高中数学空间几何体选择题专题训练含答案姓名：__________班级：__________考号：__________
一、选择题（共30题）
1、已知球O的半径为2，球心到平面的距离为1，则球O被平面截得的截面面积为（）
A．B．C．D．
2、中，平面ABC，，，，则点A到平面PBC的距离为（）
A．1B．C．D．
3、a的正方体中，P在线段上，且，M为线段上的动点，则三棱锥的体积为（）
A．B．C．D．与点M的位置有关
4、的所有棱长均为2，则下列结论正确的是（???）
A．异面直线与所成角为B．点A到平面的距离为
C．D．四面体的外接球体积为
5、，底面半径长为，则该圆锥的体积为（）
A．B．C．D．
6、
A．正三棱锥一定是正四面体
B．底面是正方形的四棱锥是正四棱锥
C．底面是正方形的直四棱柱是正四棱柱
D．底面是正方形的棱台是正四棱台
7、
A．原来平行的边仍然平行
B．原来垂直的边仍然垂直
C．原来是三角形仍然是三角形
D．原来是平行四边形的可能是矩形
8、2的正方体中，为边的中点，下列结论正确的有（）
A．与所成角的余弦值为
B．过三点、、的正方体的截面面积为
C．四面体的内切球的表面积为
D．正方体中，点在底面（所在的平面）上运动并且使，那么点的轨迹是椭圆
9、的棱长为2，、、分别为、、的中点，则（）
A．平面
B．三棱锥的体积为2
C．异面直线与所成角的正切值为3
D．点到平面的距离是点到平面的距离的3倍
10、
A．B．C．D．
11、
A．B．
C．D．
12、“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示，正视图中的虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的体积为
A．B．1C．2D．4
13、的四个顶点都在球的球面上，若平面，，则球的表面积为（）
A．B．C．D．
14、24，那么其内切球的体积是（?）
A．B．C．D．
15、.则该几何体的正视图是
A．B．C．D．
16、45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（???）
A．B．
C．D．
17、，点在线段上运动，则下列判断正确的是（）
①平面平面
②平面
③异面直线与所成角的取值范围是
④三棱锥的体积不变
A．①②B．①②④C．③④D．①④
18、的等腰直角三角形和边长为的正方形，则该几何体外接球的体积为（）
A．B．C．D．
19、中，，，M为棱上的一点．当取得最小值时，的长为（）
A．B．C．D．
20、为水平放置的斜二测画法的直观图，且，则的周长为（）
A．9B．10C．11D．12
21、“”是中国传统民俗体育游戏，也是很多人儿时美好的童年记忆，陀螺一般为木制的圆锥和圆柱的组合体，上大下尖，将尖头着地，以绳绕之，然后抽打，使其旋转．如图是一个陀螺的几何体，由图中所给数据，得该几何体的表面积为（???）
A．B．
C．D．
22、“幂势既同，则积不容异”，即高度相等的两个几何体，在任意等高处被一个平面所截，如果截面面积总相等，则两个几何体体积相等．祖在研究《九章算术》中利用该原理解决了“牟合方盖”的体积计算问题，其中重要的思想如下：图1是一个棱长为的正方体，以左下棱和后下棱为轴，棱长为半径作四分之一的圆柱面，两次分割该正方体得到牟合方盖（如图2），图3也为一个棱长为的正方体，为倒立的四棱锥，用一个平面在任意等高处去截图1和图3这两个几何体，袒暅通过计算，发现阴影部分的截面面积总相等，则由祖暅原理，牟合方盖的体积为（???）
A．B．C．D．
23、为直角梯形，其中，，则原平面图形的面积为（）
A．B．C．6D．3
24、24的半正多面体，且所有顶点都在同一个正方体的表面上，它也可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，若被截正方体的棱长为，则该石凳的表面积为（）
A．B．C．D．
25、3，高为4，则（???）
A．该圆锥的母线长为5B．该圆锥的体积为
C．该圆锥的表面积为D．三棱锥体积的最大值为12
26、
A．B．C．D．
27、
A．圆锥B．棱台C．正方体D．三棱锥
28、
A．两底面可以不相似B．侧面都是全等的梯形
C．侧棱长一定相等D．侧棱延长后交于一点
29、
A．6B．C．
D．
30、，则球的体积为（）
A．B．C．D．
============参考答案============
一、选择题
1、B
【分析】
根据球的性质可求出截面圆的半径即可求解.
【详解】
由球的性质可知，截面圆的半径为，
所以截面的面积.
故选：B
2、A
【分析】
设点A到平面PBC的距离为，根据等体积法求解即可.
【详解】
因为平面ABC，
所以,
因为，，
所以
又，，
所以,
所以,
设点A到平面PBC的距离为，
则,
即,
，
故选：A
3、A
根据题意可得点到平面MBC的距离为，，利用等体积法和三棱锥的体积公式即可求出.
【详解】
由题意知，点到平面MBC的距离为a，又，
所以点到平面MBC的距离为，
又点M在上运动，所以，
所以，
故选：A.
4、BCD
由题意画出图形，证明AC⊥BD，可知A错误，同理得到C正确；直接求出A到底面的距离判断B；求出正四面体外接球的半径，进一步求得外接球的体积判断D．
【详解】
如图，
由题意，四面体ABCD为正四面体，取底面BCD的中心为G，连接CG并延长，交BD于E，则E为BD的中点，且CE⊥BD，连接AG，则AG⊥底面BCD，得AG⊥BD，又AG∩CE＝G，∴BD⊥平面ACG，则AC⊥BD，故A错误；同理，故C正确；由四面体的所有棱长为2，可得，又AC＝2，
∴，即点A到平面BCD的距离为，故B正确；设四面体ABCD的外接球的球心为O，半径为R，连接OC，
则，解得，则四面体ABCD的外接球体积为，故D正确；
故选：BCD．
5、A
由已知条件求出圆锥的高，从而可求出圆锥的体积
【详解】
解：由题意得圆锥的高为，
所以圆锥的体积为，
故选：A
6、C
由正四面体、正四棱锥、正四棱柱、正四棱台的定义辨析，即可判断
【详解】
正三棱锥不一定是正四面体，侧棱长与底面边长可能不相等，故A错误；
底面是正方形的四棱锥不一定是正四棱锥，顶点在底面的射影不一定是底面的中心，故B错误；
由正四棱住的概念可知，底面是正方形的直四棱柱是正四棱柱，故C正确；
底面是正方形的棱台不一定是正四棱台，原因是棱台的侧棱延长后的交点在两底面的射影不一定为正方形的中心，故D错误．
故选：C
7、B
根据斜二测画法的特点对四个选项逐一分析，即可得解
【详解】
由斜二侧画法可知，平行的线段仍然平行，三角形的直观图仍然是一个三角形，平行四边形的可能是矩形，原来垂直的直线不一定垂直．
故选：B
8、AB
构建空间直角坐标系，由异面直线方向向量的夹角为与所成角的余弦值判断A的正误；同样设结合向量夹角的坐标表示，且由等角的余弦值相等可得，进而判断P的轨迹知D的正误；由立方体的截面为梯形，分别求，进而得到梯形的高即可求面积，判断B的正误；由四面体的体积与内切球半径及侧面面积的关系求内切球半径r，进而求内切球表面积，判断C的正误.
【详解】
A：构建如下图所示的空间直角坐标系：
则有：，
∴，
，故正确.
B：若N为的中点，连接MN，则有，如下图示，
∴梯形AMND’为过三点、、的正方体的截面，
而，可得梯形的高为，
∴梯形的面积为，故正确.
C：如下图知：四面体的体积为正方体体积减去四个直棱锥的体积，
∴，而四面体的棱长都为，有表面积为，
∴若其内切圆半径为，则有，即，所以内切球的表面积为.故错误.
D：正方体中，点在底面（所在的平面）上运动且，即的轨迹为面截以AM、AP为母线，AC’为轴的圆锥体侧面所得曲线，如下图曲线，
构建如下空间直角坐标系，，若，则，
∴，
，即，整理得，即轨迹为双曲线的一支，故错误.
故选：AB
【点睛】
关键点点睛：应用向量的坐标表示求异面直线的夹角，并结合等角的余弦值相等及向量数量积的坐标表示求动点的轨迹，综合立方体的性质求截面面积，分割几何体应用等体积法求内切球半径，进而求内切球的表面积.
9、AC
作出完整的截面，证明得线面平行，判断A；用换顶点法求棱锥体积判断B，证明异面直线与所成的角为或其补角，在梯形中求出的正切值判断C；利用与的交点间距离的比值可得到平面的距离比，从而判断D．
【详解】
连接，连接，因为所在棱中点，因此，
又正方体中易得，所以，因此平面即为截面，
是中点，则与、平行且相等，是平行四边形，，
平面，平面，因此有平面，A正确；
，，B错；
由，因此异面直线与所成的角为或其补角，
在梯形中，，，，它是等腰梯形，
所以，C正确；
如图，在矩形中，，是中点得，，所以到平面的距离等于到平面距离的2倍，D错．
故选：AC．
10、D
由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，根据组合体的结构特征，得到组合体的侧视图．
【详解】
由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，
是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，
侧视图是一个中间有分界线的三角形，
故选：．
【点睛】
本题考查简单空间图形的三视图，考查由三视图看出原几何图形，再得到余下的三视图，本题是一个基础题．
11、D
由三视图可得该几何体的上部分是一个三棱锥，下部分是半球，
所以根据三视图中的数据可得：
12、C
由三视图中的数据，根据棱柱的体积公式求出该“堑堵”的体积．
【详解】
解：由图可知，底面是一个等腰直角三角形，直角边为，斜边为2，
又该“堑堵”的高为2，
∴该“堑堵”的体积，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查由三视图还原直观图，考查棱柱的体积公式，属于基础题．
13、A
由于B处的三条棱两两垂直，可以把三棱锥补成长方体，求出体对角线长，即外接球的直径.
【详解】
由于B处的三条棱两两垂直，可以把三棱锥补成长方体，
设球O半径为，则，
∴球表面积.
故选：A.
14、A
根据表面积得出正方体的棱长，从而得出内切球的半径，再由球的体积公式即可求解.
【详解】
设正方体的棱长为，
则，解得，
所以正方体的内切球的半径为，
其体积为.
故选：A
15、A
正视图是从前向后看得到的视图，结合选项即可作出判断．
【详解】
解：所给图形的正视图是A选项所给的图形，满足题意．故选A．
【点睛】
本题考查了简单组合体的三视图，属于基础题，关键掌握正视图是从前向后看得到的视图．
16、D
根据斜二测画法的规则，得出该平面图象的特征，结合面积公式，即可求解.
【详解】
由题意，根据斜二测画法的规则，可得该平面图形是上底长为，下底长为，高为的直角梯形，所以计算得面积为.故选：D.
17、B
由面面垂直的判定定理判断①，由面面平行的性质定理判断②，求出在特殊位置处时异面直线所成的角，判断③，由换底求体积法判断④．
【详解】
正方体中易证直线平面，从而有，同理有，证得平面，由面面垂直判定定理得平面平面，①正确；
正方体中，，从而可得线面平行，然后可得面面平行，即平面平面，而平面，从而得平面，②正确；
当是中点时，在平面内，正方体中仿照上面可证平面，从而，与所成角为．③错；
∵，由平面，知在线段上移动时，到平面距离相等，因此不变，④正确．
故选：B．
【点睛】
本题考查面面垂直的判定定理、面面平行的性质定理、异面直线所成的角、棱锥的体积等知识，考查学生的空间想象能力，属于中档题．
18、C
先由三视图得出几何体的直观图，然后由直观图将几何体补成正方体，由正方体可求其外接球的半径，从而可得答案.
【详解】
原三视图可还原成三棱锥，
可把三棱锥还原成正方体如图，则正方体棱长为，
则三棱锥的外接球的半径等于此正方体的半径，
则，
故选：C.
19、A
本题首先可通过将侧面绕逆时针转展开得出当、、共线时取得最小值，此时为的中点，然后根据平面得出，最后根据即可得出结果.
【详解】
如图，将侧面绕逆时针转展开，与侧面共面，
连接，易知当、、共线时，取得最小值，
因为，，所以为的中点，，
因为平面，平面，所以，
则，
故选：A.
【点睛】
关键点点睛：本题考查根据线面垂直判断线线垂直，能否根据题意得出当为的中点时取得最小值是解决本题的关键，考查计算能力，考查数形结合思想，是中档题.
20、D
由斜二测画法的直观图与原图的关系，运算即可得解.
【详解】
由直观图可得，在中，，且，
所以，
所以的周长为.
故选：D.
21、A
分析可知该几何体是由一个圆柱和一个圆锥拼接而成的几何体，结合三视图中的数据可求得几何体的表面积.
【详解】
由该几何体的侧面展开图可知，该几何体的表面积为上圆锥侧面展开图面积和圆柱的侧面展开图面积以及底面圆的面积之和，
圆柱侧面展开图面积，底面圆面积为，
圆锥侧面展开图扇形面积为，
所以几何体的表面积为，
故选：A．
22、C
由祖暅原理可知，四棱锥的体积与图（1）中正方体去掉“牟合方盖”的体积相等，即可得出答案.
【详解】
由祖暅原理可知，四棱锥的体积与图（1）中正方体去掉“牟合方盖”的体积相等，所以牟合方盖的体积为.
故选：C．
23、B
计算出直观图的面积，再借助水平放置的平面封闭图形面积与对应直观图面积的关系计算作答.
【详解】
依题意，直角梯形的面积，
设原水平放置的平面图形的面积为，因在斜二测画法中，水平放置的平面封闭图形的直观图面积是原图形面积的，即，
于是得，
所以原平面图形的面积为.
故选：B
24、D
由已知得到石凳的各条棱都相等，并求得棱的长度，然后分别计算6个正方形面的和，8个等边三角形面的面积的和，然后求和即得.
【详解】
由图形可得该多面体的棱长为，则6个正方形的面积之和为，8个等边三角形的面积之和为，所以该石凳的表面积为．
故选：.
25、ABD
利用圆锥的的几何特征和面积，体积公式求解.
【详解】
该圆锥的母线长为，A正确；
该圆锥的体积为，B正确；
该圆锥的表面积为，C错误；
当时，的面积最大，此时，三棱锥体积的最大值为，D正确．
故选：ABD
26、C
设，利用得到关于的方程，解方程即可得到答案.
【详解】
如图，设，则，
由题意，即，化简得，
解得（负值舍去）.
故选：C.
【点晴】
本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题.
27、A
圆锥是旋转体，旋转轴为一条直角边所在的直线.棱台、正方体和三棱锥是多面体.
【详解】
以直角三角形的直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥.
棱台，正方体和三棱锥是多面体.
故选：A.
【点睛】
本题考查旋转体和多面体的概念，棱台和圆台的区别，圆锥和棱锥的区别；考查了概念辨析能力，属于容易题目.
28、D
由棱台的特征判断．
【详解】
棱台的三个特征：①两底面相互平行且相似，②各侧棱延长后交于一点，③侧面都是梯形，
故选：D.
29、D
由三视图可知，该几何体是底面为直角梯形、高为2的直四棱柱，再结合棱柱的表面积公式求解即可.
【详解】
解：由题中三视图可知，该几何体是底面为直角梯形、高为2的直四棱柱，
所以其表面积为S表面积＝S侧面积＋2S下底面积＝
故选：D.
30、B
利用圆柱的表面积求出球的半径，再根据球的体积公式可求出结果.
【详解】
设球的半径为，
则圆柱的表面积为，
所以，得，
所以球的体积为.
故选：B
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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