2008年山东省东营市中考数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．（3分）|﹣2|的相反数是（）
A．﹣ B．﹣2 C． D．2
2．（3分）只用下列图形不能镶嵌的是（）
A．三角形 B．四边形 C．正五边形 D．正六边形
3．（3分）下列计算结果正确的是（）
A．3x2y?5xy2＝﹣2x2y B．﹣2x2y3?2xy＝﹣2x3y4
C．28x4y2÷7x3y＝4xy D．（﹣3a﹣2）（3a+2）＝9a2﹣4
4．（3分）在平面直角坐标系中，若点P（m﹣3，m+1）在第二象限，则m的取值范围为（）
A．﹣1＜m＜3 B．m＞3 C．m＜﹣1 D．m＞﹣1
5．（3分）将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形．将纸片展开，得到的图形是（）
A． B． C． D．
6．（3分）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，则m等于（）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
7．（3分）某书店把一本新书按标价的九折出售，仍可获利20%．若该书的进价为21元，则标价为（）
A．26元 B．27元 C．28元 D．29元
8．（3分）如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积是（）
A． B． C． D．
9．（3分）如图，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图所示，则△ABC的面积是（）
A．10 B．16 C．18 D．20
10．（3分）“上升数”是一个数中右边数字比左边数字大的自然数（如：34，568，2469等）．任取一个两位数，是“上升数”的概率是（）
A． B． C． D．
11．（3分）若A（﹣，y1），B（，y2），C（，y3）为二次函数y＝x2+4x﹣5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2
12．（3分）如图所示，AB是⊙O的直径，AD＝DE，AE与BD交于点C，则图中与∠BCE相等的角有（）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）
13．（4分）在2008年北京奥运会国家体育场的“鸟巢”钢结构工程施工建设中，首次使用了我国科研人员自主研制的强度为4.581亿帕的钢材．4.581亿帕用科学记数法表示为帕．（保留两位有效数字）
14．（4分）如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，∠CDE＝150°，则∠C＝°．
15．（4分）分解因式：（2a+b）2﹣8ab＝．
16．（4分）将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，…如此继续下去，结果如下表．则an＝．（用含n的代数式表示）
所剪次数 1 2 3 4 … n 正三角形个数 4 7 10 13 … an
17．（4分）如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤∠AOB＝60°．
恒成立的结论有．（把你认为正确的序号都填上）
三、解答题（共7小题，满分64分）
18．（6分）先化简，再求值：÷，其中a＝1+，b＝1﹣
19．（8分）振兴中学某班的学生对本校学生会倡导的“抗震救灾，众志成城”自愿捐款活动进行抽样调查，得到了一组学生捐款情况的数据．下图是根据这组数据绘制的统计图，图中从左到右各长方形的高度之比为3：4：5：8：6，又知此次调查中捐款25元和30元的学生一共42人．
（1）他们一共调查了多少人？
（2）这组数据的众数、中位数各是多少？
（3）若该校共有1560名学生，估计全校学生捐款多少元？
20．（8分）为迎接2008年奥运会，某工艺厂准备生产奥运会标志“中国印”和奥运会吉祥物“福娃”．该厂主要用甲、乙两种原料，已知生产一套奥运会标志需要甲原料和乙原料分别为4盒和3盒，生产一套奥运会吉祥物需要甲原料和乙原料分别为5盒和10盒．该厂购进甲、乙原料的量分别为20000盒和30000盒，如果所进原料全部用完，求该厂能生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套？
21．（10分）在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2，BC＝3，CD＝1，E是AD中点．
求证：CE⊥BE．
22．（10分）如图，AC是某市环城路的一段，AE，BF，CD都是南北方向的街道，其与环城路AC的交叉路口分别是A，B，C．经测量花卉世界D位于点A的北偏东45°方向，点B的北偏东30°方向上，AB＝2km，∠DAC＝15°．
（1）求B，D之间的距离；
（2）求C，D之间的距离．
23．（10分）（1）探究新知：如图1，已知△ABC与△ABD的面积相等，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．
（2）结论应用：
①如图2，点M，N在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E，F，试证明：MN∥EF；
②若①中的其他条件不变，只改变点M，N的位置如图3所示，请判断MN与EF是否平行．
24．（12分）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x．
（1）用含x的代数式表示△MNP的面积S；
（2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切；
（3）在动点M的运动过程中，记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
2008年山东省东营市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．（3分）|﹣2|的相反数是（）
A．﹣ B．﹣2 C． D．2
【分析】利用相反数和绝对值的定义解题：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．只有符号不同的两个数互为相反数．
【解答】解：∵|﹣2|＝2，2的相反数是﹣2．
∴|﹣2|的相反数是﹣2．
故选：B．
【点评】主要考查了相反数和绝对值的定义，要求掌握并灵活运用．
2．（3分）只用下列图形不能镶嵌的是（）
A．三角形 B．四边形 C．正五边形 D．正六边形
【分析】任意三角形的内角和是180°，放在同一顶点处6个即能组成镶嵌．同理四边形的内角和是360°，也能组成镶嵌．正六边形的每个内角是120°，正五边形每个内角是180°﹣360°÷5＝108°，其中180°，360°，120°能整除360°，所以不适用的是正五边形．
【解答】解：A、任意三角形的内角和是180°，放在同一顶点处6个即能密铺；
B、任意四边形的内角和是360°，放在同一顶点处4个即能密铺；
C、正五边形的每一个内角是180°﹣360°÷5＝108°，不能整除360°，所以不能密铺；
D、正六边形每个内角是120度，能整除360°，可以密铺．
故选：C．
【点评】本题考查一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°．任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除360°．
3．（3分）下列计算结果正确的是（）
A．3x2y?5xy2＝﹣2x2y B．﹣2x2y3?2xy＝﹣2x3y4
C．28x4y2÷7x3y＝4xy D．（﹣3a﹣2）（3a+2）＝9a2﹣4
【分析】根据单项式乘单项式的法则，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，单项式除单项式的法则，单项式相除，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式；完全平方公式对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、应为3x2y?5xy2＝15x3y3，故本选项错误；
B、应为﹣2x2y3?2xy＝﹣4x3y4，故本选项错误；
C、28x4y2÷7x3y＝4xy，正确．
D、应为（﹣3a﹣2）（3a+2）＝﹣9a2﹣12a﹣4，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查单项式乘单项式的法则，单项式除单项式的法则，完全平方公式，熟练掌握运算法则和公式是解题的关键．
4．（3分）在平面直角坐标系中，若点P（m﹣3，m+1）在第二象限，则m的取值范围为（）
A．﹣1＜m＜3 B．m＞3 C．m＜﹣1 D．m＞﹣1
【分析】根据点P（m﹣3，m+1）在第二象限及第二象限内点的符号特点，可得一个关于m的不等式组，解之即可得m的取值范围．
【解答】解：∵点P（m﹣3，m+1）在第二象限，
∴可得到，
解得m的取值范围为﹣1＜m＜3．
故选：A．
【点评】解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的符号以及不等式组的解法，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
5．（3分）将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形．将纸片展开，得到的图形是（）
A． B． C． D．
【分析】严格按照所给方法向下对折，再向右对折，向右下对折，剪去上部分的等腰直角三角形，展开得到答案．
【解答】解：易得剪去的4个小正方形正好两两位于原正方形一组对边的中间．
故选：C．
【点评】主要考查了剪纸问题；学生空间想象能力，动手操作能力是比较重要的，做题时，要注意培养．
6．（3分）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，则m等于（）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
【分析】根据一元二次方程成立的条件及常数项为0列出方程组，求出m的值即可．
【解答】解：根据题意，知，
，
解方程得：m＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
7．（3分）某书店把一本新书按标价的九折出售，仍可获利20%．若该书的进价为21元，则标价为（）
A．26元 B．27元 C．28元 D．29元
【分析】根据题意，实际售价＝进价+利润．九折即标价的90%；可得一元一次的关系式，求解可得答案．
【解答】解：设标价是x元，根据题意则有：0.9x＝21（1+20%），
解可得：x＝28，
故选：C．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，关键在于找出题目中的等量关系，根据等量关系列出方程解答．
8．（3分）如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积是（）
A． B． C． D．
【分析】该几何体的俯视图为一个圆，正视图以及左视图都是三角形，故可判断该几何体为圆锥．由已知三角形的边长为1，易得底面半径以及母线长，可求出侧面积．
【解答】解：由图片中的三视图可以看出这个几何体应该是圆锥，且其底面圆半径为，母线长为1，
因此它的侧面积＝π××1＝．故选D．
【点评】本题要先判断出几何体的形状，然后根据该几何体侧面积的计算方法进行计算．本题要注意圆锥侧面积的计算方式是圆锥的底面半径乘以圆周率再乘以母线长．
9．（3分）如图，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图所示，则△ABC的面积是（）
A．10 B．16 C．18 D．20
【分析】本题难点在于应找到面积不变的开始与结束，得到BC，CD的具体值．
【解答】解：动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，而当点P运动到点C，D之间时，△ABP的面积不变．函数图象上横轴表示点P运动的路程，x＝4时，y开始不变，说明BC＝4，x＝9时，接着变化，说明CD＝9﹣4＝5．
∴△ABC的面积为＝×4×5＝10．
故选：A．
【点评】解决本题应首先看清横轴和纵轴表示的量．
10．（3分）“上升数”是一个数中右边数字比左边数字大的自然数（如：34，568，2469等）．任取一个两位数，是“上升数”的概率是（）
A． B． C． D．
【分析】分别列举出以1、2、3、4、5、6、7、8、9开头的上升数，再除以2位数的总数即可．
【解答】解：1开头的两位自然数有10，11，12，13，14，15，16，17，18，19其中有8个“上升数”；
2开头的两位自然数有20，21，22，23，24，25，26，27，28，29，其中有7个“上升数”；
同理以3开头的两位自然数也有10个，其中有6个“上升数”；
一直到8开头的两位自然数也有10个，其中有1个“上升数”；
9开头的两位自然数没有“上升数”；
所以全部两位自然数有90个，“上升数”一共有：1+2+3+4+5+6+7+8＝36（个），
所以任取一个两位数，是“上升数”的概率是．
故选：B．
【点评】用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比；易错点是得到上升数的个数与两位数的总个数．
11．（3分）若A（﹣，y1），B（，y2），C（，y3）为二次函数y＝x2+4x﹣5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2
【分析】先确定抛物线的对称轴及开口方向，再根据点与对称轴的远近，判断函数值的大小．
【解答】解：∵y＝x2+4x﹣5＝（x+2）2﹣9，
∴对称轴是直线x＝﹣2，开口向上，
距离对称轴越近，函数值越小，
比较可知，B（，y2）离对称轴最近，C（，y3）离对称轴最远，
即y2＜y1＜y3．
故选：B．
【点评】主要考查了二次函数的图象性质及单调性的规律．
12．（3分）如图所示，AB是⊙O的直径，AD＝DE，AE与BD交于点C，则图中与∠BCE相等的角有（）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】首先与∠BCE相等的角有对顶角∠DCA．
由于AB是⊙O的直径，可得∠ADB＝90°；已知AD＝DE，根据垂径定理可知OD⊥AE；
根据等角余角相等，可得出∠DCA＝∠ADO＝∠DAO；
易证得△OAD≌△OED，因此∠DAB＝∠ADO＝∠ODE＝∠DEO；
因此与∠BCE相等得角有5个：∠DCA、∠OAD、∠ODA、∠ODE、∠OED．
【解答】解：∵AD＝DE，AO＝DO＝OE，
∴△OAD≌△OED，
∴∠DAB＝∠ADO＝∠ODE＝∠DEO；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，∠AEB＝90°，
∵AD＝DE，∴∠ABD＝∠DBE，
∴∠DAB＝90°﹣∠ABD，∠BCE＝90°﹣∠DBE，
∴∠DAB＝∠BCE，
∴∠DCA＝∠DAB＝∠ADO＝∠ODE＝∠DEO，
则与∠ECB相等的角有5个．
故选：D．
【点评】此题主要考查同弧所对的圆周角相等，三角形外角的性质等知识点的综合运用．
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）
13．（4分）在2008年北京奥运会国家体育场的“鸟巢”钢结构工程施工建设中，首次使用了我国科研人员自主研制的强度为4.581亿帕的钢材．4.581亿帕用科学记数法表示为4.6×108帕．（保留两位有效数字）
【分析】科学记数法就是将一个数字表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n表示整数．题中4.581亿＝458100000，有9位整数，n＝9﹣1＝8．
有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的开始，后面所有的数都是有效数字．
保留两个有效数字，要观察第3个有效数字，四舍五入．
【解答】解：4.581亿＝458100000≈4.6×108．
【点评】此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．用科学记数法表示的数，有效数字只与前面a有关，而与n的大小无关．
14．（4分）如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，∠CDE＝150°，则∠C＝120°．
【分析】本题主要利用邻补角互补，平行线性质及角平分线的性质进行做题．
【解答】解：∵∠CDE＝150°，
∴∠CDB＝180﹣∠CDE＝30°，
又∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB＝30°；
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝60°，
∴∠C＝180°﹣60°＝120°．
故答案为：120．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，两直线平行，内错角相等，同旁内角互补．
15．（4分）分解因式：（2a+b）2﹣8ab＝（2a﹣b）2．
【分析】本题要先用完全平方公式展开（2a+b）2，再合并同类项，再利用完全平方公式分解因式．
【解答】解：（2a+b）2﹣8ab，
＝4a2+4ab+b2﹣8ab，
＝4a2﹣4ab+b2，
＝（2a﹣b）2．
【点评】本题考查了公式法分解因式，先展开整理成完全平方公式的形式是解题的关键，注意灵活应用完全平方公式．
16．（4分）将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，…如此继续下去，结果如下表．则an＝3n+1．（用含n的代数式表示）
所剪次数 1 2 3 4 … n 正三角形个数 4 7 10 13 … an
【分析】从表格中的数据，不难发现：多剪一次，多3个三角形．即剪n次时，共有4+3（n﹣1）＝3n+1．
【解答】解：故剪n次时，共有4+3（n﹣1）＝3n+1．
【点评】此类题的属于找规律，从所给数据中，很容易发现规律，再分析整理，得出结论．
17．（4分）如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤∠AOB＝60°．
恒成立的结论有①②③⑤．（把你认为正确的序号都填上）
【分析】由已知条件运用等边三角形的性质得到三角形全等，进而得到更多结论，然后运用排除法，对各个结论进行验证从而确定最后的答案．
【解答】解：①∵正△ABC和正△CDE，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∵∠ACD＝∠ACB+∠BCD，∠BCE＝∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ADC≌△BEC（SAS），
∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，（故①正确）；
②又∵CD＝CE，∠DCP＝∠ECQ＝60°，∠ADC＝∠BEC，
∴△CDP≌△CEQ（ASA）．
∴CP＝CQ，
∴∠CPQ＝∠CQP＝60°，
∴∠QPC＝∠BCA，
∴PQ∥AE，（故②正确）；
③∵△CDP≌△CEQ，
∴DP＝QE，
∵△ADC≌△BEC
∴AD＝BE，
∴AD﹣DP＝BE﹣QE，
∴AP＝BQ，（故③正确）；
④∵DE＞QE，且DP＝QE，
∴DE＞DP，（故④错误）；
⑤∠AOB＝∠DAE+∠AEO＝∠DAE+∠ADC＝∠DCE＝60°，（故⑤正确）．
∴正确的有：①②③⑤．
故答案为：①②③⑤．
【点评】本题考查等边三角形的性质及全等三角形的判定等知识点；得到三角形全等是正确解答本题的关键．
三、解答题（共7小题，满分64分）
18．（6分）先化简，再求值：÷，其中a＝1+，b＝1﹣
【分析】这是个分式除法与减法混合运算题，运算顺序是先做括号内的减法，此时要注意把各分母先因式分解，确定最简公分母进行通分；做除法时要注意先把除法运算转化为乘法运算，而做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分．
【解答】解：原式＝
＝
＝
当，时，
原式＝．
【点评】本题主要考查分式的化简求值这一知识点，把分式化到最简是解答的关键．
19．（8分）振兴中学某班的学生对本校学生会倡导的“抗震救灾，众志成城”自愿捐款活动进行抽样调查，得到了一组学生捐款情况的数据．下图是根据这组数据绘制的统计图，图中从左到右各长方形的高度之比为3：4：5：8：6，又知此次调查中捐款25元和30元的学生一共42人．
（1）他们一共调查了多少人？
（2）这组数据的众数、中位数各是多少？
（3）若该校共有1560名学生，估计全校学生捐款多少元？
【分析】（1）设一份是x，根据题意列方程求解；
（2）众数即数据中出现次数最多的数据25，中位数应是第39个和第40个的平均数；
（3）首先计算样本平均数，再进一步估计全校学生捐款数．
【解答】解：（1）设每份的人数是x人，则捐款25元的有8x人，捐款30元的有6x人，
由题意，得：8x+6x＝42，
解得：x＝3，
∴捐款10元的有9人，
捐款15元的有12人，
捐款20元的有15人，
捐款25元的有24人，
捐款30元的有18人，
∴一共调查的人数有：9+12+15+24+18＝78人．
答：他们一共调查了78人；
（2）在这组数据中，25（元）出现的次数最多24次，
∴这组数据的众数是25（元），
这组数据一共有78个数，处在最中间的两个数的平均数是25，
∴这组数据的中位数是25（元）．
答：这组数据的众数、中位数各是：25（元），25（元）．
（3）全校共捐款：
（9×10+12×15+15×20+24×25+18×30）×＝34200（元）．
【点评】本题是一道把统计知识与实际生活中的问题联系起来的应用题，以考查学生处理数据的能力，使学生初步体会统计知识与生活、社会和科技的联系，感受数学应用的意义．培养学生自觉应用数学知识解决实际问题的能力．
20．（8分）为迎接2008年奥运会，某工艺厂准备生产奥运会标志“中国印”和奥运会吉祥物“福娃”．该厂主要用甲、乙两种原料，已知生产一套奥运会标志需要甲原料和乙原料分别为4盒和3盒，生产一套奥运会吉祥物需要甲原料和乙原料分别为5盒和10盒．该厂购进甲、乙原料的量分别为20000盒和30000盒，如果所进原料全部用完，求该厂能生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套？
【分析】两个等量关系为：4×奥运会标志套数+5×奥运会吉祥物套数＝20000；3×奥运会标志套数+10×奥运会吉祥物套数＝30000．
【解答】解：设生产奥运会标志x套，生产奥运会吉祥物y套．
根据题意得
（1）×2﹣（2）得5x＝10000．
∴x＝2000．
把x＝2000代入①得5y＝12000．
∴y＝2400．
答：该厂能生产奥运会标志2000套，生产奥运会吉祥物2400套．
【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系：4×奥运会标志套数+5×奥运会吉祥物套数＝20000；×奥运会标志套数+10×奥运会吉祥物套数＝30000．列出方程组，再求解．本题需注意应根据用的原料种类分类判断得到等量关系．
21．（10分）在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2，BC＝3，CD＝1，E是AD中点．
求证：CE⊥BE．
【分析】延长CE交BA的延长线于点G，那么可得△CED≌△GEA，那么CE＝GE，AE＝DE，进而可得BC＝BG，那么CE⊥BE．
【解答】证明：延长CE交BA的延长线于点G，即交点为G，
∵E是AD中点，
∴AE＝ED，
∵AB∥CD，
∴∠CDE＝∠GAE，∠DCE＝∠AGE，
∴△CED≌△GEA，
∴CE＝GE，AG＝DC，
∴GB＝BC＝3，
∴EB⊥EC．
【点评】考查梯形的常用辅助线方法的应用；碰到中点问题时构造全等三角形是常用的辅助线方法．
22．（10分）如图，AC是某市环城路的一段，AE，BF，CD都是南北方向的街道，其与环城路AC的交叉路口分别是A，B，C．经测量花卉世界D位于点A的北偏东45°方向，点B的北偏东30°方向上，AB＝2km，∠DAC＝15°．
（1）求B，D之间的距离；
（2）求C，D之间的距离．
【分析】（1）易证BD＝AB，则很容易求解．
（2）过B作BO⊥DC，交其延长线于点O，把求CD的问题转化为求DO和CO的问题．
【解答】解：（1）如图，由题意得，∠EAD＝45°，∠FBD＝30°，
∴∠EAC＝∠EAD+∠DAC＝45°+15°＝60°．
∵AE∥BF∥CD，
∴∠FBC＝∠EAC＝60°．
∵∠FBD＝30°
∴∠DBC＝∠FBC﹣∠FBD＝30°．（2分）
又∵∠DBC＝∠DAB+∠ADB，
∴∠ADB＝15°．
∴∠DAB＝∠ADB．
∴△ABD为等腰三角形，
∴BD＝AB＝2．
即BD之间的距离为2km．（4分）
（2）过B作BO⊥DC，交其延长线于点O，
在Rt△DBO中，BD＝2，∠DBO＝60°，
∴DO＝2×sin60°＝，BO＝2×cos60°＝1．（6分）
在Rt△CBO中，∠CBO＝30°，CO＝BOtan30°＝，
∴CD＝DO﹣CO＝（km）．
即C，D之间的距离km．（8分）
【点评】考查直角三角形、锐角三角函数等基础知识，这样的题目可让思维和能力不同的考生能有不同的表现．
23．（10分）（1）探究新知：如图1，已知△ABC与△ABD的面积相等，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．
（2）结论应用：
①如图2，点M，N在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E，F，试证明：MN∥EF；
②若①中的其他条件不变，只改变点M，N的位置如图3所示，请判断MN与EF是否平行．
【分析】（1）分别过点C，D，作CG⊥AB，DH⊥AB，垂足为G，H，根据CG∥DH，得到△ABC与△ABD同底，而两个三角形的面积相等，因而CG＝DH，可以证明四边形CGHD为平行四边形，∴AB∥CD．
（2）判断MN与EF是否平行，根据（1）中的结论转化为证明S△EFM＝S△EFN即可．
【解答】解：（1）分别过点C，D，作CG⊥AB，DH⊥AB，垂足为G，H，则∠CGA＝∠DHB＝90°，
∴CG∥DH
∵△ABC与△ABD的面积相等
∴CG＝DH
∴四边形CGHD为平行四边形
∴AB∥CD．
（2）①证明：连接MF，NE，
设点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2），
∵点M，N在反比例函数（k＞0）的图象上，
∴x1y1＝k，x2y2＝k，
∵ME⊥y轴，NF⊥x轴，
∴OE＝y1，OF＝x2，
∴S△EFM＝x1?y1＝k，
S△EFN＝x2?y2＝k，
∴S△EFM＝S△EFN；
∴由（1）中的结论可知：MN∥EF．
②由（1）中的结论可知：MN∥EF．
（若生使用其他方法，只要解法正确，皆给分．）
【点评】本题考查了反比例函数与几何性质的综合应用，这是一个阅读理解的问题，正确解决（1）中的证明是解决本题的关键．
24．（12分）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x．
（1）用含x的代数式表示△MNP的面积S；
（2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切；
（3）在动点M的运动过程中，记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
【分析】（1）由于三角形PMN和AMN的面积相当，那么可通过求三角形AMN的面积来得出三角形PMN的面积，求三角形AMN的面积可根据三角形AMN和ABC相似，根据相似比的平方等于面积比来得出三角形AMN的面积；
（2）当圆O与BC相切时，O到BC的距离就是MN的一半，那么关键是求出MN的表达式，可根据三角形AMN和三角形ABC相似，得出MN的表达式，也就求出了O到BC的距离的表达式，如果过M作MQ⊥BC于Q，那么MQ就是O到BC的距离，然后在直角三角形BMQ中，用∠B的正弦函数以及BM的表达式表示出MQ，然后让这两表示MQ的含x的表达式相等，即可求出x的值；
（3）要求重合部分的面积首先看P点在三角形ABC内部还是外面，因此可先得出这两种情况的分界线即当P落到BC上时，x的取值，那么P落点BC上时，MN就是三角形ABC的中位线，此时AM＝2，因此可分两种情况进行讨论：
①当0＜x≤2时，此时重合部分的面积就是三角形PMN的面积，三角形PMN的面积（1）中已经求出，即可的x，y的函数关系式．②当2＜x＜4时，如果设PM，PN交BC于E，F，那么重合部分就是四边形MEFN，可通过三角形PMN的面积﹣三角形PEF的面积来求重合部分的面积．不难得出PN＝AM＝x，而四边形BMNF又是个平行四边形，可得出FN＝BM，也就有了FN的表达式，就可以求出PF的表达式，然后参照（1）的方法可求出三角形PEF的面积，即可求出四边形MEFN的面积，也就得出了y，x的函数关系式．然后根据两种情况得出的函数的性质，以及对应的自变量的取值范围求出y的最大值即可．
【解答】解：（1）∵MN∥BC，
∴∠AMN＝∠B，∠ANM＝∠C．
∴△AMN∽△ABC．
∴，即；
∴AN＝x；
∴S＝S△MNP＝S△AMN＝?x?x＝x2．（0＜x＜4）
（2）如图2，设直线BC与⊙O相切于点D，连接AO，OD，则AO＝OD＝MN．
在Rt△ABC中，BC＝＝5；
由（1）知△AMN∽△ABC，
∴，即，
∴MN＝x
∴OD＝x，
过M点作MQ⊥BC于Q，则MQ＝OD＝x，
在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，
∴△BMQ∽△BCA，
∴，
∴BM＝x，AB＝BM+MA＝x+x＝4
∴x＝，
∴当x＝时，⊙O与直线BC相切；
（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连接AP，则O点为AP的中点．
∵MN∥BC，
∴∠AMN＝∠B，∠AOM＝∠APB，
∴△AMO∽△ABP，
∴，
∵AM＝MB＝2，
故以下分两种情况讨论：
①当0＜x≤2时，y＝S△PMN＝x2，
∴当x＝2时，y最大＝×4＝，
②当2＜x＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F，
∵四边形AMPN是矩形，
∴PN∥AM，PN＝AM＝x，
又∵MN∥BC，
∴四边形MBFN是平行四边形；
∴FN＝BM＝4﹣x，
∴PF＝x﹣（4﹣x）＝2x﹣4，
又∵△PEF∽△ACB，
∴，
∴S△PEF＝（x﹣2）2；
y＝S△MNP﹣S△PEF＝x2﹣（x﹣2）2＝﹣x2+6x﹣6，
当2＜x＜4时，y＝﹣x2+6x﹣6＝﹣（x﹣）2+2，
∴当x＝时，满足2＜x＜4，y最大＝2．
综上所述，当x＝时，y值最大，最大值是2．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质以及二次函数的综合应用，要注意（3）中要根据P点的位置的不同分情况进行讨论，不要漏解．
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