高中数学基本初等函数解答题专题训练含答案姓名：__________班级：__________考号：__________
一、解答题（共15题）
1、若，其中是常数
(1)求的值;．
(2)方程的两根异号，求实数的取值范围；
(3)当时，求出不等式的解集．
2、
在点处的切线l与x轴的交点的横坐标为，令．
(1)若数列的前n项和为，求；
(2)若切线l与y轴的交点的纵坐标为，，，求数列的前n项和．
3、
是奇函数，且.
(1)求函数的解析式，并判定函数在区间上的单调性（无需证明）；
(2)已知函数且，已知在的最大值为2，求的值.
4、
1）求函数的值域；
（2）求函数,的最大值和最小值.
5、.
(1)当时，判断函数的单调性；
(2)证明函数存在最小值，并求出函数的最大值.
6、.（其中e是自然对数的底数）.
(1)写出函数的定义域，并求时函数的极值；
(2)是函数的极小值点，求实数a的取值范围.
7、．
(1)求函数的单调区间及取得最大、最小值时自变量的集合；
(2)判断函数的奇偶性．
8、R上的函数，满足对任意的实数，总有，若时，且.
(1)求的值；
(2)求证在定义域R上单调递减；
(3)若时，求实数的取值范围.
9、（且）是奇函数.
(1)求实数的值；
(2)若，，且在上的最小值为，求实数的值.
10、．
（1）若，求函数的值域；
（2）求函数在区间的最小值．
11、的定义域为.
（1）设，求的取值范围；
（2）求的最大值与最小值及相应的的值.
12、.
（1）若的图象恒在直线上方，求实数的取值范围；
（2）若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围.
13、的定义域为，若存在实数，使得对于任意都存在满足，则称函数为“自均值函数”，其中称为的“自均值数”.
（1）判断函数是否为“自均值函数”，并说明理由：
（2）若函数，为“自均值函数”，求的取值范围；
（3）若函数，有且仅有1个“自均值数”，求实数的值.
14、1）现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，请补全函数的图象，并根据图象写出函数的递增区间；
（2）写出函数的值域；
（3）写出函数的解析式.
15、1）当时，解不等式；
（2）若关于的方程有两个不等的实数根，求的取值范围；
（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.
============参考答案============
一、解答题
1、(1)0
(2)
(3)
【分析】
（1）根据函数解析式，将展开化简即可求得答案;
（2）根据方程的两根异号，列出不等式，解得答案；
（3）写出的表达式，并化简，讨论x的正负，结合一元二次不等式的解法，求得答案.
(1)
由题意可得：
；
(2)
由方程的两根异号可得：，此时，即；
(3)
时，即，
故当时，，可得或；、
故当时，，原不等式此时无解，
故不等式的解集为；
2、
(1)
(2)
【分析】
（1）根据导数的几何意义，求出在处切线的切线方程，即可得，然后利用裂项相消求和法即可求解；
（2）由题意，可得，利用错位相减法即可求解.
(1)
解：∵，∴，
∴在处切线斜率，切线方程为，
令，得，则，
∴；
(2)
解：令，得，∵，∴，
∵，
∴①
②
①－②得，
∴．
3、
(1)在区间上单调递减，在上单调递增
(2)或
【解析】
【分析】
（1）根据奇函数的性质及，即可得到方程组，求出、的值，即可得到函数解析式，再根据对勾函数的性质判断即可；
（2）分和两种情况讨论，结合对数型复合函数的单调性计算可得；
(1)
解：函数的定义域为，
是奇函数，且
，且
又
.
经检验，满足题意，
故.
当时，时等号成立，
当时，单调递减；当时，单调递增.
(2)
解：①当时，是减函数，
故当取得最小值时，且取得最大值2，
而在区间上单调递增，所以在区间上的最小值为，故的最大值是，
所以.
②当时，是增函数，
故当取得最大值时，
且取得最大值2，
而在区间上单调递增，所以在区间上的最大值为，故的最大值是，
所以.
综上所述，或.
4、
1）；（2）最大值为5，最小值为.
【解析】
【分析】
（1）可用常数分离法，也可用正弦函数的有界性求解.
（2）将函数的解析式化为同名函数，转化成二次函数闭区间上的最值问题求解.
【详解】
解：（1）方法1：
.
因为，所以.
所以当时，.
所以函数的值域为.
方法2：由，得，即，显然y≠1.
故.
因为，所以即
解得：，所以函数的值域为.
（2）
因为，所以.
令，则.
所以函数，对称轴为，且开口向上.
所以函数在上单调递增.
故，此时；
，此时，或.
所以函数的最大值为5，最小值为.
【点睛】
方法点睛：（1）对于常规的求三角函数的值域或最值问题，一般情况下，只要注意到正弦函数、余弦函数的“有界性”即可解决.
（2）对于形如或的函数，可采用常数分离后利用图象或单调性求其最值或值域，也可利用正弦函数、余弦函数自身的有界性求解.
（3）对于形如或（或可化为此形式，其中A≠0）的函数，可用配方法求其值域.注意当x有具体范围限制时，需考虑或的范围.
5、(1)上单调递减，在上单调递增
(2)证明见解析，
【解析】
【分析】
（1）将代入后求导，利用导数判断原函数单调性即可.
（2）通过二次求导证明单调递增，然后利用零点存在定理判断在区间上存在唯一零点，然后利用隐零点思想得到最小值，最后再构造新函数求出其最大值，注意在判断零点所在区间时要合理利用放缩思想，这一步为此题难点.
(1)
由题意知，
，，.
所以函数单调递增.
又，所以当时，函数单调递减；当时，，函数单调递增.
所以在上单调递减，在上单调递增.
(2)
由题意知，，.
所以函数单调递增.
令，则.
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.
所以，即.
所以，即.
另一方面，，
所以存在，使得，①
即当时，，单调递减，当时，，单调递增.
所以函数存在最小值.
由①式，得.所以（当且仅当，即，时，等号成立）.
所以，即为所求.
【点睛】
导数问题中，求导后发现导数无法因式分解，或者无法直接求出零点时的一个常用方法就是隐零点，利用设而不求思想得到最值，然后利用该隐零点所满足的等式关系进代换，从而能够方便的解题，例如本题中：即为可代换的式子.
6、(1)，极大值
(2)
【解析】
【分析】
(1)按照求极值的步骤直接求解即可；
(2)求导，整理后，根据极小值的取得条件将问题转化为是某不等式的解的问题.
(1)
由得，所以的定义域为
当时，
令，得：，
因为，当时，；或时，；时，.
所以，当时，有极小值；
当时，有极大值
(2)
记
因为在处有极小值，
所以，存在，使得当时，，即；当时，，即.
即是不等式的解，故，解得，
所以实数a的取值范围为
7、(1)，单调递减区间为，函数取最大值时自变量的集合是，函数取得最小值时自变量的集合是.
(2)函数为奇函数，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）先用诱导公式化简，再用整体法求解函数单调区间及函数取最值时自变量的取值范围；（2）利用函数奇偶性定义进行判断.
(1)
，令，，即，，令，，即，，故函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
令，，即，时，函数取得最大值；令，，即，时，函数取得最小值，所以函数取得最大值时自变量的集合是，函数取得最小值时自变量的集合是
(2)
函数定义域为R，且，故函数为奇函数.
8、(1)-2.
(2).
(3)
【解析】
【分析】
（1）利用赋值法求出的值；
（2）证明见解析；
（3）先把不等式转化为，利用函数的单调性即可求解.
(1)
因为对任意的实数，总有，
所以取，有，解得：.
取，有，因为，解得：.
(2)
任取,且，记，
则.
因为时，，所以，即，
所以在定义域R上单调递减.
(3)
因为对任意的实数，总有，
所以取，有，解得：.
所以可化为
因为在定义域R上单调递减.
所以，解得.
即不等式的解集为
9、(1)
(2).
【解析】
【分析】
（1）利用奇函数的定义可得出关于实数的等式，即可解得实数的值；
（2）令，，然后对实数的取值进行分类讨论，分析二次函数在上的单调性，可得出关于实数的等式，综合可求得实数的值.
(1)
解：因为函数为奇函数，则，
即，整理可得对任意的恒成立，
则，解得.
(2)
解：当时，由（1）可知，
因为函数、均为上的增函数，所以，，即，
令，则，
所以，，
令，其中，
二次函数的图象开口向上，对称轴为直线.
①当时，即时，函数在上单调递增，
此时，，不合乎题意；
②当时，即当时，，解得，合乎题意；
③当时，即当时，函数在上单调递减，
此时，，解得，不合乎题意.
综上所述，.
10、1）；（2）
【解析】
（1）首先讨论去掉绝对值，写成分段函数的形式，再求每段函数的值域，最后求两段函数值域的并集；（2）先分和两种情况讨论，再根据两个二次函数的对称轴再对进行讨论，分析函数的最小值.
【详解】
（1）当时，，
当时，，
函数的对称轴是，函数在单调递增，，
当时，，
函数的对称轴是，函数在区间的值域是
的值域是；
（2）当时，，，此时函数的对称轴是，
当时，，，此时函数的对称轴是，
所以，
1.当时，
当，即时，是上单调递增，此时，
当时，即时，在的对称轴处取得最小值，此时；
2.当时，
当，即时，在上单调递增，
此时，
当时，即时，即在的对称轴处取得最小值，
此时；
综上所述，
【点睛】
思路点睛：本题考查含绝对值的二次函数的性质，单调性和函数的最值，本题的难点是第二问，首先分段函数的两段函数对称轴分别是和，所以首先分和两种情况，再分含对称轴的那段的对称轴是否包含于区间讨论，求函数最小值，属于偏难题型.
11、1）；（2），当时，有最小值，当时，有最大值.
【分析】
（1）利用对数的单调性，若t＝log2x，求t的取值范围；
（2）利用对数的运算法则化简，结合配方法，即可得出结论．
【详解】
（1）由题意可得，∴，即的取值范围为；
（2）
，
令，则，其中，
所以，当，即时，有最小值，
当，即时，有最大值.
【点睛】
本题考查对数函数的性质，考查对数的运算法则，配方法的运用，属于中档题．
12、
1）；
（2）.
【分析】
(1)根据给定条件可得恒成立，再借助判别式列出不等式求解即得.
(2)根据给定条件列出不等式，再分离参数，借助函数的单调性求出函数值范围即可推理作答.
（1）
因函数的图象恒在直线上方，即，，
于是得，解得，
所以实数的取值范围是：.
（2）
依题意，，，
令，，
令函数，，，
，而，即，，
则有，即，于是得在上单调递增，
因此，，，即，从而有，则，
所以实数的取值范围是.
13、
1）不是，理由见解析；
（2）；
（3）.
【分析】
(1)假定函数是“自均值函数”，由函数的值域与函数的值域关系判断作答.
(2)根据给定定义可得函数在上的值域包含函数在上的值域，由此推理计算作答.
(3)根据给定定义可得函数在上的值域包含函数在上的值域，再借助a值的唯一性即可推理计算作答.
（1）
假定函数是“自均值函数”，显然定义域为R，则存在，对于，存在，有，
即，依题意，函数在R上的值域应包含函数在R上的值域，
而当时，值域是，当时，的值域是R，显然不包含R，
所以函数不是“自均值函数”.
（2）
依题意，存在，对于，存在，有，即，
当时，的值域是，因此在的值域包含，
当时，而，则，
若，则，，此时值域的区间长度不超过，而区间长度为1，不符合题意，
于是得，，要在的值域包含，
则在的最小值小于等于0，又时，递减，且，
从而有，解得，此时，取，的值域是包含于在的值域，
所以的取值范围是.
（3）
依题意，存在，对于，存在，有，即，
当时，的值域是，因此在的值域包含，并且有唯一的a值，
当时，在单调递增，在的值域是，
由得，解得，此时a的值不唯一，不符合要求，
当时，函数的对称轴为，
当，即时，在单调递增，在的值域是，
由得，解得，要a的值唯一，当且仅当，即，则，
当，即时，，，，，
由且得：，此时a的值不唯一，不符合要求，
由且得，，此时a的值不唯一，不符合要求，
综上得：，
所以函数，有且仅有1个“自均值数”，实数的值是.
【点睛】
结论点睛：若，，有，则的值域是值域的子集.
14、
（1）由偶函数图象的性质即可得函数图象，数形结合即可得递增区间；
（2）数形结合即可得解；
（3）由偶函数的性质运算即可得解.
【详解】
（1）根据偶函数的图象关于轴对称，补全函数的图象，如图,
结合图象可得函数的增区间为，；
（2）结合函数的图象可得，当，或时，函数取得最小值为，
函数没有最大值，故函数的值域为；
（3）当时，，
所以；
所以.
15、
（1）当时，得到不等式，结合对数的性质，即可求解；
（2）根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论的取值范围，进行求解即可；
（3）根据条件得到恒成立，利用换元法进行化简，结合对勾函数的单调性，即可求解.
【详解】
（1）当时，函数，
由不是，可得，则满足，解得或，
即当时，不等式的解集为或.
（2）由题意，关于的方程，
即，可得，
化简得且，
即且，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，不符合题意，舍去，
当且时，，且，
又由，即，解得，
，即，解得，
因为关于的方程有两个不等的实数根，
综上可得且且，
所以实数的取值范围为.
（3）由函数在上单调递减，
因为函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，
可得，即，
即，所以，
设，因为，则，
可得，
当时，，
当时，可得，
因为在区间为单调递减函数，可得，
所以
所以实数的取值范围是.
【点睛】
利用函数的图象求解方程的根的个数或研究不等式问题的策略：
1、利用函数的图象研究方程的根的个数：当方程与基本性质有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程的根就是函数与轴的交点的横坐标，方程的根据就是函数和图象的交点的横坐标；
2、利用函数研究不等式：当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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