对称特殊矩阵之行列式及其特征根算法第1节对称特殊矩阵之行列式算法本文乃笔者研习矩阵与行列式时所自行设计之习作，因其答案有一定之规律
性，故值得记录以作日后参考之用。设有一对称特殊方形矩阵An，而An=[p–q\p+(n–1)q\p
–q]n×n即有一方阵An，元素数为n×n，而An之对角线元素为p+(n–1)q，对角线左右两方之元素
皆为p–q，所有元素均有一分母n，试求其行列式之值。下式为其行列式之值，即|An|：每列先抽出因子，因有n列，故
行列式有因子。从第二列至n列加至第一列从第一列抽出因子np并化简第一栏乘以–1并加至其他栏得第一列乘以–(p–
q)并加至其他列得将第二列至第n列之元素np抽出得行列式为单位行列式其值为1，行列式左方因子化简=pqn–1
-----------------------------------------(1)。举例若n=5，则A5之行列式之
值为=pq4。或依(1)式，以n=5代入，即得pqn–1=pq5–1=pq4。第2节对称特
殊矩阵之行列式特征根算法依旧以第1节之对称特殊矩阵为基础，今求其行列式之特征根(characteristicroots)
。今设|An|之特征根为x，今依特征根之定义，可列出以下之行列式方程式：=0解x，即可得特征根。因n≠0，所以
因子可以略去。依第1节之步骤，从第二列至n列加至第一列得从第一列抽出因子np–x第一栏乘以–1并加至其他栏得
第一列乘以–(p–q)并加至其他列得将第二列至第n列之元素nq–x抽出得=0行列式为单位行列式其值为1
，左方因子之积为0，即(np–x)(nq–x)n–1=0即可知np–x=0，即x=np﹝只有
1根﹞或(nq–x)n–1=0，即x=nq，是为n–1重根。n阶行列式特征根之数必为n。验证：若
x=nq，则p+(n–1)q–x=p+(n–1)q–nq=p–q，即行列式中所有元素皆为
p–q，行列式之值显然为0，特征根正确。若x=np，则p+(n–1)q–x=p+(n–1)q
–np=(1–n)(p–q)，行列式方程式左方可变成﹝略去因子﹞：各列抽出因子(p–q)得=(p–
q)n从第二列至n列加至第一列得=(p–q)n=(p–q)n=0。行列式有一列之元素全为0，则行列式之值为0。
因此特征根x=np亦正确。学习行列式之运算及其特征根之求法，以对称特殊方形矩阵入手乃是一可行之法。2 |
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