相似三角形专题复习一.相似三角形知识要点1.相似三角形的定义：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形。2.相似比：相似三角形的对应
边的比，叫做相似三角形的相似比。△ABC∽△A/B/C/,如果BC=3,B/C/=1.5,那么△A/B/C/与△ABC的相似比
为_________.二、相似三角形的识别和应用(1)判定①如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角
形相似．②如果一个三角形的两条边分别与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．③如果一个三角形的三
条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．EFNMG例1.EDFMNHG若G为BC中点,EG交AB于点F
,且EF:FG=2:3,试求AF:FB的值.添平行线构造相似三角形的基本图形。12EFGENFMG若G为BC中点,EG交AB于点
F,且EF:FG=2:3,试求AF:FB的值.添平行线构造相似三角形的基本图形。相似三角形判定的基本模型一A字型、
反A字型（斜A字型）（平行）（不平行）例2.已知：在△ABC中，DE∥BC，点F是线段D
E上一点，连接AF并延长与BC相交于点G.求证：DF·GC=FE·BGADEBC课堂训练:1、如图，点D、E分别是△ABC边AB、
AC上的点，且DE∥BC，BD＝2AD，那么△ADE的周长︰△ABC的周长＝。1:32.右图中,若D,E分别是AB,AC边上的
中点,且DE=4则BC=＿＿＿＿83.右图中,DE∥BC，S△ADE:S四边形DBCE=1:8,则AE:AC=＿＿＿＿＿1
:34.在△ABC中，AC=4,AB=5.D是AC上一动点,且∠ADE=∠B,设AD=x,AE=y,写出y与x之间的函数关系式.
试确定x的取值范围.解:
∵∠A=∠A∵
∠ADE=∠B∴△ADE∽△ABC()∴AD:AB=AE:AC
∴x:5=y:4∴y=0.8xAEDBC(0＜x≤4)AED
CBF5.如图：DE∥BC，EF∥AB,AE：EC=2：3，S△ABC=25，求S四边形BDEF解：∵AE：EC=2:3∴
AE:AC=2:5∵DE∥BC∴△ADE∽△ABCS△ADE4AE2∴＝S△ABC（）＝AC25S△ABC=
25∵S△ADE∴＝4相似三角形判定的基本模型二（平行）（不平行）8字型
反8字型（蝴蝶型）例题：已知：AB∥CD,连接AD,CB相交于点E.过E点作EF平行于线段AB，
与线段AC相交于点F。求：的值。练1.如图，ABCD中，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，与D
C交于点F，则图中相似三角形共有______对。（全等除外）学以致用CBGFEAD52.如图，在ABCD中，E是BC上一点，
BE：EC=1：2，AE与BD相交于F，则BF：FD=_______，S△ADF:S△EBF=______AD学以致用
FCEB1:31:99:1相似三角形判定的基本模型一A字型、反A字型（斜A字型）（平行）
（不平行）相似三角形判定的基本模型二（平行）（不平行）8字型
反8字型（蝴蝶型）四、运用ABODC1.添加一个条件，使△AOB∽△DOC解：角：
∠B=∠C或∠A=∠D边：AB∥CDAO：OD=BO：CO“X”型?四、运用ADECB面积：2.若△ABC∽△A
DE，你可以得出什么结论？角：∠ADE=∠B∠AED=∠C边：DE∥BC“A”型?3、D、E分别是△ABC边
AB、AC上的点，请你添加一个条件，使△ADE与△ABC相似。解：角：∠B=∠2或∠1=∠C边：AD：AC=AE：A
B斜交型4、已知CD是Rt△ACB斜边AB上的高，且CD=6，BD=12，则AD=________,AC=_________。3
6312垂直型ADECBG知识源于悟1.如图，DE∥BC，D是AB的中点，DC、BE相交于点G。求=1:2=1:2如图:写出其中的
几个等积式①AC2=②BC2=③OC2=AO×ABBO×ABC(0,2)AO×BO若AC=3,AO=1.写出A.B.C
三点的坐标.ABO(-1,0)(8,0)DABC(2)∵△ABD∽△DCB∴AD=BDBDBC即:BD2
=AD·BC已知,如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=900,对角线BD⊥CD求证:(1)△ABD∽△DCB;(2)BD
2=AD·BC证明:(1)∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC∵∠A=∠BDC=90°,∴△ABD∽△DCBPD
AEBC如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠A=900,AB=2,AD=5,P是AD上一动点(不与A、D重合),ＰＥ⊥Ｂ
Ｐ，ＰＥ交ＤＣ于点Ｅ．5（１）△ABP与△DPE是否相似？请说明理由；x5-xy2（２）设ＡＰ＝xＤＥ=y，求y与x之间的函数关
系式,并指出自变量x的取值范围；（3）请你探索在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形？如果能，求出AP的长；如果不能，请说
明理由；（4）请你探索在点P运动的过程中，△BPE能否成为等腰三角形？如果能，求出AP的长，如果不能，请说明理由。试一试C学以致用
QQABPP3、如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=12,点P从A点出发向B以1m/s的速度移动，点Q从B点出发
向C点以2m/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B两地同时出发，几秒后△PBQ与原三角形相似？CCP灵感智慧QB
BAAM2M1例：如图，在ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，PQ∥AB，点P在AC上（与点A、C不重合），点Q在BC上。
试问：在AB上是否存在点M，使得△PQM为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出PQ的长。PQCN灵感
智慧PQBAM3例：如图，在ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，PQ∥AB，点P在AC上（与点A、C不重合），点Q在
BC上。试问：在AB上是否存在点M，使得△PQM为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出PQ的长。问题发现
知识整理问题1：如图，在正方形ABCD中,E为BC上任意一点（与B、C不重合）∠AEF=90°.观察图形：（2）若E为BC的中点，
连结AF,图中有哪些相似三角形？（1）△ABE与△ECF是否相似？并证明你的结论。∽△AEF△ABE∽△ECFDDAAF
FBBECECAFBCEAF60°60°60°BECAFαααBEC问题发现知识整理△ABE∽△ECF（1）点E为B
C上任意一点，若∠B=∠C=60°,∠AEF=∠C,则△ABE与△ECF的关系还成立吗？说明理由（2）点E为BC上任意
一点若∠B=∠C=α,∠AEF=∠C,则△ABE与△ECF的关系还成立吗？“M”型相似AFα60°60°αα60°
BCEAFCB实战演练知识运用变式：.在直角梯形ABCF中，，CB=14，CF=4,AB=6,,CF∥AB,在边CB上找一点E
,使以E、A、B为顶点的三角形和以E、C、F为顶点的三角形相似，则CE=_______1.矩形ABCD中，把DA沿AF对折，使D与
CB边上的点E重合，若AD=10,AB=8,则EF=______善于在复杂图形中寻找基本型注意分类讨论的数学思想55.6或2或
12ADFEECBEE实战演练知识运用2.已知：D为BC上一点，∠B=∠C=∠EDF=60°,BE=6,CD=3,CF=4
,则AF=_______7AEFBCDAAAPPPBCBBCC补充练习、内化理解1、已知：等边△ABC中，P为直线AC上一动点
，连结BP,作∠BPQ=60°,交直线BC于点N.(1)当P在线段AC上时，证明PA·PC=AB·CN(2)若P在AC的延长线上
，上述关系是否成立？(3)若P在CA的延长线上，CN=1.5,BC=2,求AP、BP的长60°60°NNNQQ60°QAE
NPBCQDM例2如图，有一块锐角三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一
边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，加工成正方形零件的边长为多少毫米？如图，△ABC是一块余料，边AB=90厘米，高CN
=60厘米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在AB上，其余两个顶点分别在BC、AC上①这个正方形零件的边长是多少？②如果
把正方形的零件改变为加工矩形零件,设DP=x，DE=y，写出y与x之间的函数关系式，试确定x的取值范围。C③当DE是DP的1.5
倍时恰好符合要求，求此时零件的面积是多少?DEMAPNFB课外拓展:右图中，在一直角三角形余料中截出一个面积最大的正方形零件，
应如何截取？（设正方形的三边分别是3、4、5、那么最大的面积是多少？）CABCCEEDMDAPNFBABF图二图一考点二黄金
分割【分析】根据黄金分割点的定义，分BC是较长线段、BC是较短线段进行讨论．知识点四图形的位似1．位似多边形：一般地，如果
两个相似多边形任意一组对应顶点P，P′所在的直线都经过同一点O，且有OP′＝k·OP(k≠0)，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做_________．k就是这两个相似多边形的_______．位似中心相似比2．位似图形的性质(1)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于_______；(2)在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形_____，位似中心是_________，它们的相似比为____．相似比坐标原点位似|k|再见 |
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