高中数学空间几何体填空题专题训练含答案姓名：__________班级：__________考号：__________
一、填空题（共25题）
1、双曲线的离心率为，则其渐近线的斜率是__________．
2、1的等腰直角三角形绕其一条直角边旋转一周所形成几何体的体积为___________.
3、AB的主视图、左视图和俯视图的长度分别是、4和5，则AB＝_____．
4、的正四面体的顶点都在同一球面上，则这个球的半径为___________．
5、ABC－中，AB＝BC＝，＝2，ABC＝，E、F分别为、的中点，沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为________
6、，以它的一条直角边所在直线为轴旋转所生成的旋转体的侧面积为______.
7、是水平放置的平面图形的直观图，其中，则原图形的面积为__________
8、2的正方形，俯视图是半圆，则这个几何体的体积是___________.
9、轴上，另两个顶点在函数的图象上，则此矩形绕轴旋转而成的几何体的体积的最大值为___________.
10、中，，，则四棱锥的体积为______cm3．
11、，且圆柱的底面直径与母线长均为，则球的表面积为________．
12、是水平放置的的直观图，则的周长为________．
13、为长方体的中心，截取两个棱锥和的组合体作为装饰物，已知，该组合体的体积为，则该长方体的外接球的体积为________．
14、________．
15、中，，，则该三棱锥的体积为___________.
16、中，侧棱长均为4，且相邻两条侧棱的夹角为分别是线段上的一点，则的最小值为_______．
17、6的球面上，其上、下底面分别是边长为和的正三角形，则该三棱台的体积为______.
附：，其中，分别为台上下底面的面积，为棱台的高.
18、AOBC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，，，，则原四边形AOBC的面积为______.
19、“正六角反棱柱”的多面体，其由两个全等且平行的正六边形作为基底，侧面由12个全等的以正六边形的边为底的等腰三角形组成.若某个正六角反棱柱各棱长均为1，则其外接球的表面积为___________.
20、为中点，侧面底面，则三棱锥外接球的表面积为_______，过点的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为____________
21、的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为___________
22、10，底面是长和宽分别为3?2的矩形，则该四棱柱的体积是__________：奖杯顶部两个球的半径分别为5和2，则这两个球的表面积之和为__________.
23、“今有羡除”．刘徽注：“羡除，隧道也．其所穿地，上平下邪．”现有一个羡除如图所示，四边形ABCD，ABFE，CDEF均为等腰梯形，AB∥CD∥EF，AB＝6，CD＝8，EF＝10，EF到平面ABCD的距离为3，CD与AB间的距离为10，则这个羡除的体积是________．
24、1的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内一点，若平面，则下列说法正确的是__________.
①线段的最大值是
②
③与一定异面
④三棱锥的体积为定值
25、中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体的棱长为______
============参考答案============
一、填空题
1、
由，结合，可得，即得解
【详解】
∵，又
∴，，即
．
故答案为：
2、
由条件可知旋转的几何体是圆锥，根据底面半径和高，计算几何体的体积.
【详解】
几何体是一个高为1，底面半径为1的圆锥，.
故答案为：
3、
结合长方体的结构来求得.
【详解】
线段AB的主视图、左视图和俯视图的长度分别是、4和5，
设x、y、z为长方体的长，宽，高，
则x2+z2＝8，y2+z2＝16，x2+y2＝25，
所以2（x2+y2+z2）＝49，
所以，
所以AB＝．
故答案为：．
4、
将正四面体扩充为正方体，则正四面体的外接球即为正方体的外接球，球半径即为体对角线的一半，即得解
【详解】
由题意，正四面体扩充为正方体，如图所示
若正四面体的棱长为，则正方体的棱长为1，
所以正方体的对角线长为，
则正四面体的外接球半径为：
故答案为：．
5、
由题意得直三棱柱底面为等腰直角三角形．
①若把面和面B1C1CB展开在同一个平面内，则线段EF在直角三角形A1EF中，由勾股定理得．
②若把把面ABA1B1和面A1B1C1展开在同一个平面内，设BB1的中点为G，在直角三角形EFG中，由勾股定理得．
③若把把面ACC1A1和面A1B1C1展开在同一个面内，过F作与CC1行的直线，过E作与AC平行的直线，所作两线交于点H，则EF在直角三角形EFH中，由勾股定理得
．
综上可得从E到F两点的最短路径的长度为．
答案：
点睛：
（1）研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题．
（2）在本题中由于展开的方式不同，故在解题中采用了分类讨论的方法，按照三种不同的方式将几何体的侧面展开，然后对所得的结果进行比较以得到最短距离．
6、
求出圆锥的底面半径和母线长根据圆锥的侧面积公式可得答案.
【详解】
由题意得圆锥的底面半径为，圆锥的高为，
所以母线长，
所以侧面积为.
故答案为：
7、
结合图形求出，再根据即可求出结果.
【详解】
由题意可知，
又因为，所以，
故答案为：.
8、
由三视图可知该几何体为圆柱的一半，由体积公式即得.
【详解】
由三视图可知：几何体为底面半径为1，高为2的圆柱体的一半，
∴几何体的体积为：.
故答案为：.
9、
设矩形在上的两个项点坐标为，利用是关于的方程的两根，求得，然后同体积公式得，结合二次函数知识得最大值．
【详解】
设矩形在上的两个项点坐标为，
由，知是方程的两个根.
，，，
，
当且仅当时，.
故答案为：．
10、6
【分析】
如图，过作于，可证平面，利用体积公式计算即可.
【详解】
如图，过作于，∵长方体底面是正方形，∴中，，，又由，，∴平面，∴．
考点：棱锥体积的计算．
【点睛】
本题考查四棱锥体积的计算，关键是高的计算，需利用线面垂直来求，本题属于基础题.
11、
根据题意，由于一圆柱内接于球O，且圆柱的底面直径与母线长均为2,
则圆柱的底面半径为1，球心在圆柱体的中心，
那么可知球的半径为，
可得球的表面积,
故可知其答案为8．
12、
根据斜二测画法的规则得到直角三角形的直角边长，用勾股定理求出斜边长可得结果.
【详解】
根据斜二测画法的规则可知，，，，
所以，
所以的周长为.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：掌握斜二测画法的规则是解题关键.
13、
根据棱锥的体积公式求得长方体的高，再求得长方体的外接球的半径，从而求得其外接球的体积.
【详解】
设长方体的高为，由题意得装饰品的体积，解得，
设长方体外接球的的半径为，则，解得，
所以外接球的体积为．
故答案为：.
14、
根据题意，正四棱锥的结构特征，以及平面几何知识即可求出．
【详解】
如图所示：
正四棱锥中，为在底面上的投影，设的中点为，正四棱锥的底面边长为，，，则由题意①，在中，由勾股定理得②；由①，②消去联立得，同除，得，设，
则，解得，（舍去），所以正四棱锥侧面底边上的高与底面边长的一半的比值为．
故答案为：．
15、
分析可知三棱锥为正三棱锥，计算出该三棱锥的高和底面积，可求得该三棱锥的体积.
【详解】
因为，，故三棱锥为正三棱锥，
设点在底面的射影为点，则为正的中心，如下图所示：
由正弦定理可得，故，则，
，因此，.
故答案为：.
16、
将正四棱锥的侧面展开，则的最小值为，根据数据求解即可．
【详解】
如图，将正四棱锥的侧面展开，则的最小值为；
在中，，则．
所以的最小值为.
故答案为：.
17、
如图，设为上底面的中心，为下底面的中心，计算可得为外接球的球心，求出的长度后可得三棱台的体积.
【详解】
如图，设为上底面的中心，为下底面的中心，
由题意可得，，所以，，
故的中心即为球心，所以.
又，，
所以该三棱台的体积为.
故答案为：
18、
根据图像，由“斜二测画法”可得，四边形水平放置的直观图为直角梯形，进而利用相关的面积公式求解即可
【详解】
根据图像可得，四边形水平放置的直观图为直角梯形，
作，则，
由，得，，
，，且，，所以，
原四边形的面积为.
故答案为：
19、
根据题中所给的条件，分析图中点、面之间的关系，判断出外接球球心所处的位置，列出等量关系，求得半径，进而求得球的表面积.
【详解】
根据题意，其上下底面为全等的正六边形，且是错开的，
所以侧面才会形成12个棱长为1的正三角形，
如图，为上下底面在下底面形成的投影，
且，所以，
过侧面任一三角形上顶点做底面垂线，设垂足为A，设为上下底面距离，
则有，
设球的半径为，则有，
所以其外接球的表面积为，
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：该题考查的是有关几何体外接球的表面积的求解问题，在解题的过程中，分析得出几何体外接球球心的位置以及放到相应三角形中来求解是正确解题的关键.
20、
根据球和棱锥的几何性质、面面垂直的性质定理，结合球的表面积公式和圆的面积公式进行求解即可.
【详解】
连接，由可知：和是等边三角形，
设三棱锥外接球的球心为，所以球心到平面和平面的射影是和的中心，是等边三角形，为中点，所以，
又因为侧面底面，侧面底面，
所以底面，而底面，因此
所以是矩形.
和是边长为2的等边三角形，所以两个三角形的高，
在矩形中，.
，连接，所以，
所以三棱锥外接球的表面积为；
设过点的平面为，
当时，此时所得截面的面积最小，该截面为圆形，
，
因此圆的半径为：，所以此时面积为；
当点在以为圆心的大圆上时，此时截面的面积最大，
面积为：，所以截面的面积范围为：，
故答案为：；
21、
利用圆锥的性质求出底面半径与母线长，再利用圆锥的侧面积计算公式即可得出．
【详解】
轴截面是边长为4等边三角形，
所以圆锥底面半径，
圆锥母线．
圆锥的侧面积．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查圆锥侧面积的求解，熟练掌握圆锥的性质及圆锥的侧面积的计算公式是解题的关键．
22、
根据棱柱和球的表面积公式，即可计算结果.
【详解】
四棱柱体积，
球的表面积.
故答案为：；
23、120
如图，过点作，过点作，垂足分别为，连接，将一侧的几何体补到另一侧，组成一个直三棱柱，从而可求得体积
【详解】
解：如图，过点作，过点作，垂足分别为，连接，将一侧的几何体补到另一侧，组成一个直三棱柱，
则由题意可得底面积为，棱柱的高为8，
所以体积为，
故答案为：120
24、①④
过点作出与平面平行的平面，找出其与面的交线，从而确定点在线段上.
选项①中线段的最大值可直接得到为；选项②通过建系求向量数量积来说明与平面不垂直，从而不一定成立；选项③通过构造平面来确定位置关系；选项④通过证明平面，来说明三棱锥即的体积为定值.
【详解】
如图，延长至，使得，则有
取的中点，连接，则有，
连接并延长交于点，则点为的中点.
因为，平面，平面
所以平面.
同理可得平面.
又，在平面内，且相交于点，
所以平面平面.
故点在线段上.
由图知，，故选项①正确；
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.
则，，，，.
，，.
因为，所以与不垂直，
而点在线段上，所以条件不一定成立，故选项②错误；
如图，连接，，，则有，且，
故四边形为梯形，与为相交直线，故选项③错误；
因为点，分别为，的中点，所以.
又平面，平面，所以平面.
故线段上的点到平面的距离都相等.又点在线段上，
所以三棱锥的体积为定值，即三棱锥的体积为定值，故选项④正确.
故答案为：①④.
【点睛】
立体几何问题中与动点相关问题，可以从一下几点考虑：
(1)先作辅助线，找出动点所在的线段或轨迹.
(2)判断与动点相关的条件是否成立常需结合动点所在的线段或轨迹，利用线线、线面、面面位置关系求解，或线线、线面、面面位置关系的判定或性质求解，或建立空间直角坐标系利用向量法求解.
25、
【分析】
从图形中作一个最大的水平截面，它是一个正八边形，八个顶点都在边长为铁正方形边上，由此可计算出棱长．
【详解】
作出该图形的一个最大的水平截面正八边形，如图，其八个顶点都在边长为1的正方形上，设“半正多面体”棱长为，则，解得，
故答案为：．
【点睛】
本题考查学生的空间想象能力，抽象概括能力，解题关键是从“半正多面体”中作出一个截面为正八边形且正八边形的八个顶点都在边长为1的正方形上，由此易得棱长．
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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