探析角平分线的应用角平分线的定义从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。角平分线的性质角的平分线上
的点到角的两边的距离相等如图所示，已知OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E，那么P
D=PE。∵OP是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE三、角平分线的应用类型1：角平分线+垂直基本图形1：
已知OC是∠MON的平分线，P是OC上任意一点，PE⊥OM,垂足是E。解题策略：过点P作PF⊥ON，垂足是F，则PE=PF,△OE
P≌△OFD。问题1：如图，在四边形ABCD中，∠A=，AD=3，BC=5，对角线BD平分∠ABC,则△BCD的面积是（）A.
8B.10C.7.5D.无法确定分析：过点D作DE⊥BC于点E。因为BD平分∠ABC，所以AD
=DE=3,△BCD的面积是7.5。问题2：如图，已知AD∥BC，P是∠BAD与∠ABC的平分线的交点，PE⊥AB于E，且PE=
3，求AD与BC之间的距离。解：过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N∵AD∥BC∴MN⊥BC，MN的长即为AD与BC之间的距
离∵AP平分∠BAD,PM⊥AD,PE⊥AB∴PM=PE同理，PN=PE∴PM=PN=PE=3∴MN=6，
即AD与BC之间的距离为6。基本图形2：已知OC是∠MON的平分线，P是OC上一点，PE⊥OC,垂足是P。解题策略：延长EP交ON
于点F，则△OEP≌△OFP，OE=OF,PE=PF。问题3：如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠AB
D，若AC=5，BC=3，求CD的长。解：延长BD交AC于点E。∵CD平分∠ACB∴∠ACD=∠BCD∵BD⊥CD∴∠CDB=∠C
DE=在△BCD和△ECD中∴△BDC≌△EDC∴BC=EC=3，BD=DE∵∠A=∠ABD∴AE=BE=AC-EC=AC-BC
=2∴BD=BE=1在Rt△BDC中，CD==2类型2：角平分线+平行线常见基本图形：1、如图1，已知OC平分∠MON，PD∥ON
交OM于点D，则△POD为等腰三角形。2、如图2，已知AE平分∠DAC，AE∥BC，则△ABC为等腰三角形。如图3，已知BE平分∠
ABC，交AC于点E，过点E作DE∥BC，交AB于点D，则△BDE为等腰三角形。4、如图4，已知∠ABC与∠ACB的平分线相交于点
P，过点P作EF∥BC，分别交AB，AC于点E，F,则△PEB和△PFC都为等腰三角形。问题4：如图所示，在△ABC中，∠ABC与
∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D，E。若AB=12,AC=10,求△ADE的周长。解：∵BO
平分∠ABC∴∠ABO=∠OBC∵DE∥BC∴∠OBC=∠DOB∴∠DOB=∠ABO∴BD=OD同理，可得OE=CE∴=AD+DO
+OE+AE=(AD+BD)+(AE+EC)=AB+AC=22类型3：角平分线+对角互补若∠BAD+∠BCD=，BD是∠ABC的平
分线，则AD=CD。分析：过点D作DE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BA延长线于点F，则∠DEC=∠DFA=∵BD是∠ABC的平分线
∴DF=DE∵∠BAD+∠BCD=，∠BAD+∠DAF=∴∠BCD=∠DAF∴△AFD≌△CED∴AD=CD类型4：两角平分线夹角
型常见基本图形：1、如图1，BP，CP分别是∠ABC，∠ACB的平分线，则∠P=+∠A。分析：∵BP，CP分别是∠ABC，∠A
CB的平分线∴∠PBC+∠PCB=(∠ABC+∠ACB)=（-∠A）=-∠A∴∠P=-(∠PBC+∠PCB)=+∠A如图2，
BP，CP分别是∠ABC，∠ACE的平分线，则∠P=∠A。分析：∵BP，CP分别是∠ABC，∠ACE的平分线∴∠PBC=∠ABC，
∠PCE=∠ACE∴∠P=(∠PCE-∠PBC)=(∠ACE-∠ABC)=∠A如图3，BP，CP分别是∠CBD，∠BCE的平分线，
则∠P=-∠A。分析：∵BP，CP分别是∠CBD，∠BCE的平分线∴∠PBC+∠PCB=(∠CBD+∠BCE)=(∠A+∠A
CB+∠ABC+∠A)=(+∠A)=+∠A∴∠P=-(∠PBC+∠PCB)=-∠A类型5：角平分线+全等型问题5：如图，在△
ABC中，∠ACB=2∠B，AD平分∠BAC,交BC于点D。求证：AB=AC+CD方法1：（截长法）证明：在边AB上截取AF=AC
，连接DF。∵AD平分∠BAC∴∠FAD=∠DAC∴△FAD≌△CAD∴DF=DC，∠AFD=∠ACD∵∠ACB=2∠B，∠AFD
=∠B+∠BDF∴2∠B=∠B+∠BDF，即∠B=∠BDF∴BF=DF=CD∴AB=AF+BF=AC+CD方法2：（补短法）证明：
延长AC至点E，使CD=CE,连接DE。则∠CDE=∠CED，∠ACB=2∠AED∵∠ACB=2∠B∴∠AED=∠B∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠DAE∴△BAD≌△EAD∴AB=AE=AC+CE=AC+CD |
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