二次函数中考热点——铅垂高三角形铅垂高的定义从三角形的三个顶点出发，作垂直于水平方向的三条直线，其中外侧两条直线之间的距离就叫做三角形的“水
平宽”，中间的直线在三角形内部的线段叫做“铅垂高”。如图，线段BD的长度叫做△ABC的“水平宽”，线段AM的长度叫做△ABC的“铅
垂高”。=AM+AM=AM+AM=AMBD=水平宽×铅垂高如图，已知点A是直线CD上方抛物线上的一个动点，点A（，），点B（，）
。则AB=-，=（-）（-）“铅垂高”中考应用赏析问题1：（2021东营中考）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两
点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x+2过B、C两点，连接AC．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：△AOC∽△ACB；（3）点M（
3，2）是抛物线上的一点，点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为抛物线对称轴上一动点，当
线段DE的长度最大时，求PD+PM的最小值．解：（1）∵直线y＝﹣x+2过B、C两点，当x＝0时，代入y＝﹣x+2，得y＝2，即C
（0，2），当y＝0时，代入y＝﹣x+2，得x＝4，即B（4，0），把B（4，0），C（0，2）分别代入y＝﹣x2+bx+c，得，
解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）∵抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于点A，∴﹣x2+x+2＝0，解得x1＝﹣1，
x2＝4，∴点A的坐标为（﹣1，0），∴AO＝1，AB＝5，在Rt△AOC中，AO＝1，OC＝2，∴AC＝，∴＝＝，∵＝，∴＝，又
∵∠OAC＝∠CAB∴△AOC∽△ACB（3）设点D的坐标为（x，﹣x2+x+2），则点E的坐标为（x，﹣x+2），∴DE＝﹣x
2+x+2﹣（﹣x+2）＝﹣x2+x+2+x﹣2＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣2）2+2，∵﹣＜0，∴当x＝2时，线段DE的长度最大，此
时，点D的坐标为（2，3），∵C（0，2），M（3，2），∴点C和点M关于对称轴对称，连接CD交对称轴于点P，此时PD+PM最
小，连接CM交直线DE于点F，则∠DFC＝90°，点F的坐标为（2，2），∴CD＝＝，∵PD+PM＝PC+PD＝CD，∴PD+PM
的最小值为．问题二：（2017东营中考）如图，直线y＝﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，∠ACB＝90°，抛物线
y＝ax2+bx+经过A，B两点．（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M
作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值．解：（1）∵直线y＝﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，∴
B（3，0），C（0，），∴OB＝3，OC＝，∴tan∠BCO＝＝，∴∠BCO＝60°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACO＝30°，∴
＝tan30°＝，即＝，解得AO＝1，∴A（﹣1，0）；（2）∵抛物线y＝ax2+bx+经过A，B两点，∴，解得，∴抛物线解析式为
y＝﹣x2+x+；（3）∵MD∥y轴，MH⊥BC，∴∠MDH＝∠BCO＝60°，则∠DMH＝30°，∴DH＝DM，MH＝DM，∴△
DMH的周长＝DM+DH+MH＝DM+DM+DM＝DM，∴当DM有最大值时，其周长有最大值，∵点M是直线BC上方抛物线上的一点
，∴可设M（t，﹣t2+t+），则D（t，﹣t+），∴DM＝﹣t2+t+﹣（﹣t+）＝﹣t2+t＝﹣（t﹣）2+，∴当t＝时，DM
有最大值，最大值为，此时DM＝×＝，即△DMH周长的最大值为．问题三：（2020东营中考）如图，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a的图
象经过点C（0，2），交x轴于点A、B（点A在点B左侧），连接BC，直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与BC上方的抛物线交
于点E，与BC交于点F．（1）求抛物线的解析式及点A、B的坐标；（2）是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点E的坐标；若不
存在，请说明理由．解：（1）把C（0，2）代入y＝ax2﹣3ax﹣4a得：﹣4a＝2．解得a＝﹣．则该抛物线解析式为y＝﹣x2+x
+2．由于y＝﹣x2+x+2＝﹣（x+1）（x﹣4）．故A（﹣1，0），B（4，0）；（2）存在，理由如下：由题意知，点E位于y轴
右侧，作EG∥y轴，交BC于点G，∴CD∥EG，∴＝．∵直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，则D（0，1）．∴CD＝2﹣1＝
1．∴＝EG．设BC所在直线的解析式为y＝mx+n（m≠0）．将B（4，0），C（0，2）代入，得．解得．∴直线BC的解析式是y＝
﹣x+2．设E（t，﹣t2+t+2），则G（t，﹣t+2），其中0＜t＜4．∴EG＝（﹣t2+t+2）﹣（﹣t+2）＝﹣（t﹣2）
2+2．∴＝﹣（t﹣2）2+2．∵＜0，∴当t＝2时，存在最大值，最大值为2，此时点E的坐标是（2，3）．问题四：（2019东营中
考）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（2，0）、B（﹣4，0），与y轴交于点C．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图1，点
P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标；解：（1）∵抛物线y＝ax+bx﹣4经过点A（2，0
），B（﹣4，0），∴，解得，∴抛物线解析式为y＝x2+x﹣4；如图1，连接OP，设点P（m，），其中﹣4＜m＜0，四边形ABPC
的面积为S。设直线BC的解析式为y=kx-4，把点B（-4,0）代入解析式，得k=-1∴y=-x-4∴点M（m，-m-4）,PM=
-m-4-（）=--2m∴S＝+12+（--2m）4--4m+12-+16∵﹣1＜0，开口向下，S有最大值，∴当m＝﹣2时，
四边形ABPC的面积最大，此时，y＝﹣4，即P（﹣2，﹣4）．因此,当四边形ABPC的面积最大时，点P的坐标为（﹣2，﹣4）．问题
5：（2018东营中考）如图，抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△
OCA∽△OBC．（1）求线段OC的长度；（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；（3）在
（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解
：（1）由题可知当y＝0时，a（x﹣1）（x﹣3）＝0，解得：x1＝1，x2＝3，即A（1，0），B（3，0），∴OA＝1，OB＝
3∵△OCA∽△OBC，∴OC：OB＝OA：OC，∴OC2＝OA?OB＝3，则OC＝；（2）∵C是BM的中点，即OC为斜边BM的中
线，∴OC＝BC∴点C的横坐标为，又OC＝，点C在x轴下方∴C（，﹣），设直线BM的解析式为y＝kx+b，把点B（3，0），C
（，﹣）代入得：，解得：b＝﹣，k＝，∴y＝x﹣，又∵点C（，﹣）在抛物线上，代入抛物线解析式，解得：a＝，∴抛物线解析式为y＝x
2﹣x+2；（3）点P存在，设点P坐标为（x，x2﹣x+2），过点P作PQ⊥x轴交直线BM于点Q，则Q（x，x﹣），∴PQ＝x﹣﹣（x2﹣x+2）＝﹣x2+3x﹣3，当△BCP面积最大时，四边形ABPC的面积最大，S△BCP＝PQ（3﹣x）+PQ（x﹣）＝PQ＝﹣x2+x﹣，当x＝﹣＝时，S△BCP有最大值，四边形ABPC的面积最大，此时点P的坐标为（，﹣）． |
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