2020年山东省东营市中考数学试卷
一、选择题：本大题共10题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．
1．（3分）﹣6的倒数是（）
A．﹣6 B．6 C． D．
2．（3分）下列运算正确的是（）
A．（x3）2＝x5 B．（x﹣y）2＝x2+y2
C．﹣x2y3?2xy2＝﹣2x3y5 D．﹣（3x+y）＝﹣3x+y
3．（3分）利用科学计算器求值时，小明的按键顺序为，则计算器面板显示的结果为（）
A．﹣2 B．2 C．±2 D．4
4．（3分）如图，直线AB、CD相交于点O，射线OM平分∠BOD，若∠AOC＝42°，则∠AOM等于（）
A．159° B．161° C．169° D．138°
5．（3分）如图．随机闭合开关K1、K2、K3中的两个，则能让两盏灯泡L1、L2同时发光的概率为（）
A． B． C． D．
6．（3分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，其对称轴与x轴交于点C，其中A、C两点的横坐标分别为﹣1和1，下列说法错误的是（）
A．abc＜0
B．4a+c＝0
C．16a+4b+c＜0
D．当x＞2时，y随x的增大而减小
7．（3分）用一个半径为3，面积为3π的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底面半径为（）
A．π B．2π C．2 D．1
8．（3分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是：有人要去某关口，路程378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地．则此人第三天走的路程为（）
A．96里 B．48里 C．24里 D．12里
9．（3分）如图1，点P从△ABC的顶点A出发，沿A→B→C匀速运动到点C，图2是点P运动时线段CP的长度y随时间x变化的关系图象，其中点Q为曲线部分的最低点，则△ABC的边AB的长度为（）
A．12 B．8 C．10 D．13
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A、B重合），对角线AC、BD相交于点O，过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，交AD、BC于点M、N．下列结论：
①△APE≌△AME；
②PM+PN＝AC；
③PE2+PF2＝PO2；
④△POF∽△BNF；
⑤点O在M、N两点的连线上．
其中正确的是（）
A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②③④⑤ D．③④⑤
二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题3分，共28分．只要求填写最后结果．
11．（3分）2020年6月23日9时43分，“北斗三号”最后一颗全球组网卫星发射成功，它的授时精度小于0.00000002秒，则0.00000002用科学记数法表示为．
12．（3分）因式分解：12a2﹣3b2＝．
13．（3分）东营市某学校女子游泳队队员的年龄分布如下表：
年龄（岁） 13 14 15 人数 4 7 4 则该校女子游泳队队员的平均年龄是岁．
14．（3分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过A（1，﹣1）、B（﹣1，3）两点，则k0（填“＞”或“＜”）．
15．（4分）如果关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0有实数根，那么m的取值范围是．
16．（4分）如图，P为平行四边形ABCD边BC上一点，E、F分别为PA、PD上的点，且PA＝3PE，PD＝3PF，△PEF、△PDC、△PAB的面积分别记为S、S1、S2．若S＝2，则S1+S2＝．
17．（4分）如图，在Rt△AOB中，OB＝2，∠A＝30°，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（其中点Q为切点），则线段PQ长度的最小值为．
18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝x+1和双曲线y＝﹣，在直线上取一点，记为A1，过A1作x轴的垂线交双曲线于点B1，过B1作y轴的垂线交直线于点A2，过A2作x轴的垂线交双曲线于点B2，过B2作y轴的垂线交直线于点A3，…，依次进行下去，记点An的横坐标为an，若a1＝2，则a2020＝．
三、解答题：本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（8分）（1）计算：+（2cos60°）2020﹣（）﹣2﹣|3+2|；
（2）先化简，再求值：（x﹣）÷，其中x＝+1，y＝．
20．（8分）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME＝3，AE＝4，AM＝5．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求⊙O的直径AB的长度．
21．（8分）如图，C处是一钻井平台，位于东营港口A的北偏东60°方向上，与港口A相距60海里，一艘摩托艇从A出发，自西向东航行至B时，改变航向以每小时50海里的速度沿BC方向行进，此时C位于B的北偏西45°方向，则从B到达C需要多少小时？
22．（8分）东营市某中学对2020年4月份线上教学学生的作业情况进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了如图不完整的统计图表．
作业情况 频数 频率 非常好 0.22 较好 68 一般 不好 40 请根据图表中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次抽样共调查了多少名学生？
（2）将统计表中所缺的数据填在表中横线上；
（3）若该中学有1800名学生，估计该校学生作业情况“非常好”和“较好”的学生一共约多少名？
（4）某学习小组4名学生的作业本中，有2本“非常好”（记为A1、A2），1本“较好”（记为B），1本“一般”（记为C），这些作业本封面无姓名，而且形状、大小、颜色等外表特征完全相同，从中抽取一本，不放回，从余下的3本中再抽取一本，请用“列表法”或“画树状图”的方法求出两次抽到的作业本都是“非常好”的概率．
23．（8分）2020年初，新冠肺炎疫情爆发，市场上防疫口罩热销，某医药公司每月生产甲、乙两种型号的防疫口罩共20万只，且所有口罩当月全部售出，其中成本、售价如下表：
型号
价格（元/只）
项目 甲 乙 成本 12 4 售价 18 6 （1）若该公司三月份的销售收入为300万元，求生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？
（2）如果公司四月份投入成本不超过216万元，应怎样安排甲、乙两种型号防疫口罩的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润．
24．（10分）如图，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a的图象经过点C（0，2），交x轴于点A、B（点A在点B左侧），连接BC，直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与BC上方的抛物线交于点E，与BC交于点F．
（1）求抛物线的解析式及点A、B的坐标；
（2）是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（12分）如图1，在等腰三角形ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接BE，点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点．
（1）观察猜想．
图1中，线段NM、NP的数量关系是，∠MNP的大小为．
（2）探究证明
把△ADE绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接MP、BD、CE，判断△MNP的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸
把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝1，AB＝3，请求出△MNP面积的最大值．
2020年山东省东营市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．
1．（3分）﹣6的倒数是（）
A．﹣6 B．6 C． D．
【分析】根据倒数的定义，a的倒数是（a≠0），据此即可求解．
【解答】解：﹣6的倒数是：﹣．
故选：C．
【点评】本题考查了倒数的定义，理解定义是关键．
2．（3分）下列运算正确的是（）
A．（x3）2＝x5 B．（x﹣y）2＝x2+y2
C．﹣x2y3?2xy2＝﹣2x3y5 D．﹣（3x+y）＝﹣3x+y
【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝x6，不符合题意；
B、原式＝x2﹣2xy+y2，不符合题意；
C、原式＝﹣2x3y5，符合题意；
D、原式＝﹣3x﹣y，不符合题意．
故选：C．
【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．（3分）利用科学计算器求值时，小明的按键顺序为，则计算器面板显示的结果为（）
A．﹣2 B．2 C．±2 D．4
【分析】根据科学计算器的使用及算术平方根的定义求解可得．
【解答】解：表示“＝”即4的算术平方根，
∴计算器面板显示的结果为2，
故选：B．
【点评】本题主要考查计算器﹣基础知识，解题的关键是掌握科学计算器的基本功能的使用．
4．（3分）如图，直线AB、CD相交于点O，射线OM平分∠BOD，若∠AOC＝42°，则∠AOM等于（）
A．159° B．161° C．169° D．138°
【分析】直接利用对顶角、邻补角的定义以及角平分线的定义得出∠BOM＝∠DOM，进而得出答案．
【解答】解：∵∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠AOC＝∠BOD＝42°，
∴∠AOD＝180°﹣42°＝138°，
∵射线OM平分∠BOD，
∴∠BOM＝∠DOM＝21°，
∴∠AOM＝138°+21°＝159°．
故选：A．
【点评】此题主要考查了对顶角、邻补角以及角平分线的定义，正确得出∠BOM＝∠DOM是解题关键．
5．（3分）如图．随机闭合开关K1、K2、K3中的两个，则能让两盏灯泡L1、L2同时发光的概率为（）
A． B． C． D．
【分析】找出随机闭合开关K1、K2、K3中的两个的情况数以及能让两盏灯泡L1、L2同时发光的情况数，即可求出所求概率．
【解答】解：画树状图，如图所示：
随机闭合开关K1、K2、K3中的两个有六种情况：闭合K1K2，闭合K1K3，闭合K2K1，闭合K2K3，闭合K3K1，闭合K3K2，
能让两盏灯泡L1、L2同时发光的有两种情况：闭合K2K3，闭合K3K2，
则P（能让两盏灯泡L1、L2同时发光）＝＝．
故选：D．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，弄清题中的电路图是解本题的关键．
6．（3分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，其对称轴与x轴交于点C，其中A、C两点的横坐标分别为﹣1和1，下列说法错误的是（）
A．abc＜0
B．4a+c＝0
C．16a+4b+c＜0
D．当x＞2时，y随x的增大而减小
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及过特殊点时系数a、b、c满足的关系综合进行判断即可．
【解答】解：抛物线开口向下，因此a＜0，对称轴为x＝1，即﹣＝1，也就是2a+b＝0，b＞0，抛物线与y轴交于正半轴，于是c＞0，
∴abc＜0，因此选项A不符合题意；
由A（﹣1，0）、C（1，0）对称轴为x＝1，可得抛物线与x轴的另一个交点B（3，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，即3a+c＝0，
而a＜0，所以4a+c＜0，因此选项B符合题意；
当x＝4时，y＝16a+4b+c＜0，因此选项C不符合题意；
当x＞1时，y随x的增大而减小，因此选项D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，理解抛物线的位置与系数a、b、c之间的关系是正确解答的关键．
7．（3分）用一个半径为3，面积为3π的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底面半径为（）
A．π B．2π C．2 D．1
【分析】根据扇形的面积公式：S＝πrl（r为圆锥的底面半径，l为扇形半径）即可求出圆锥的底面半径．
【解答】解：根据圆锥侧面展开图是扇形，
扇形面积公式：S＝πrl（r为圆锥的底面半径，l为扇形半径），得
3πr＝3π，
∴r＝1．
所以圆锥的底面半径为1．
故选：D．
【点评】本题考查了圆锥的计算、扇形面积的计算，解决本题的关键是掌握扇形面积公式．
8．（3分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是：有人要去某关口，路程378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地．则此人第三天走的路程为（）
A．96里 B．48里 C．24里 D．12里
【分析】设此人第三天走的路程为x里，则其它五天走的路程分别为4x里，2x里，x里，x里，x里，根据六天共走了378里，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设此人第三天走的路程为x里，则其它五天走的路程分别为4x里，2x里，x里，x里，x里，
依题意，得：4x+2x+x+x+x+x＝378，
解得：x＝48．
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
9．（3分）如图1，点P从△ABC的顶点A出发，沿A→B→C匀速运动到点C，图2是点P运动时线段CP的长度y随时间x变化的关系图象，其中点Q为曲线部分的最低点，则△ABC的边AB的长度为（）
A．12 B．8 C．10 D．13
【分析】根据图2中的曲线可得，当点P在△ABC的顶点A处，运动到点B处时，图1中的AC＝BC＝13，当点P运动到AB中点时，此时CP⊥AB，根据图2点Q为曲线部分的最低点，可得CP＝12，根据勾股定理可得AP＝5，再根据等腰三角形三线合一可得AB的长．
【解答】解：根据图2中的曲线可知：
当点P在△ABC的顶点A处，运动到点B处时，
图1中的AC＝BC＝13，
当点P运动到AB中点时，
此时CP⊥AB，
根据图2点Q为曲线部分的最低点，
得CP＝12，
所以根据勾股定理，得
此时AP＝＝5．
所以AB＝2AP＝10．
故选：C．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是综合利用两个图形给出的条件．
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A、B重合），对角线AC、BD相交于点O，过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，交AD、BC于点M、N．下列结论：
①△APE≌△AME；
②PM+PN＝AC；
③PE2+PF2＝PO2；
④△POF∽△BNF；
⑤点O在M、N两点的连线上．
其中正确的是（）
A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②③④⑤ D．③④⑤
【分析】依据正方形的性质以及勾股定理、矩形的判定方法即可判断△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，四边形PEOF是矩形，从而作出判断．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形
∴∠BAC＝∠DAC＝45°．
∵在△APE和△AME中，
，
∴△APE≌△AME（ASA），故①正确；
∴PE＝EM＝PM，
同理，FP＝FN＝NP．
∵正方形ABCD中AC⊥BD，
又∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴∠PEO＝∠EOF＝∠PFO＝90°，且△APE中AE＝PE
∴四边形PEOF是矩形．
∴PF＝OE，
∴PE+PF＝OA，
又∵PE＝EM＝PM，FP＝FN＝NP，OA＝AC，
∴PM+PN＝AC，故②正确；
∵四边形PEOF是矩形，
∴PE＝OF，
在直角△OPF中，OF2+PF2＝PO2，
∴PE2+PF2＝PO2，故③正确．
∵△BNF是等腰直角三角形，而△POF不一定是等腰直角三角形，故④错误；
连接OM，ON，
∵OA垂直平分线段PM．OB垂直平分线段PN，
∴OM＝OP，ON＝OP，
∴OM＝OP＝ON，
∴点O是△PMN的外接圆的圆心，
∵∠MPN＝90°，
∴MN是直径，
∴M，O，N共线，故⑤正确．
故选：B．
【点评】本题考查正方形的性质、矩形的判定、勾股定理等知识，认识△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，四边形PEOF是矩形是关键．
二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题3分，共28分．只要求填写最后结果．
11．（3分）2020年6月23日9时43分，“北斗三号”最后一颗全球组网卫星发射成功，它的授时精度小于0.00000002秒，则0.00000002用科学记数法表示为2×10﹣8．
【分析】由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定10的负指数，把较小的数表示成科学记数法即可．
【解答】解：0.00000002＝2×10﹣8，
则0.00000002用科学记数法表示为2×10﹣8．
故答案为：2×10﹣8．
【点评】此题考查了科学记数法﹣表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12．（3分）因式分解：12a2﹣3b2＝3（2a+b）（2a﹣b）．
【分析】原式先提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝3（4a2﹣b2）
＝3（2a+b）（2a﹣b）．
故答案为：3（2a+b）（2a﹣b）．
【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
13．（3分）东营市某学校女子游泳队队员的年龄分布如下表：
年龄（岁） 13 14 15 人数 4 7 4 则该校女子游泳队队员的平均年龄是14岁．
【分析】直接利用加权平均数的定义列式计算可得．
【解答】解：该校女子游泳队队员的平均年龄是＝14（岁），
故答案为：14．
【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
14．（3分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过A（1，﹣1）、B（﹣1，3）两点，则k＜0（填“＞”或“＜”）．
【分析】设直线AB的解析式为：y＝kx+b（k≠0），把A（1，﹣1），B（﹣1，3）代入代入，得到k和b值，即可得到结论．
【解答】解：设直线AB的解析式为：y＝kx+b（k≠0），
把A（1，﹣1），B（﹣1，3）代入y＝kx+b得，
，
解得：k＝﹣2，b＝1，
∴k＜0，
解法二：由A（1，﹣1）、B（﹣1，3）可知，随着x的减小，y反而增大，所以有k＜0．
故答案为：＜．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，利用待定系数法正确的求出k，b的值是解题的关键．
15．（4分）如果关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0有实数根，那么m的取值范围是m≤9．
【分析】根据一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出m的范围即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0有实数根，
∴Δ＝36﹣4m≥0，
解得：m≤9，
则m的取值范围是m≤9．
故答案为：m≤9．
【点评】此题考查了根的判别式，弄清一元二次方程解的情况与根的判别式的关系是解本题的关键．
16．（4分）如图，P为平行四边形ABCD边BC上一点，E、F分别为PA、PD上的点，且PA＝3PE，PD＝3PF，△PEF、△PDC、△PAB的面积分别记为S、S1、S2．若S＝2，则S1+S2＝18．
【分析】利用相似三角形的性质求出△PAD的面积即可解决问题．
【解答】解：∵PA＝3PE，PD＝3PF，
∴＝＝，
∴EF∥AD，
∴△PEF∽△PAD，
∴＝（）2，
∵S△PEF＝2，
∴S△PAD＝18，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△PAD＝S平行四边形ABCD，
∴S1+S2＝S△PAD＝18，
故答案为18．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
17．（4分）如图，在Rt△AOB中，OB＝2，∠A＝30°，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（其中点Q为切点），则线段PQ长度的最小值为2．
【分析】连接OP、OQ，作OP′⊥AB于P′，根据切线的性质得到OQ⊥PQ，根据勾股定理得到PQ＝，根据垂线段最短得到当OP⊥AB时，OP最小，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可．
【解答】解：连接OP、OQ，作OP′⊥AB于P′，
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ，
∴PQ＝＝，
当OP最小时，线段PQ的长度最小，
当OP⊥AB时，OP最小，
在Rt△AOB中，∠A＝30°，
∴OA＝＝6，
在Rt△AOP′中，∠A＝30°，
∴OP′＝OA＝3，
∴线段PQ长度的最小值＝＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是切线的性质、勾股定理、直角三角形的性质、垂线段最短，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝x+1和双曲线y＝﹣，在直线上取一点，记为A1，过A1作x轴的垂线交双曲线于点B1，过B1作y轴的垂线交直线于点A2，过A2作x轴的垂线交双曲线于点B2，过B2作y轴的垂线交直线于点A3，…，依次进行下去，记点An的横坐标为an，若a1＝2，则a2020＝2．
【分析】根据反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征分别求出A1、B1、A2、B2、A3、B3…，从而得到每3次变化为一个循环组依次循环，用2020除以3，根据商的情况确定出a2020即可．
【解答】解：当a1＝2时，B1的横坐标与A1的横坐标相等为a1＝2，
A2的纵坐标和B1的纵坐标相同为y2＝﹣＝﹣，
B2的横坐标和A2的横坐标相同为a2＝﹣，
A3的纵坐标和B2的纵坐标相同为y3＝﹣＝，
B3的横坐标和A3的横坐标相同为a3＝﹣，
A4的纵坐标和B3的纵坐标相同为y4＝﹣＝3，
B4的横坐标和A4的横坐标相同为a4＝2＝a1，
…
由上可知，a1，a2，a3，a4，a5，…，3个为一组依次循环，
∵2020÷3＝673…1，
∴a2020＝a1＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，依次求出各点的坐标，观察出每3次变化为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．
三、解答题：本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（8分）（1）计算：+（2cos60°）2020﹣（）﹣2﹣|3+2|；
（2）先化简，再求值：（x﹣）÷，其中x＝+1，y＝．
【分析】（1）先计算2cos60°、（）﹣2，再化简和﹣|3+2|，最后加减求出值；
（2）按分式的混合运算法则，先化简分式，再代入求值．
【解答】解：（1）原式＝3+（2×）2020﹣22﹣（3+2）
＝3+1﹣4﹣3﹣2
＝﹣6；
（2）原式＝?
＝?
＝x﹣y．
当x＝+1，y＝时，
原式＝+1﹣
＝1．
【点评】本题考查了二次根式的化简、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值的化简及分式的混合运算．题目综合性较强，是中考热点．熟记特殊角的三角函数值和负整数指数幂的意义是求（1）的关键，掌握分式的混合运算法则，化简分式是解决（2）的关键．
20．（8分）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME＝3，AE＝4，AM＝5．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求⊙O的直径AB的长度．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得到∠AEM＝90°，由于MN∥BC，根据平行线的性质得∠ABC＝90°，然后根据切线的判定定理即可得到BC是⊙O的切线；
（2）连接OM，设⊙O的半径是r，在Rt△OEM中，根据勾股定理得到r2＝32+（4﹣r）2，解方程即可得到⊙O的半径，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵在△AME中，ME＝3，AE＝4，AM＝5，
∴AM2＝ME2+AE2，
∴△AME是直角三角形，
∴∠AEM＝90°，
又∵MN∥BC，
∴∠ABC＝∠AEM＝90°，
∴AB⊥BC，
∵AB为直径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：连接OM，如图，设⊙O的半径是r，
在Rt△OEM中，OE＝AE﹣OA＝4﹣r，ME＝3，OM＝r，
∵OM2＝ME2+OE2，
∴r2＝32+（4﹣r）2，
解得：r＝，
∴AB＝2r＝．
【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．
21．（8分）如图，C处是一钻井平台，位于东营港口A的北偏东60°方向上，与港口A相距60海里，一艘摩托艇从A出发，自西向东航行至B时，改变航向以每小时50海里的速度沿BC方向行进，此时C位于B的北偏西45°方向，则从B到达C需要多少小时？
【分析】过C作CD⊥AB于D，在点A的正北方向上取点M，在点B的正北方向上取点N，在直角三角形ACD中，求出CD的长，在直角三角形BCD中，利用锐角三角函数定义求出BC的长，进而求出所求时间即可．
【解答】解：过C作CD⊥AB于D，在点A的正北方向上取点M，在点B的正北方向上取点N，
由题意得：∠MAB＝∠NBA＝90°，∠MAC＝60°，∠NBC＝45°，AC＝60海里，
∴∠CDA＝∠CDB＝90°，
∵在Rt△ACD中，∠CAD＝∠MAB﹣∠MAC＝90°﹣60°＝30°，
∴CD＝AC＝30（海里），
在Rt△BCD中，∠CDB＝90°，∠CBD＝∠NBD﹣∠NBC＝90°﹣45°＝45°，
∴BC＝CD＝60（海里），
∴60÷50＝1.2（小时），
∴从B处到达C岛处需要1.2小时．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
22．（8分）东营市某中学对2020年4月份线上教学学生的作业情况进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了如图不完整的统计图表．
作业情况 频数 频率 非常好 44 0.22 较好 68 0.34 一般 48 0.24 不好 40 0.20 请根据图表中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次抽样共调查了多少名学生？
（2）将统计表中所缺的数据填在表中横线上；
（3）若该中学有1800名学生，估计该校学生作业情况“非常好”和“较好”的学生一共约多少名？
（4）某学习小组4名学生的作业本中，有2本“非常好”（记为A1、A2），1本“较好”（记为B），1本“一般”（记为C），这些作业本封面无姓名，而且形状、大小、颜色等外表特征完全相同，从中抽取一本，不放回，从余下的3本中再抽取一本，请用“列表法”或“画树状图”的方法求出两次抽到的作业本都是“非常好”的概率．
【分析】（1）结合扇形统计图与表格确定出调查学生总数即可；
（2）分别求出所缺的数据，填写表格即可；
（3）根据题意列出算式，计算即可求出值；
（4）列表确定出所有等可能的情况数，找出两次抽到的作业本都是“非常好”的情况数，即可求出所求概率．
【解答】解：（1）根据题意得：40÷＝200（名），
则本次抽样共调查了200名学生；
（2）填表如下：
作业情况 频数 频率 非常好 44 0.22 较好 68 0.34 一般 48 0.24 不好 40 0.20 故答案为：44；48；0.34；0.24；0.20；
（3）根据题意得：1800×（0.22+0.34）＝1008（名），
则该校学生作业情况“非常好”和“较好”的学生一共约1008名；
（4）列表如下：
A2 B C A1 ﹣﹣﹣ （A1，A2） （A1，B） （A1，C） A2 （A2，A1） ﹣﹣﹣ （A2，B） （A2，C） B （B，A1） （B，A2） ﹣﹣﹣ （B，C） C （C，A1） （C，A2） （C，B） ﹣﹣﹣ 由列表可以看出，一共有12种结果，且它们出现的可能性相等，其中两次抽到的作业本都是“非常好”的有2种，
则P（两次抽到的作业本都是“非常好”）＝＝．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，用样本估计总体，理解频数（率）分布表，弄清题中的数据是解本题的关键．
23．（8分）2020年初，新冠肺炎疫情爆发，市场上防疫口罩热销，某医药公司每月生产甲、乙两种型号的防疫口罩共20万只，且所有口罩当月全部售出，其中成本、售价如下表：
价格（元/只）
项目 甲 乙 成本 12 4 售价 18 6 （1）若该公司三月份的销售收入为300万元，求生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？
（2）如果公司四月份投入成本不超过216万元，应怎样安排甲、乙两种型号防疫口罩的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润．
【分析】（1）设生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是x万只和y万只，由“某医药公司每月生产甲、乙两种型号的防疫口罩共20万只和该公司三月份的销售收入为300万元”列出方程组，可求解；
（2）设四月份生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是a万只和（20﹣a）万只，利润为w万元，由“四月份投入成本不超过216万元”列出不等式，可求a的取值范围，找出w与a的函数关系式，由一次函数的性质可求解．
【解答】解：（1）设生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是x万只和y万只，
由题意可得：，
解得：，
答：生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是15万只和5万只；
（2）设四月份生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是a万只和（20﹣a）万只，利润为w万元，
由题意可得：12a+4（20﹣a）≤216，
∴a≤17，
∵w＝（18﹣12）a+（6﹣4）（20﹣a）＝4a+40是一次函数，w随a的增大而增大，
∴a＝17时，w有最大利润＝108（万元），
答：安排生产甲种型号的防疫口罩17万只，乙种型号的防疫口罩3万只，最大利润为108万元．
【点评】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键．
24．（10分）如图，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a的图象经过点C（0，2），交x轴于点A、B（点A在点B左侧），连接BC，直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与BC上方的抛物线交于点E，与BC交于点F．
（1）求抛物线的解析式及点A、B的坐标；
（2）是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点C的坐标代入函数解析式求得a值即可；将所求得的抛物线解析式转化为两点式，易得点A、B的坐标；
（2）由题意知，点E位于y轴右侧，作EG∥y轴，交BC于点G，根据平行线截线段成比例将求的最大值转化为求的最大值，所以利用一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征，两点间的距离公式以及配方法解题即可．
【解答】解：（1）把C（0，2）代入y＝ax2﹣3ax﹣4a得：﹣4a＝2．
解得a＝﹣．
则该抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2．
由于y＝﹣x2+x+2＝﹣（x+1）（x﹣4）．
故A（﹣1，0），B（4，0）；
（2）存在，理由如下：
由题意知，点E位于y轴右侧，作EG∥y轴，交BC于点G，
∴CD∥EG，
∴＝．
∵直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，则D（0，1）．
∴CD＝2﹣1＝1．
∴＝EG．
设BC所在直线的解析式为y＝mx+n（m≠0）．
将B（4，0），C（0，2）代入，得．
解得．
∴直线BC的解析式是y＝﹣x+2．
设E（t，﹣t2+t+2），则G（t，﹣t+2），其中0＜t＜4．
∴EG＝（﹣t2+t+2）﹣（﹣t+2）＝﹣（t﹣2）2+2．
∴＝﹣（t﹣2）2+2．
∵＜0，
∴当t＝2时，存在最大值，最大值为2，此时点E的坐标是（2，3）．
【点评】本题考查了二次函数综合题型，需要综合运用一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数最值的求法，待定系数法确定函数关系式以及平行线截线段成比例等知识点，综合性较强，难度不是很大．
25．（12分）如图1，在等腰三角形ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接BE，点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点．
（1）观察猜想．
图1中，线段NM、NP的数量关系是NM＝NP，∠MNP的大小为60°．
（2）探究证明
把△ADE绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接MP、BD、CE，判断△MNP的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸
把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝1，AB＝3，请求出△MNP面积的最大值．
【分析】（1）先证明由AB＝AC，AD＝AE，得BD＝CE，再由三角形的中位线定理得NM与NP的数量关系，由平行线性质得∠MNP的大小；
（2）先证明△ABD≌△ACE得BD＝CE，再由三角形的中位线定理得NM＝NP，由平行线性质得∠MNP＝60°，再根据等边三角形的判定定理得结论；
（3）由BD≤AB+AD，得MN≤2，再由等边三角形的面积公式得△MNP的面积关于MN的函数关系式，再由函数性质求得最大值便可．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BD＝CE，
∵点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点，
∴MN＝BD，PN＝CE，MN∥AB，PN∥AC，
∴MN＝PN，∠ENM＝∠EBA，∠ENP＝∠AEB，
∴∠MNE+∠ENP＝∠ABE+∠AEB，
∵∠ABE+∠AEB＝180°﹣∠BAE＝60°，
∴∠MNP＝60°，
故答案为：NM＝NP；60°；
（2）△MNP是等边三角形．
理由如下：由旋转可得，∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点．
∴MN＝BD，PN＝CE，MN∥BD，PN∥CE，
∴MN＝PN，∠ENM＝∠EBD，∠BPN＝∠BCE，
∴∠ENP＝∠NBP+∠NPB＝∠NBP+∠ECB，
∵∠EBD＝∠ABD+∠ABE＝∠ACE+∠ABE，
∴∠MNP＝∠MNE+∠ENP＝∠ACE+∠ABE+∠EBC+∠EBC+∠ECB＝180°﹣∠BAC＝60°，
∴△MNP是等边三角形；
（3）根据题意得，BD≤AB+AD，即BD≤4，
∴MN≤2，
∴△MNP的面积＝＝，
∴△MNP的面积的最大值为．
【点评】本题是三角形的一个综合题，主要考查了等边三角形的判定，三角形的中位线定理，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，关键证明三角形全等和运用三角形中位线定理使已知与未知联系起来．
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日期：2021/11/3014:41:55；用户：高兴双；邮箱：ldwh26@xyh.com；学号：21872884
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