圆的有关概念及性质【基础知识回顾】一、圆的定义：1、⑴形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转
形成的封闭图形叫做圆，固定的端点叫，线段OA叫做。⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于的点的集合。【名师提
醒：1、在一个圆中，圆心决定圆的，半径决定圆的。2、直径是圆中的弦，弦不一定是。3、弦与弧：弦：连接圆
上任意两点的叫做弦弧：圆上任意两点间的叫做弧，弧可分为、、三类4、圆的对称性：⑴轴对称性：圆是轴对称图形
，有条对称轴，的直线都是它的对称轴.⑵中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是。【名师提醒：圆不仅是中心对称
图形，而且具有旋转性，即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】1、判断下列说法的正误：(1)弦是直径；(2)半圆是弧；(
3)过圆心的线段是直径；(4)过圆心的直线是直径；(5)半圆是最长的弧；(6)直径是最长的弦；(7)等弧就是拉直以后长度相等的弧
想一想2、如图,已知CD是☉O的直径,∠EOD=78°,AE交☉O于点B,且AB=OC,求∠A的度数.分析:已知∠EOD=78°
,与∠A构成了内、外角关系,而∠E也未知,且AB=OC这一条件不能直接使用,因此想到同圆的半径相等,需连接半径OB,从而得到OB=
AB.解:连接OB.∵AB=OC,OB=OC,∴AB=OB,∴∠A=∠1.又OB=OE,∴∠E=∠2=∠1+∠A,∴∠DOE=∠E
+∠A=3∠A.∵∠DOE=78°,∴3∠A=78°,∴∠A=26°.5、垂径定理及推论：（1）垂径定理：垂直于弦的直径，并
且平分弦所对的。几何语言：∵CD过圆心,且___________∴,,.（2）推论：平分弦（）的直径
，并且平分弦所对的。几何语言：∵CD过圆心,且___________∴,
,.【名师提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦（非直径）⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧
五个条件中的两个，那么可推出其中三个，注意解题过程中灵活运用。2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的线3、垂径定理常用作计算，在半径
r弦a弦心距d和弓形高h中已知两个量可求另外两个量】问题1：一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16
，则截面圆心O到水面的距离OC是（）A.4B.5C.6D.8问题2：绍兴市著名的桥乡，
如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为_________问题3：如图，AB是的直径，C是上一
点，AB=10，AC=6，，垂足为D，则BD的长为（）（A）2（B）3（C）4（D）6问题4：如图，⊙O的直
径AB＝12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP：AP＝1：5，则CD的长为（）．A．B．
C．D．问题5：CD为⊙O的直径,弦AB⊥CD于点E,CE=1,AB=10,求CD的长.D.OEABCFFCCDD
BBAAEE··OO问题6：如图，已知ＡＢ、ＣＤ是⊙Ｏ的两条平行弦，⊙Ｏ的半径是５ｃｍ，ＡＢ＝８ｃｍ，ＣＤ＝６ｃｍ。求ＡＢ、ＣＤ的
距离。问题7：如图4，⊙M与x轴相交于点A（2，0），B（8，0），与y轴相切于点C，则圆心M的坐标是三、圆心角、弧、弦之间
的关系：1、圆心角定义：顶点在的角叫做圆心角。2、定理：在中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应的其余各
组量也分别。几何语言：∵在圆O中，_______∴,.∵在圆O中，________∴,.∵在圆O中，_______
_∴,.【名师提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】︵A︵︵问题8：在同圆中,若AB=2CD，则弦AB与2
CD的大小关系是（）分析:我们可取AB的中点M,则AM=BM=CD,弧相等则弦相等,在△AMB中AM+BM＞AB,即2CD
＞AB.C︵︵︵DOBBA.AB＞2CDB.AB＜2CDC.AB=2CDD.不能
确定M问题9：如图,已知A,B,C,D是☉O上的四个点,AB=BC,BD交AC于点E,连接CD,AD.(1)求证:DB平分∠AD
C;(2)若BE=3,ED=6,求AB的长.?四、圆周角定理及其推论：1、圆周角定义：顶点在并且两边都和圆的角叫圆周角
2、圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的。推论1、在同圆或等圆中，如果两个
圆周角那么它们所对的弧。推论2、半圆（或直弦）所对的圆周角是，的圆周角所对的弦是。【名师提醒：1、在圆中，一条弦所对
的圆心角只有一个，而它所对的圆周角有个，它们的关系是。2、作直弦所对的圆周角是圆中常作的辅助线】问题10：如图，将直角三角
板60°角的顶点放在圆心O上，斜边和一直角边分别与⊙O相交于A、B两点，P是优弧AB上任意一点（与A、B不重合），则∠APB=．
问题11：如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD等于__________
___问题12：△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（）A．80°B．160°C．
100°D．80°或100°问题13：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点N，点M在⊙O上，∠1=∠C（1）求证：CB
∥MD；（2）若BC=4，sinM=，求⊙O的直径．3、圆内接四边形定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做这
个圆叫做。性质：圆内接四边形的对角，每一个外角等于它的。【名师提醒：圆内接平行四边形是】如图,已知四边形ABCD是
圆内接四边形,∠1=120°,则∠CDE=度.?问题14：如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC＝140°，则∠AOC的大
小是()A．80°B．100°C．60°D．40°问题15：如图，⊙C过原点，且与两
坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径长为（）A．6
B．5C．3D．3问题16：如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD＝120°，过D点的切线PD与直
线AB交于点P，则∠ADP的度数为()A．40°B．35°C．30°D．45°拔高训练：如图，已知，
⊙O的直径CD为4，点A在⊙O上，∠ACD=30°，B为弧AD的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为____
______．本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com(1)证明:∵AB=BC,∴.∴∠ADB=∠BDC,∴DB平分∠ADC.(2)解:由(1)知,∴∠BAE=∠ADB.∵∠ABE=∠ABD,∴△ABE∽△DBA.∴.∵BE=3,ED=6,∴BD=9.∴AB2=BE·BD=3×9=27.∴AB=3. |
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