∵∠BAD＝α，∴∠BED＝180
°﹣α．故选：D．7．（3分）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个根，则k的值为（）A．3
B．4C．3或4D．7【解答】解：当3为腰长时，将x＝3代入x2﹣4x+k＝0，得：32﹣4×3+k＝0，解得：k＝3；当3为底边
长时，关于x的方程x2﹣4x+k＝0有两个相等的实数根，∴△＝（﹣4）2﹣4×1×k＝0，解得：k＝4，此时两腰之和为4，4＞3，
符合题意．∴k的值为3或4．故选：C．8．（3分）一次函数y＝acx+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象
可能是（）A．B．C．D．【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本
选项错误；B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项正确；C、由抛物线可知，a＜
0，b＞0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＜0，b＜0，故本选项错误；D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，c＞0，则ac＜0，
由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项错误．故选：B．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答
题卡的相应区域内．）9．（3分）计算（4）（4）的结果是﹣13．【解答】解：原式＝（）2﹣42＝3﹣16＝﹣13．故答案为：﹣
13．10．（3分）方程的解是x．【解答】解：方程，去分母得：（x﹣1）2＝x（x+1），整理得：x2﹣2x+1＝x2+x，解
得：x，经检验x是分式方程的解．故答案为：x．11．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边的中点，连接CD，若
BC＝4，CD＝3，则cos∠DCB的值为．【解答】解：过点D作DE⊥BC，垂足为E，∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，∴DE∥
AC，又∵点D为AB边的中点，∴BE＝ECBC＝2，在Rt△DCE中，cos∠DCB，故答案为：．12．（3分）从﹣1，2，﹣3，
4这四个数中任取两个不同的数分别作为a，b的值，得到反比例函数y，则这些反比例函数中，其图象在二、四象限的概率是．【解答】解：
画树状图得：则共有12种等可能的结果，∵反比例函数y中，图象在二、四象限，∴ab＜0，∴有8种符合条件的结果，∴P（图象在二、四象
限），故答案为：．13．（3分）如图，在菱形OABC中，OB是对角线，OA＝OB＝2，⊙O与边AB相切于点D，则图中阴影部分的面积
为2π．【解答】解：连接OD，∵四边形OABC为菱形，∴OA＝AB，∵OA＝OB，∴OA＝OB＝AB，∴△OAB为等边三角形，
∴∠A＝∠AOB＝60°，∵AB是⊙O的切线，∴OD⊥AB，∴OD＝OA?sinA，同理可知，△OBC为等边三角形，∴∠BOC＝6
0°，∴图中阴影部分的面积＝22π，故答案为：2π．14．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，点P在对角线BD上，
且BP＝BA，连接AP并延长，交DC的延长线于点Q，连接BQ，则BQ的长为3．【解答】解：∵矩形ABCD中，AB＝5，AD＝1
2，∠BAD＝∠BCD＝90°，∴BD13，∵BP＝BA＝5，∴PD＝BD﹣BP＝8，∵BA＝BP，∴∠BAP＝∠BPA＝∠DPQ
，∵AB∥CD，∴∠BAP＝∠DQP，∴∠DPQ＝∠DQP，∴DQ＝DP＝8，∴CQ＝DQ﹣CD＝DQ﹣AB＝8﹣5＝3，∴在Rt
△BCQ中，根据勾股定理，得BQ3．故答案为：3．三、解答题（本题共78分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内．）15．计算：
2﹣1+|3|+2sin45°﹣（﹣2）2020?（）2020．【解答】解：原式32（﹣2）202031＝2．16．先化简，再求值
：（2a），其中a满足a2+2a﹣3＝0．【解答】解：原式＝（）??＝2a（a+2）＝2（a2+2a）＝2a2+4a，∵a2+
2a﹣3＝0，∴a2+2a＝3，则原式＝2×3＝6．17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E在AC的延长线上，ED⊥AB于
点D，若BC＝ED，求证：CE＝DB．【解答】证明：∵ED⊥AB，∴∠ADE＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A，BC＝DE，∴△ABC
≌△AED（AAS），∴AE＝AB，AC＝AD，∴CE＝BD．18．某兴趣小组为了测量大楼CD的高度，先沿着斜坡AB走了52米到达
坡顶点B处，然后在点B处测得大楼顶点C的仰角为53°，已知斜坡AB的坡度为i＝1：2.4，点A到大楼的距离AD为72米，求大楼的高
度CD．（参考数据：sin53°，cos53°，tan53°）【解答】解：如图，过点B作BE⊥AD于点D，BF⊥CD于点F，∵CD
⊥AD，∴四边形BEDF是矩形，∴FD＝BE，FB＝DE，在Rt△ABE中，BE：AE＝1：2.4＝5：12，设BE＝5x，AE＝
12x，根据勾股定理，得AB＝13x，∴13x＝52，解得x＝4，∴BE＝FD═5x＝20，AE＝12x＝48，∴DE＝FB＝AD
﹣AE＝72﹣48＝24，∴在Rt△CBF中，CF＝FB×tan∠CBF≈2432，∴CD＝FD+CF＝20+32＝52（米）．答
：大楼的高度CD约为52米．19．某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成
绩，分成四组：A：60≤x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：90≤x≤100，并绘制出如图不完整的统计图．（1）
求被抽取的学生成绩在C：80≤x＜90组的有多少人？（2）所抽取学生成绩的中位数落在哪个组内？（3）若该学校有1500名学生，估计
这次竞赛成绩在A：60≤x＜70组的学生有多少人？【解答】解：（1）本次抽取的学生有：12÷20%＝60（人），C组学生有：60﹣
6﹣12﹣18＝24（人），即被抽取的学生成绩在C：80≤x＜90组的有24人；（2）所抽取学生成绩的中位数落在C：80≤x＜90
这一组内；（3）1500150（人），答：这次竞赛成绩在A：60≤x＜70组的学生有150人．20．如图，一次函数y＝kx+b的图
象与反比例函数y的图象相交于A（1，2），B（n，﹣1）两点．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）直线AB交x轴于点C，点
P是x轴上的点，若△ACP的面积是4，求点P的坐标．【解答】解：（1）将点A（1，2）代入y，得：m＝2，∴y，当y＝﹣1时，x＝
﹣2，∴B（﹣2，﹣1），将A（1，2）、B（﹣2，﹣1）代入y＝kx+b，得：，解得，∴y＝x+1；∴一次函数解析式为y＝x+1
，反比例函数解析式为y；（2）在y＝x+1中，当y＝0时，x+1＝0，解得x＝﹣1，∴C（﹣1，0），设P（m，0），则PC＝|﹣
1﹣m|，∵S△ACP?PC?yA＝4，∴|﹣1﹣m|×2＝4，解得m＝3或m＝﹣5，∴点P的坐标为（3，0）或（﹣5，0）．21
．今年史上最长的寒假结束后，学生复学，某学校为了增强学生体质，鼓励学生在不聚集的情况下加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活
动器材．已知购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元．（1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元？（2
）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不能超过260元；若要求购买跳绳的数量多于20根，通过计算说明共有哪几种购买
跳绳的方案．【解答】解：（1）设购买一根跳绳需要x元，购买一个毽子需要y元，依题意，得：，解得：．答：购买一根跳绳需要6元，购买一
个毽子需要4元．（2）设购买m根跳绳，则购买（54﹣m）个毽子，依题意，得：，解得：20＜m≤22．又∵m为正整数，∴m可以为21
，22．∴共有2种购买方案，方案1：购买21根跳绳，33个毽子；方案2：购买22根跳绳，32个毽子．22．如图，在△ABC中，AB
＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．（1）求证：DE⊥AC；（2）若⊙O的半径为5，BC＝
16，求DE的长．【解答】（1）证明：连接AD、OD．∵AB是圆O的直径，∴∠ADB＝90°．∴∠ADO+∠ODB＝90°．∵DE
是圆O的切线，∴OD⊥DE．∴∠EDA+∠ADO＝90°．∴∠EDA＝∠ODB．∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD．∴∠EDA＝∠
OBD．∵AC＝AB，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD．∵∠DBA+∠DAB＝90°，∴∠EAD+∠EDA＝90°．∴∠DEA＝9
0°．∴DE⊥AC．（2）解：∵∠ADB＝90°，AB＝AC，∴BD＝CD，∵⊙O的半径为5，BC＝16，∴AC＝10，CD＝8，
∴AD6，∵S△ADCAC?DE，∴DE．23．如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD+CD．
（1）过点A作AE∥DC交BD于点E，求证：AE＝BE；（2）如图2，将△ABD沿AB翻折得到△ABD''．①求证：BD''∥CD；②
若AD''∥BC，求证：CD2＝2OD?BD．【解答】（1）证明：∵AE∥DC，∴∠CDO＝∠AEO，∠EAO＝∠DCO，又∵OA＝
OC，∴△AOE≌△COD（AAS），∴CD＝AE，OD＝OE，∵OB＝OE+BE，OB＝OD+CD，∴BE＝CD，∴AE＝BE；
（2）①证明：如图1，过点A作AE∥DC交BD于点E，由（1）可知△AOE≌△COD，AE＝BE，∴∠ABE＝∠AEB，∵将△AB
D沿AB翻折得到△ABD''，∴∠ABD''＝∠ABD，∴∠ABD''＝∠BAE，∴BD''∥AE，又∵AE∥CD∴BD''∥CD．②证明：
如图2，过点A作AE∥DC交BD于点E，延长AE交BC于点F，∵AD''∥BC，BD''∥AE，∴四边形AD''BF为平行四边形．∴∠D
''＝∠AFB，∵将△ABD沿AB翻折得到△ABD''．∴∠D''＝∠ADB，∴∠AFB＝∠ADB，又∵∠AED＝∠BEF，∴△AED∽
△BEF，∴，∵AE＝CD，∴，∵EF∥CD，∴△BEF∽△BDC，∴，∴，∴CD2＝DE?BD，∵△AOE≌△COD，∴OD＝O
E，∴DE＝2OD，∴CD2＝2OD?BD．24．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣6与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，OA＝
2，OB＝4，直线l是抛物线的对称轴，在直线l右侧的抛物线上有一动点D，连接AD，BD，BC，CD．（1）求抛物线的函数表达式；（
2）若点D在x轴的下方，当△BCD的面积是时，求△ABD的面积；（3）在（2）的条件下，点M是x轴上一点，点N是抛物线上一动点，是
否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点，以BD为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵OA＝2，OB＝4，∴A（﹣2，0），B（4，0），把A（﹣2，0），B（4，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣6中得：，∴抛物线的解析式为：yx2x﹣6；（2）如图1，过D作DG⊥x轴于G，交BC于H，当x＝0时，y＝﹣6，∴C（0，﹣6），设BC的解析式为：y＝kx+b，则，解得：，∴BC的解析式为：yx﹣6，设D（x，x2x﹣6），则H（x，x﹣6），∴DHx﹣6﹣（x2x﹣6），∵△BCD的面积是，∴，∴，解得：x＝1或3，∵点D在直线l右侧的抛物线上，∴D（3，），∴△ABD的面积；（3）分两种情况：①如图2，N在x轴的上方时，四边形MNBD是平行四边形，∵B（4，0），D（3，），且M在x轴上，∴N的纵坐标为，当y时，即x2x﹣6，解得：x＝1或1，∴N（1，）或（1，）；②如图3，点N在x轴的下方时，四边形BDNM是平行四边形，此时M与O重合，∴N（﹣1，）；综上，点N的坐标为：（1，）或（1，）或（﹣1，）．第23页（共23页） |
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